Л.А. Калужнин, В.И. Сущанский - Преобразования и перестановки (1127096), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Пусть М (1, 2, ..., п). Рассмотрим множество перестановок, состоящее из всевозможных степеней цикла а=(1, 2, ..., и). Согласно утверждениям $ 6 в последовательности а, а', ... а ', а" = е '''э все перестановки будут различными. Убедимся, что множество перестановок С„= (е, а, ае, ..., а"-') образует группу относительно умножения перестановок. В самом деле, произведение перестановок а', ат (1«1, /«и) определяется равенством а'+1, если 1+ 1 < и, а'*ат= * а+т ", если !+/)и.
Следовательно, при любых 1, / (! «1, 1'«и) 'произведение а' ат принадлежит С„. Обратной к перестановке а' будет перестановка сс" ', поскольку а' а"-' = а'+~" ' =. =а"=е. Таким образом, для множества С„выполняются условия теоремы о подгруппах 5„, т. е. оно образует группу относительно умножения подстановок. Группа перестановок (С„, М) называется циклической группой на и символах и обозначается С„. 6. Обобщим пример 5. Пустьа~е — произвольная перестановка из Я„, имеющая порядок й. Тогда перестановки а, а', ..., а~=в все различные, и множество (е, а, а', ...
бз ..., сза-т) образует группу относительно операции умножения перестановок. Эта группа называется циклической группой, порожденнбй„перестановкой а, и обозначается (а). Можно говорить и о циклических подгруппах симметрической группы 5„. Циклической будет, например, подгруппа из примера 2; каждая подгруппа группы Яз также циклическая.
Однако подгруппа из примера 1 циклической не является. й Упражнения 1. Доказать следУющее Усиление теоРемы о подгРУппах дт позволяющее сокращать проверки: Подмножество Т симметрической группа дн образует подгруппу тогда и'только тогда, когда оно замкнуто относительно умножения, т. г. ироизэгдгниг любых двух элементов из Т снова принадлежит Т. 2. Описать все подгруппы дю состоящие из трех перестановок. Сколько их? 3. Сколько подгрупп второго порядка содержит группа 3». 4. Подгруппа любой группы перестановок определяется так же, как и подгруппа Яь. Описать все подгруппы: а) четверной группы Клейна; б) циклической группы С,; в) циклической группы Сг б. Пусть М=(1, 2, ..., и). Стабилизатором эжмгнта тгмМ называется множество всех перестановок а из дт таких, что (т)м т.
Доказать, что стабилизатор любого элемента из М является подгруппой, 6. Пусть М=(1, 2, ..., и), А г: М, Стабилизатором подмножества А называется множество д(„всевозможных перестановок м из Зл, таких, что для произвольного элемента а щ А и перестановки а гн д(л имеем (а)а гн А. Доказать, что стабилизатор любого подмножества из М образует подгруппу. т. Говорят, что перестановки я, () гя Вь коммутируют, если а () = р и. Множество всевозможных элементов произвольной группы, которые коммутируют с кагкдым ее элементом, называется центром группы.
Доказать, что центр любой группы перестановок является ее подгруппой. 6: Найти центр группы 84. Каков центр цикличаских групп С„ (п)2)? 9. Каких порядков могут быть циклические подгруппы в симме. трической группе дг? Ю. Каков наивысший порядок циклических подгрупп симметрической группы дтт? 6 6. Группы симметрий Одним из наиболее употребляемых примеров групп и, в частности, групп перестановок, являются группы, которыми «измеряется» симметричность геометрических фигур как плоских, так и пространственных. В этом "араграфе мы приведем соответствующие примеры.
64 Рассмотрим сначала симметрию плоских фигу р. Плоская фигура может иметь ось симметрии (одну или несколько) — прямую, которая разбивает ее иа две части (рис. 21), каждая из которых является зеркальным отражением другой. В этом случае фигура называется симметричной относительно прямой. Другим типом симметрии является симметрия относительно точки (рис. 22), которая называется центром симметрии, а фигура — центральносимметричной. Это понятие естественным образом обобщается. А именно: будем говорить, что точка О есть центр симметрии и-го порядка для фигуры М, если фигура М совмещается с собой при поворотах на углы, кратные 2пlп.
Например, на рис. 23 изображена фигура, имеющая центр симметрии порядка 3. Рис. 23 Рис. 22 Рис. 21 -Каждому типу симметрии соответствует преобразование симметрии — преобразование множества точек плоскости, определяемое этим типом. Так, если Π— центр симметрии и-го порядка, то соответствующим преобразованием симметрии является преобразование вращения всех точек плоскости вокруг точки О на угол 2п/и (см.
пример 8 5 2). Для определенности будем считать, что поворот осуществляется против движения часовой стрелки. А то, что некоторая фигура симметрична, означает, что она самосовмещается при соответствующем преобразовании симметрии. Таким образом, обозрение всех симметрий фигуры равносильно обозрению всех преобразований плоскости, при которых она самосовмеи(ается. Понятно, что эти преобразования являются биекциями. Поэтому множество всех таких преобразований относительно умножения преобразований образует группу, которая является как бы мерой степени симметричности данной фигуры. Преобразования симметрии многих плоских фигур естественно описываютсн перестановками, т.
е. их симметричность «измеряется» некоторыми группами перестановок. 65 Опишем эти группы в случае, когда рассматриваемая фигура является правильным многоугольником. 1. Группа симметрий правильного треугольника. Занумеруем вершины правильного треугольника числами 1, 2, 3 (рис. 24) и будем характеризовать каждое его самосовмещение ~Р перестановкой на множестве вершин треугольника (', ', 'й) где (и — — (л)~Р— номеР места, котоРое после выполнениЯ преобразования ~Р заняла вершина й, а=1, 2, 3. Цен1р правильного треугольника О является центром симметрии поРЯдка 3, т. е. повоРоты срс=и, Рь Ри на Углы О, 2И(3, 4 1 3' г , 7 а л! „, л, Я~ Рис 25 Рис 2и 4п~З соответственно вокруг точки О против часовой стрелки переводят треугольник в себя. Кроме того, имеется ирн осевых симметРии Ри, ~Р„ ~рм опРеделЯемых осЯми симметрии 1, лт, л соотвечственно, проходящими через вершины правильного треугольника и середины его противоположных сторон (рис.
24). Принятое нами соответствие между самосовмещениямн треугольника и перестановками множества вершин треугольника дает в з 1 2 3 сРо '(1 3 3) ° сР~ (3 З !) =(1, 2, 3), '(З ! 3) = (1 3 21 'Р ~~ 3 г) = (2 31 1 2 3 ! 2 3 сРи (,3 3 !) =(1, 31, (Ри (3 1 3) (1, 2). Таким образом, группа симметрий правильного треугольника -это симметрическая группа Яи. 2. Группа симметрий квадрата.
Все самосовмещсния квадрата являются либо вращениями аи = и, ссь ам аи на углы О, и/2, и, Зп/2 соответственно вокруг центра квадрата, либо симметриями а„ам аи, а, относительно осей ба К 1, т, и соответственно, проходящих через середины противоположных сторон и через противоположные вершины (рис. 25). Соответствие между самосовмещениями квадрата и перестановками на множестве вершин квадрата при принятой на рис.
25 нумерации вершин квадрзта имеет вид а~ (1,2,3,4), я; (1,3) ° (2,4), сс, (1,4,3,2), аа (1, 2) ° (3, 4), аз (1, 4) ° (2, 3), ав (2, 4), а7 (1, 3). Таким образом, группа симметрий квадрата является собственной подгруппой симметрической группы 3,.
Она обозначается символом О,. 3. Группа симметрий правильного п-угольника состоит из п вращений на углы О, 2н/а, 4н/а, ..., 2(а — 1)л/л вокруг центра и-угольника и л симметрий относительно прямых. Положение осей симметрии зависит от четности числа и. При л четном имеется л/2 осей симмечрин, проходящих через середины противолежащих сторон и и/2 осей, проходящих через противолежащие вершины (и центр) многоугольника.
При и нечетном осями симметрии являются прямые, проходящие через вершины (и центр) а-угольника и середины противолежащих сторон. Таким образом, группа симметрий правильного и-угольника состоит из 2л преобразований. Если эти преобразования описывать перестановками множества вершин правильного п-угольника, то соответствующая группа перестановок является подгруппой симметрической группы 3,. Эта группа переста.новок называется группой диэдра и обозначается 1)„.
4. Группа симметрий многоугольника, изображенного иа рис. 26, состоит из тождественного преобразования а,= е, симметрий а, и а, относительно осей 1 и т соответственно и центральной симметрии а, с центром О. Они описываются такими перестановками множества (1, 2, 3, 4, 5, 6): си (1, 2) ° (3, 6) ° (4, 5), аз (1, 5) (2, 4), съ (1, 4) (2, 5) (3, 6). Для пространственных тел можно говорить о следующих типах симметрии: а) зеркальная симметрия (симметрия относительно плоскости); б) осевая симметрия (симметрия относительно прямой); в) центральная симметрия (симметрия относительно точки). ЬЧ По аналогии с плоским случаем понятие осевой симметрии естественно обобщается.
Прямая называется осью симметрии и-го порядка, если тело совмещается с собой при вращениях вокруг прямой на углы, кратные 2п1п. Каждому типу симметрии соответствует свое преобразо. ванне пространства, и симметричность тела означает, что оио самосовмещается при соответствующем преобразовании пространства. Множество всех тех преобразований, при которых тело совмец!ается с собой, образует группу симметрии данного тела. Симметрию многогранников и некоторых других тел можно характеризовать перестановками множества их вершин, В этом случае группа симметрии также является некоторой группой перестановок. 4 Приведем несколько примеров такого описания.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
