Л.А. Калужнин, В.И. Сущанский - Преобразования и перестановки (1127096), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Пусть рд =])д =... = рд=р. Сплетение [а; ]), (1, ..., ])] перестановок [) с помощью перестановки а действует на произвольный элемент (д, )) ~ Мдх М, согласно равенству «, 1) [; К К "., И=(«), В1). Это действие совпадает с действием прямого произведения перестановок а и р, т. е. имеет место равенство [а, р, р, ..., р] =ах [). в Пусть теперь 6 и Н вЂ” произвольные множества перестановок на множествах Мд и Мд соответственно.
Оп редел ения. 1. Суммой множеств перестановок 6 и Н (в предположении, что Мд П М,= ф) называется множество всевозможных перестановок вида аЯ~, где аенб, р внН. 2. Нрлмим произведением множеств перестановок б и Н называется множество всевозможных перестановок вида ахр, где а яб, р яН. 3. Сплетением множеств перестановок б и Н называется множество всевозможных перестановок вида [а; рд, ()д,..., йд], гдето=)М,), а~6, [)„[)д, ..., ])вен Н. Прямую сумму множеств перестановок б и М обозначим символом 6®Н, их прямое произведение — символом бхН, а сплетение — бгН.
Понятно, что имеют место следующие равенства: а) ]6®Н ) = )6] (Н ); 126 б) (СхН(=)6) ~Н() в) ~)СгН(=)6! )Н)". Теорема. Если (6, М~) и (Н, М,) — группы перестановок, то СЯН, СхН и СгН также являются группами перестановок на соответствуюи(их множествах: Доказательство. Достаточно убедиться, что произведение перестановок из одного из сконструированных множеств снова в нем содержится (см.
упражнение 1 к 2 8). Рассмотрим отдельно каждую из конструкций. Пусть аЯ(), уфб — две перестановки из СЯН. Произведение (аД+()) ° (у(+)6) этих перестановок действует на произвольный элемент т е= М1() М, так: (т) ((аЯ(Ъ) ° (у®6)) =((т) (аЯР)) (у®6). Но (т)'(аЯ(3) совпадает либо с (т)а (при «1 ~ М,), либо с (т)р (при т яМ,). Если тяп М„то (т)а тоже содержится в М,.
Поэтому ((т)сс) (у®6)=((т)а)у=(т) (а у). Аналогично, если т ен М„то (т)р тоже содержится в этом множестве и ((т)р) (у(+)6) =((т)[))6 (т) (() 6). Итак, произведение (акр) ° (уД+6) перестановок а®6 и ТО+6 множества М,() М, действует на произвольный элемент т ~М,(3 М, таким же образом, как и перестановка (а Т)®(~ 6). Следовательно, имеет место равенство (аД+[)) ° ° (у®б)=(а у)Я(р ° 6). Поскольку С и Н вЂ” группы, то а уя6, р 6енН, т. е. (а96) (?96)еи69Н и СВН замкнуто относительно умножения перестановок. Пусть теперь ахр, ухб — две перестановки из СхН.
Произведение (ах [)) ° (ух 6) действует на произвольную пару ((, у) еи М,хМ, согласно равенствам (г', ]) ((ах()) ° (ухб)) = ((?)а, (?)Р) (ух 6) =(((()а)у, (())й)б), т. е. на первую компоненту пары действует перестановка а.у, а на вторую () ° 6. Поскольку пара (?, )) енМ,хМ, произвольная, то это означает, что имеет место равенство (ах р) ° (ухб) =(а у, р 6). Снова а уенС, 'р ° бе:-Н, т. е.
СхН замкнуто относительно умножения перестановок. И наконец, пусть А=[а; рм ()м ..., ()л], В=[у; бь 6„..., 6„] — две перестановки из СгН, причем "=(', ',::: ',). Рассмотрим действие произведения А В этих перестановок на произвольную пару ((, ?) еп Мгх Мм Имеем 12? равенства (1, у) (А В) =((1, ))А)В=((1, ))[а; ()» рз "° р»))В ='(Яи ())~~)В=(г» (1)6»)[у' 6» 6»," 6»1= = ((гг)у, (/) [),6,,). Таким образом, произведение А ° В на первую компоненту пары (1, /).действует, как перестановка сх Р, а на вторую компоненту — как перестановка (); 6,,=~;.6,ц, т. е.
А В является сплетением перестановок (зг ° 6... ра 6.ы ", р» 6.» с помощью перестановки а р, а следовательно, содержится в ОгН. Итак, ОгН замкнуто относительно умножения перестановок. Теорема доказана. Конструкции прямой суммы, прямого произведения и сплетения групп перестановок позволяют по данным группам конструировать новые группы, т. е. существенно обогащают теорию новыми примерами. Оказывается, что многие из естественно возникающих групп перестановок можно построить из более простых с помощью рассмотренных в этом параграфе конструкций, а это оказывает существенную помощь при изучении таких групп пере.
становок. Упрахшення 1. Доказать, что прямая сумма перестановок — ассоциативная операция, т. е, для произвольных трех перестановок я, 6, т соответственно йад множествами М» М», Мз, которые попарно не пересекаются, имеет место равенство (се 9 Р) 9 т= 9 (Р 9 т) 2. Пусть (й» й», ..., й»)-тип перестановки а на множестве М, (1» 1з, ..., Ц вЂ” тип перестановки р на множестве М» и М,() М»=ф, Каков тип перестановки с»9 () на множестве М»ЦМ»? 3. Установите, что для порядков перестановок а, Р, а9 6 вы. полняется соотношение пор. (а96)=ООК (пор.
и, пор. 6). Я. Постройте таблицу перестановки а?СР. где (2 3 1)' (3 2 1)' и таблицу, соответствуюшую икр при принятой нумерации множества (1, 2, 3)х(1, 2, 3). б. Как, зная порядои -перестановок а, Р, определить порвдок перестановки аХр? 6. Проверить, что группа перестановок К = (а, (1, 2), 43, 4), (1, 2) ° (3, Я)) 123 есть прямая сумма циклических групп второго порядка на множествах (1, 2)' и (3, 4), а группа перестановок С = (з, (1, 2) (3, 4), (1, 3) (2, 4), (1, 4) (2, 3)) является прямым произведением циклической группы второго порядка над миогкеством М=(1, 2) на себя, причем подстановки из этого прямого произведения записаны с учетом принятой нами нумерации элементов множества МХМ. т. Указать обратные к перестановкам а Я В, акВ, где и,  — перестановки на некоторых множествах.
3. Птсть =(3 ! 2) д=(2 1 3)' В =(1 3 2) з=(3 2 1) ° Построить перестановки 1си Вм Вь Вз! (а; Вм Вь Вз) (а! Вз Вз Вд). Совпадают ли онн? Построить таблицы этих перестановок, записанные с учетом принятой нул1ерацни элементов ыножества (1, 2, 3) х х(1, 2, 3). 3. Как определить обратную к перестановке вида (а; В„В,, ..., В»1? 10. Доказать, что сплетение двух циклических групп второго порядка совпадает с группой симметрий квадрата, при соответствую. щих обозначениях его вершин. 11. Пусть ((хд, хз, хз, ха хз, х,)=х,х,хз+х,х»х,. Укажита кон.
струкцию, с помощью которой группа симметрий этого многочлена строится нз симметрических групп 5», Юз, действующих на подходящих множествах. 12. Перестановка а над множеством М имеет следующее разло,жение в произведение взаимно простых циклов: и=(аы, аы, ..., а,зд) ° (аео аем .... азз,) "'(адд, адз, ..., азад). Докажите, что множество всех перестановок, которые коммутируют с а, совпадает с прямой суммой циклических групп С, С, ..., С, действующих на множествах «ам.
ад,, ..., а!з «, «азд, а, ..., азз «, ..., «а,д, а м ..., а соответственно, й 20. ВЕНГЕРСКИЙ ШАРНИРНЫЙ КУБИК В 1975 г. венгерский архитектор профессор Э. Рубик создал математическую головоломку, которая получила в последующие годы широкое распространение во всем мире и является сейчас, пожалуй, наиболее популярной математической игрой. Математический анализ этой игры гораздо сложнее, чем анализ игры «в пятнадцать», вопросы и задачи, которые можно ставить в связи с ней, куда более разнообразны, хотя с точки зрения теории групп перестановок это игры одного типа.
123 1. Опишем вкратце головоломку Э. Рубика. Она представляет собой пластмассовый куб, разбитый на 27 одинаковых кубиков плоскостями, параллельными граням куба; 26 кубиков являются наружными, а один — внутренний. Внутренний кубик удален, а наружные кубики, иа которых изнутри имеются специальные выступы, с по. мощью крестовины сцеплены так, что любая из йлпт, образованных девятью кубиками, грани которых параллельны некоторой грани куба, может свободно вращаться вокруг центра в любом направлении.
При повороте одной из плит на углы 90', 180' или 270' свобода вращений системы полностью сохраняется: любую из плит снова можно вращать вокруг центра в любую сторону. Внешние грани каждого из 26 маленьких кубиков окрашены в шесть разных цветов: красный, оранжевый, желтый, зеленый, синий, белый (по 9 граней каждого цвета).
Рис. 40 Общий вид куба изображен на рис. 40 а, на рис. 40 б, в указаны возможные повороты плит — внешних и внутренней. В начальном положении маленькие кубики расположены так, что все грани большого куба окрашены в один цвет. Затем с помощью нескольких последовательных вращений грани куба приобретают пеструю окраску. Цель игры состоит в том, чтобы, получив в руки такой пестро окрашенный кубик, с помощью поворотов плит перейти к начальной раскраске, т. е. добиться такой расстановки кубиков, при которой все грани большого куба окрашены в один цвет. Эта головоломка получила название «венгерский шарнирный кубик» или «кубик Рубика».
Исследованию задач, с ней связанных, посвящено большое число научно-популярных статей, опубликованных в разных странах, и даже несколько книг (например, книга В. Хинке «Венгерский волшебный кубик» на немецком языке, вышедшая в 1982 г. в берлинском издательстве «УЕВ Реп(зспег Уег1ап бег %1»з1зо епзспа((еп»).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
