В.Б. Лукьянов, С.С. Бердоносов, И.О. Богатырев, К.Б. Заборенко, Б.З. Иофа - Радиоактивные индикаторы в химии. Основы метода (1127003), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Время /max, соответствующее этому максимуму, будет отвечать моменту накопления максимального количествануклида В. Для того чтобы определить /тах, следует найти первуюпроизводную функции (1.48) и приравнять ее нулю. В итоге получим:)2,303_)'>о7\/t/. 1/ 2 (1) ~ ~/t(I)1Чг (2)i x/s^(1.49)(2)Пример 15. Определим время накопления 1максимальногоколичества 1 4 0 La,образующегося изВа.
Периоды полураспада 4 0 Ва и 1 4 0 La равны соответственно 12,8 и 1,68 сут.• ''Используя формулу (1.49), находим^ ^ 3 2 ^ 2 ^ .1 > 6 812,8-1,6812 8:—1,685,67 сут.Второй случай. Пусть, как и раньше, JV ,O = 0. Допустим, крометого, что период полураспада материнского нуклида Ti/2(i) очень велик по сравнению со временем t, в течение которого проводится наблюдение за накоплением дочернего нуклида, и что Т\ о(\) намногопревышает период полураспада дочернего нуклида T\j2(2)\2<« Г '/, d)(T- е ' *1ТЧг (1) < < 1 ) ; ТЧг <!>>>7V, (2) (Т« е"^ ^Так как f/7Yi/2(i)< li то ?ч£, = 0,693f/Ti/2(i) < 1.
Отсюда следуетчто e~~Xlt ~ 1 и Л^ = N\toe~Xli ~ А^,о. Подставляя найденные значения e~lit и NUo в (1.48) и отбрасывая величину ^ в знаменателе этого выражения, получим-r*-').0.50)Поскольку, как было показано, убылью ядер А\ за время наблюдения t можно пренебречь, то скорость распада материнского нуклида(равная скорости образования дочернего) N^ будет постоянна. Обозначив JVJXJ = Q и опуская индексы при величинах А^2 и л2, можнопереписать (1.50) в видеN= —(\ -e~At).(1.51)Выражение (1.51) используется для расчета накопления радионуклида,образующегося в результате ядерной реакции из стабильного нуклида.В этом случае Q выражает скорость образования радиоактивных ядерпод действием потока бомбардирующих частиц (см.
§ 4 этой главы).Графический вид зависимости (1.50)—(1.51) показан на рис. 23.Учитывая, что А^А^ = ^ и A2N2 — a2, на основании (1.50) можнополучить соотношение, описывающее изменение активности дочернего нуклида со временем:а,^1(\—е- *').а1(1.52)При * > T\/2(2)(t/T\/2(2) ":>1) произведение Я2^ = 0,693//7"1/2(2) 3>^> 1 и, следовательно, е~х** ж 0. Таким образом, по прошествиибесконечно большого (по сравнению с периодом полураспада дочернего нуклида) времени активность дочернего нуклида будет равна02,оо ~tfi. С учетом этого формулу (1.52) можно представить следующим образом:Значения функции (\—е—и) зависимссти от времени, выраженногов долях периода полураспада 1Т\2 образующегося радионуклида,приведены в табл.
П.З. Из этой таблицы видно, что при времени накопления, равном 10 периодам полураспада дочернего нуклида(tlT\j2 = Ю), значение 1— e~Kt — 0,999. Таким образом, приt > ЮТ\/2 величину 1—ег'л можно считать практически равной 1.39Пример 16. Нуклид9090Y получают после накопления его из Sr:r I / f ( 1 ) = 28,4 лет90 у90Г,, ,,,(2) = 64,8 чZr (стаб.)В распоряжении экспериментатора имеются 10 ампул с растворами, содержащи90ми равные количества нуклида Sr. Оценим, в каком случае будет получена бо90лее высокая активность Y, если выделить его из одной ампулы после 10 сутнакопления или если выделить его из 10 ампул при времени накопления в 1 сут.90Период полураспада Y составляет 64,8/24 = 2,7 сут. При времени накопления 10 сут tlTt, = 10/2,7 = 3,7. Обращаясь к табл.
П.3, путем интерполяции находим, что такому значению аргумента соответствует значение функции1—е-и = 0,917 + (0,10/0,20) (0,928—0,917) --- 0,923. В соответствии с выражением (1.53) выделенная активность в этом случае составляет0«/=10 = '9 2 3"ос-Для / = 1 сут таким же образом находим: t\Tx, — 1 /2,7 = 0,370; е~м == 0,221 -f (0,01/0,02) (0,231 —0,221) = 0,226; а ^ - = 0,226 аж. Так как в этомслучае выделение производится из 10 ампул, то общая выделенная активностьбудет составлять10а, =1 = 2,26а о о >что примерно в 2,5 раза выше активности, которая может быть получена прииспользовании 1 ампулы и времени накопления 10 сут.
Следовательно, выгоднее90выделять Y из 10 ампул при времени накопления 1 сут.После отделения дочернего радионуклида от материнского уменьшение активности дочернего нуклида следует обычному экспоненциальному закону. Если активность дочернего нуклида в момент отделения была a2fOO, тоa2.t= a2.ooe~~Xtt-(1-54)Заметим, что в любой момент времени t после выделения дочернегонуклида сумма активности дочернего нуклида, накапливающегосяв образце, содержащем материнский нуклид [(формула (1.53)], и активности отделенного дочернего нуклида [формула (1.54)] постояннаи равна а2,со- Таким образом, функции накопления и распада дополнительны (рис.
24).Пример 17. Препарат 9 0 Sr очищен от продуктов распада (схема распадаSr дана в предыдущем примере). Рассчитаем, через какое время абсолютнаяактивность препарата увеличится в1,5 раза.аt~af^Период полураспада 90 Sr весьмавелик, и мы имеем случай накопления дочернего нуклида }'°Y при посу\0,80тоянной скорости распада материнуского нуклида. Увеличение абсо0,60/лютной активности препарата связано с накоплением в нем 9 0 Y в со0,40)\ответствии суравнением(1.53).(i0,20 / 'Максимальнаяабсолютная активVг ность дочернего нуклида должнабыть равна абсолютной активности3 _t_1 2 3материнского нуклида (a2tOO = fli).Абсолютная активность препарата, содержащего очищенный (J(JSr,Рис.
24. Функция накопления (/)увеличится в1,о раза, когда в немраспада (2) дочернего нуклида90ив—-—4090накопится половина максимальной активности дочернего Y (0,5 а0 о о ). Необходимое для этого время равно времени, в течение которого абсолютная ак96тивность выделенногоY уменьшится от а^ до 0,5а оо, т . е .
равно периодуполураспада дочернего нуклида (рис. 24).90Таким образом, абсолютная активность препарата Sr увеличится в 1,5<J0раза через период полураспада Y, равный ~ 65 ч.К этому же выводу можно прийти и путем непосредственных вычислений.На основании формулы (1.53) имеем: о 2 / ' а 2 оо = 1^2Z= 1—в"ха^, откуда е~М == 1 / 2 . В соответствии с (1.37) последнему соотношению отвечает t = T t/ (9<>Y).6. Радиоактивные равновесияВ предыдущем разделе было показано, что если скорость распадаматеринского нуклида постоянна, то по истечении времени t, достаточно большого по сравнению с периодом полураспада дочернего нуклида Т\/2(2), можно принять егк*г « 0, и активность дочернего нуклидастановится равной активности материнского.
Это частный случайрадиоактивного равновесия.Радиоактивным равновесием называют состояние системы, содержащей материнский и связанные с ним дочерние нуклиды, при которомсоотношение количеств материнского и дочерних нуклидов не меняется с течением времени. К состоянию радиоактивного равновесияприводит конкуренция процессов распада и накопления дочерних нуклидов в тех случаях, когда(2)(илиxi < Д2) и ty>T1/%(2).(1.55)При выполнении условий (1.55) (практически уже при i = 107i/2(2))из формулы (1.48) можно получить соотношениеN2 = Nuol1e-x*t/(k2--k1).Учитывая, что А^ ~ N]toe~lit,в виде(1.56)формулу (1.56) мсжно переписатьN2/N1 = )J(}:2-\1).(1.57)Это соотношение описывает случай так называемого подвижного равновесия.
О подвижном равновесии говорят, когда значения Xi и ^различаются не более чем в 5—10 раз.Умножая обе части уравнения (1.57) на Я2/?ч, получаемa2la1^L2l{U~\l).(1.58)Таким образом, при подвижном равновесии дочерняя активность больше материнской в W(^2—^i) раз. Соотношения активностей при подвижном равновесии показаны на рис. 25. Как видно из рисунка, активность дочернего нуклида достигает максимального значения [времяустановления максимальной активности можно рассчитать по формуле (1.49)] и далее изменяется с периодом полураспада исходногонуклида.4111• ^^10003-\аa%1000дг\I100в*\\Й W0 \\\\IwО\\2k\68100122k681012/4t,4Рис. 25. Подвижное равновесие при T i / 2 ( i ) = 8 ч ; 7*1/2(2) == 0,8 ч:а — наблюдаемая криваяизменения активности препарата, содержащего первоначально очищенныйматеринский и накапливающийсядочерний нуклид; б — прямая, ха-Рис.
26. Вековое равновесиеПри Tl/2(1)= оо, Г1/2(2)= 0,8 Чрактеризующаяраспадматеринского нуклида; в — кривая изменения активности дочернего нуклида; г — прямая, характеризующаяраспад чистого дочернего нуклидаЧасто при выполнении условий (1.55) оказывается, что Х{ С ^ 2> 7\'2(2), тогда уравнение (1.57) преобразуется к виду^ 2 W i = >.1A2.(1.59)Формула (1.59) соответствует случаю так называемого вековогоравновесия. На основании формулы (1.59) легко показать, что при вековом равновесии активности обоих нуклидов равны, а равновесныеколичества нуклидов относятся, как периоды полураспада:a = K1N12:(1.60)= }.2N2;У'г (2)/V 2 (1)-U -bl)После достижения равновесия (рис. 26) числа атомов и активностикак исходного, так и дочернего нуклида будут уменьшаться с периодом полураспада исходного нуклида, но равновесные активности обоихнуклидов по-прежнему будут равны между собой.9090Пример 18.
Препарат Sr, очищенный от дочернего Y, имеет абсолютнуюактивность 10 МБк. Определим абсолютную активность накапливающегося впрепарате нуклида через 10 периодов его полураспада.стяРн1пТ9а«б1* П Л Ь Л Х О Д £ М ' ЧТ° п е Р и о д ы полураспада 9 0 Sr и 9 0 Y равны соответственно JB,4 г и Ь4,8ч. Таким образом, в данном случае условие (1.55) выполняется и, кроме того, r 1 / f ( 1 ) > Т1/г{2). 9Наэтом основании можно сделать вы0вод, что через 10 периодов полураспадаY будет находиться в препарате в со90стоянии вековогоравновесия с Sr. Так как промежуток времени соответстп е р и о д а м пниюТп^ у р а с п а д а ™Y (648 ч ^ 0 , 0 7 г.), слишком мал по сравнению с периодом полураспада 9«Sr, можно пренебречь убылью активности 9°Srности вВо^1Ят ^ Y Q ^ I B ' K 3 " 0 8 6 0 " 2 1 ' 142а к Т И В Н 0 С Т Ь 9°Yб у Д 6 ТР а в н а«сходной актив-Если имеется цепочка последовательных превращений, то при состоянии векового равновесия выполняются сотношения(1.62)1 1 N 1 = 1 2 N 2 = ••• = l t N iИЛИп1= а2= ••• = at(1.63).Уравнение (1.62) может быть использовано для определения периода полураспада одного из нуклидов, если известны соотношенияколичеств радионуклидов любых двух членов цепочки при вековомравновесии и период полураспада одного из них.Пример 19.
Из препарата RaCl 2 , содержащего 1 г 2 2 e Ra, после установления равновесия выделен 2 2 2 Rn. Объем выделенного радона в пересчете на нормальные условия составил 6,40-10~7 л. Период полураспада 2 2 2 Rn Tlf = 3,82сут. Определим период полураспада 2 2 6 Ra.Число атомов радия iVx в 1 г радия равно10а число атомов радона N2 в 6,40-10723226л10 2 36,40 • К Г 722,4222Учитывая, что период полураспадаR a составляет 3,82/365 г. и используяформулу (1.61), находим__3,82 . 1 • 22,4ТЧ> <«Ra) = 365 • 226 • 6,40 • 10-' ~ 1 6 ° Л е Т *Соотношение постоянных распада материнского и дочернего радионуклидов может оказаться и таким, что %х > Х2- Это означает, чтоматеринский нуклид распадается быстрее дочернего и равновесиене достигается. Например, в цепочке203Д и -203с•v =— 55uuv.7 1 / з = 46,9 сутТ1 (стаб.)Iпрактически через 10 мин после получения 2о3Аи препарат будет содержать тольКОli££.По мере распада материнского нуклидачисло ядер дочернего нарастает, проходит через максимум и далее распадается всоответствии со своим периодом полураспада.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
