Л.Г. Хачиян - Сложность задач линейного программирования (1125262), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Если замеййть 1 й Йрайой чйстй 44ерайег»стал йл О', 4Да а, скавйр йз ййтериаха (11,1), то йгьчучнйймеФЙ Йеравенсгао б)дет Оййсм. зать зллкйсойд ОЕ(а)»с тем же цейтрОм н з а Раз мейьнгймй йодрйермй Фмормй бтхем йазмййть а-зкрестностьж. (Т(4)ка а Нйггрй мер. о окрсстйжгьк» тачай 1 с едйщогйжмй коордннатамй Ййййетса»йй)г радйуса.44 с Цейтром 1 . (правей'часть ркс. 8.
на в»торой зажтрнхоаайа 1-окрестйбсть 1). Прн О.=а 1 жобйй а-Окрестйость ЦЕ(а) йоложйтельйой зочкй а ЦЕКЙКОМ НРННЙЛДЕХХЙТ йОЛОЖИТЕЛЬНОМУ ОР' т лату, Йредйгьчожйа, чта задача (В.З) имеет ре; , гаенйе» Йжгьмем йейотбрсм а йз нйтераала . (б,)) и. Сажаем Ороцеауру й) йахождежга й а.ойрестйостн лкгбой йоложнтельйой точкй а, йй Ййййющейсй реаеийем' задачи й(о)= б, НОВОЙ ТОЧКК ймч Я (а), ДДЙ КСИОрай й(й) «й(а) е з'«((.-а) (Й-б) 11 ЧЦСТНОСТН, ара В чб,барайай '4ЛСТЬ (Й.б) арййймает зйачениа 2«е -Й,уй... и строго мейь»йе едйййцл.
Д(етод (хармаркара будет , состокть к йте)жпгажм» й)гимейенйй Йроцггдурьмц и йрй атом фуйнцйя )(армеркара будет убмйагь от Йтерйййй к ате)гаЦКН ж, . мед»тецйй»е геометрйческой й)кй )жгсйй СО зкамецатеаем х«г. ь Нл йракткке работал»г с логарафмом Цх), рцй И Д рмзркар йез мал а к, а фтккйлей. :,уб Итак, треб)»етсй йзучггть,йойедейке А(х) а ООкрсстяостй НОложнтельиой точки а, Рассмотрнм йреобразойаййе йодобик (чекой. лййгь) х)~х»«аь йереводнйгее 1»астйжеайем Коорлййатймх ОСЕЙ ТОЧКТ Хлча 3 ЕДННКЧНЯО точку х'~1 (рнс, $).
Если ОбОзаачйть через а.--=»))лй(з», аг.. Ол) матрйцу: йо дйагонйлй кото»чой заййсайм числ»й аь й ййе дкйгоййчн— йулн, ТО а матрйчном ййде йреобрйзоаййие ЯОДОбйк й Обратное К немУ будут йметь ййд х'=о 'х к х=-ах'. Преобразовайне подобий йереводйт а-Окрестность тачай О е »йар радар" са о с йейтром к 1. Зййййгем функцнз» й(х» в иоаь»х ьоордкйатах х': й (х) Й- йл (х) =- (»' (Р» г) г) х)г«П (х) = Е:.:.
сойериаем йолс Галл)' х ах л(рах') г) ~" «П (ах') =-. пч.»-ч| ~ч»*» м((оь(рот) г) т'т«1) (х') ) «11(и1 =: ГЦММЛЯМКЛЛ»-»»»и~ 1 Еледозательйо» длй ЛЙГбмх да) х ТОЧСК х к л а йч»крастйоотй а, имеем ' ' й(х)«й(х)=Аж(т') «й,;(з'), Где х' и х' — соотйетстйукгжие йм точки а о.окрестйостя 1, а йгз -" фуйкции )(ар" марка)Ф для задачи (Й,З) с мнт)»йцея Ро.
Гфо катару о можйо сказать, что ойй а-йодобна Р. Далее, йоскольку йо 4»редг»гьтоже-' йао нсходилй задача (Й.З) с мзтрййей Р имел лл некоторг»е решенно туч а йеОтрйай тельлгом сфтанте, задача (8.3) с матрйцей Ро тйкже Обладйет зтйм саойстйом. Позтом)' можно йсклтьдлй йсходной залачй удоалетзо рйк»йгук» (З.б) то»гку й и Окрестйостн 1, йомйй, что длй нахойгденйй такой ТОчкн а Окрест. йостй а достаточяй'зймеййть Р йа Ро, йййтй требуемук» точку и окрелстйостк Д к аериутьсй Яазад: (~Я„(а) =аЯ,,з(1). Т(так, а 1, й йтжио изучать йойедг ййе "фуйжгкй Кармлрклра й(х) и тиаре радйтсз О с гжйтром з Поскольку й(х) йосгоннййй й ((х) кмй (х), орн Ге рассмогреггйй ЦОжно Огрййичяться лйгйь такнмй гочкамн х- б й ОО- ложйтельйом Ортайте, длй КОтОрмх )х=~Ф.
Дейстйительно, йа множестае 3 -- оно назн. Веется сймйлексйм — Гакях тОчек ф".Гйкций. й(х) йрииммает асс те же зйвчеийй, что и ЯО асам нолйжйтеаьйом О)гтййте. Посколь». ку 1ецб, а нгар аЕ(1) целиком лежит а йоло. жнтельйом ортайте. Нересечеййе ай(1) с сймйлексом соаггадает с йересеченнем зтОГО й»л рй с йлоскостьм )Х~Ф. 4 акйм Об(»азам, зто йере. сечеяйе ОЬ'(1) ()л — обозйачнм его через 8— задается двумя услойнимй.' Рйс . тк ' (х3 — 1)3+..3.тк(хх-()х~,'Йе,. Х3+...+ХЬ=;-'Й, (О 7) , Й, (ка)оеайкь й йййультйте (В3)йййй Ж-меирйосо )кара БРОВОЙЯЗЙВЙ кйййй йп3 )Фйтр ЙЯОО Йстсть3О3 сама )3рсдйткйлййт ООЙОф Ф вЂ” (-Йе(3- йм)( 3йкр Й )тлоскостй (к==аЗ Ий фйс. Ф Йаобфйатйа.'кйхййй А'=-л, Воска сййййакс Д Йайййтсй ЙДЙЙЙЛЬЙИЙ ТРВУТОЛЬЙЙКОЙ С йй(33ЙЙЙайй (З,Д.О), (Д.Э,Д), (О,О„З), й () ЙЙ1ат(3ЙХОйййймй кр)'ТОЙ.
ДЙЙ то)'О йто3)ы Йййтй а 8 УдоайстВОРЙЙЗЙ)фкт (8,6) тойкУ )3, '' йосйтьтьйуейсй Й)3ЙВЙОЙ сктйофйфоааййй Вйа- МЕБЙТВЛЙВ фуйк3)ЙИ ((ВЙЙаййа()а БЙ Й, ИМВЙ. . ЙО ВОВЬЙВЙ й кайастйе Ь Райтсййа зйкачй МЙЙЙМЙЗЙ3)ЙЙ СТОЙЙ(ВЙ й Ч)3СЛЙТЕЙЕ. ф)кйайй )(,Й(3нй~ка(3В Йаай)тйтйййо)( фО))ЙЙ йфй ОГ))В" 33ЙЯЕЙЙЯХ (В,У) Е БЕЙБ, ((Х) (РЗХ) +.,+(Ос Х) К-и Сй)ЙХ )ф ф) Покякай.
Йрййеа36 Всето3 кто ((Ь)Я,",.'((1) (1 — ае(й)(3(А' — ()) . (Д,ф) Деастя3313ОЗЯ33О, Оусть х -"- тойяов )юйьййе ойЙвйй Мк))х В сЯЯ3ьтексо й с= 1()"-ое(1--хь)) +х'О)) 1-х'й) Р.*'3 "' 3: К3 О стй В в (Й,з)' й (кф1 вйо33йвокйтсй Вййе33й л, йя )3)й К Рйс. 6, сжй33ЯЯ й От 1 (рйс. 9 1'. 1)осехтльйк ((ее)=-)) и с3Йвх то (ЯЬ((Е) о)( Я)- 33()(-.х')))'. Длй д33козйтейьствй (Б.Й) остй33ось ййа3ь хй33еТ33ть, ит3,3.3ь ой36 3й тоьии х свяй3теккй й, В ексо ности, йдй 3* не)о3о )) х(3 3,'о(М--1), 3)оскохькх ' ТО Я3'13яйеястйо 33ЯЯО:3333:ВО кивке йлй сййый йй ХЕЮЗХ От 1 Йтйвк ейййййксв ."- Е3'О Ве)йййй (О...., Ф,... ))3 ЗВЙЙВМСЙ стйайфй.ЙЙЙЙйййтЕЙСЙ ффйКЙЙЙ Каймайкакат,и()ЙЙЙВ(ЙЙЙ3(ЙЙ,.
'Вта Йа 6 ОЙ ай ЙОЙ)4:'к 'ЙЙ4фЙО;)')(Йаьа)атьФЙ3 (1(В) В Й)(й )((х)=((-.Й ' "=, ))С У ' ;к(1+33/х3ет(333"()))' ' '. (6.)О) ()Теть «х3, хе, хь) — тойкй йостй3ЯМ3$Я Яй" ййя)ЙВ ййоязйехс33йн йоойжй33вт П(х) яй Й.. Ьйе Откйййймтйй ОО3ЯЯОХТЯ ЯОЖЯО ЙВЙТВХЬ ЯЕ)3В)те3 йоойкй33ВТ) х3 яйййяй33ь33оа сййкй''3хтьйьййх..()О- сйольйт ))-"-"-"Ж. ййеой .'~"-",) Х(1, 3йе ф -- ЙОЛОЯ33). тейьйсе йясхО. 3ьтохейо ВОЯВВФО., йто и :Оойй Йй йййкйй ОО33йййсйеййй ВСВ ОСТВВЗОЯЕСЯ ЯООЙВЯЯВТЙ ЛОЛЖЯЬ3 ЕОВййййтво ЫЕХЯВТ Собой: ХХ ь...оьст.
1+ Де(Ж- Ц,, я оййй тоько х ймя333В йвйод33тьсй 3М )тьс33ТОВЯЯК а от 1, "гто Лает К + ()") )Ж-.1) ~ае и еов33йхйет,'с (а.иф. Рассмкт(ЗЙЙВБ (В9) й (к ())) Вместе Ймуй(а) )1--33) ТЗХ(3Ф вЂ” ")) х й(1) к " ь 1 )--От(( -'-, /(1+В(хй,х- )'3)й ' "Е" Я3)() — О), нймнзВДПЙ»»кййдратнчнай формм'нн м' — 1 ме)$ Йом ' ЙГаре ''В ВОООЙГЯ Говорй» ьга задача ' ' -' МОьйет бмть рещеиа мЕТОДВМЙ ЛЙНВЙЙОЙ ал. гебрм, одиеко можно замейять ее яа другую, ", для ЙОГГфой зт'о Станет ВОЛ!Гостью очевнднмм. ИменнО $$редйолохчйы, чтО на нвчвль ' 'иой нте)$8Й1$Й МСТОАВ Аармаркара 1 удовлет'. 84$Рнет Всем Уравпеииям СЙСГЕММ (8.3), за ЙСЙЛЮЧЕНЙЕМ ВОСЙВДЙЮО р»1»мО, С..
1$М„, 1 м» = О, — мхк будет ноказапо ЙЙЖ$., зто$'о всегда нож $ю легко добнтьсн. д ругн ми словамн, обозначйм чеРез (,~(Р$, .... Рх,,) множество Ре. нюню! снстемм лииейн$хх урз8$$еннй 1$»х'=- -О, рм,х=б н нредооложим, что 1=-(,: (рь-., рм„,) Вмберем $$1$$$нзв»»л»,Я»»с Г»ольГное Натуральное число Р', скажем Р= —.1644» Й ЙредсТВВЙМ Сабе, Ч$0 квз.'Ц)дтизнаи фОРма В онределеннн функвнн )(армаркара с самого начала задается В Виде т(х) р.
((р»х)'+-ч+.(рм: 'л).'.).+(рл~() . ПроематРЙВВЙ ЙнрсвййермФТОАЙ» ЙЯЧЙЙВЙ с формулм .18.4)', можйб убедйтьсй В том, ЧТО Й атом Оансвнни ннчегО не изменит"сн. НнчеГО Й6 Йзменнтся В ОЙФГаинн метОАВ .Й гфн Р '+ОЬ, ТОЛЬКО ТЕОЕРЬ ВСЕ ООСЛЕДОВВ" ТЬ»»ТЬЙМЕ ПрибЛЙЖЕНКН 1, Мз(11, М$()О( 111, ... метода будут ОстаВВ'Гьсн в лнн»,.йиом яро- стра!в:Гве 1.-'(1$»...„рч,), Яоскольку фтнкЙни )Дармаркара я)$ийет янд )рмх)ЯУ)1(х), егхь »461.'-:,$»„. Яч 1"ЕЬ' » ЕСЛН ХЧА! 11»»... ЛЧ П)Я$ зтОН Задача мйиймйзадйн числителя фуйвпии Кврмарклрн ЙВ 68 будет яредстзвлить собой задачу мйвпмпййини (рмх) ьа Йерей Гченнй 8()Ех (рь..., рм: '$). Вта последнин ',1$еввнегсн 01$тогоиальймм нрбектйрбвйиием Вбдира рн на множество ре$ЙСЙЙЙ сястемм л$$86Йнмх уравнений р$х'=-О,...
»Вм $х"- О, 1х-"м ч»."О, Т. Е. НВХОХСД6$$НЕ$$ (ЕАИНС$ВЕИЯО$0) ВЕК- тора р4м),Х(р»„с. 1(4$ $,11, расстОВЙне 81$ РМ11 От НОто)$оп» до Р»я минимально Дей СТНЙТЕЛЬИО. и ЗТОМ,СЛУЧВЕ МНННМЯЗВР)ЮЩЙЙ . фУккцию $Рмх) на;9()). (Р»... 1$», „) ВектО)з'й ; .имеет вид Ь=1+зррйрй, Где значение параметра зщ( — о, о) н($Й НВВЙСТЙОЙ $$р4юкннн р может бь$ть ле$"ко Вмчйслено Йз условий мнЙнмума )рм)»(х)).
Как следует нз 18.$$), п)$8 '0=-6,5 зто обесйечнт убмнайие функйнн )уармаркарз (1$»гх)* » П(х) на каждой Йтеравин ЯО крвйней мере н 2/е рам Волн находить значение Йа)Гаме!')ъа х из услОВЙН мнйймумн функ" Йин Ка)ЙГарк81$8, Йлн, что тО Ж6 самое, се '.Логарифма 1он (Ф(З(з))) нрн хеп( — -оо, сю), то .СХОДНМГЮТЬ МЕТОДВ МОЖ4.'Т' ТОИЬКО УЬТУЧВХНТЬСН, .Й (а.
Брактнке зто улуч$пенпе Окавмваетсн ВЙВ" ЧЯТЕЛЬНЫМ, и В ДВЛЬНЕЙЩЕМ, ГОВСфЯ О МЕТОДЕ '((,армаркара, будем Ймсть В ВНДТ ЙМЕНЙО Та. КОЙ ВХ$601$ парамст~в х. Итак, если (нз(. (р»,.... рм„.,), то с ужтом скейаннГВ Вмзмп$ненне итервннн о ~-З(о).ме- тОДЯ )(армариара саодится к ОртОГОнальному ПР4$6КТИРОВВНЙЮ ВСКТГфн РМД На ЛиисйНОЕ $$РОСГРанстно 1 (Р»Я...„РМ„$о, 1). Как нзвестио, АВЙ Ортогонального прсн$ктнровавнн достаточно реюнть нстему лннейнмх уран.
ненвй, Вознпкающую В метОАВ нанменьи$их х1$ад)!атон*. Позтому Вместе с затратамн на Скейдинг АЛН ВЬНГОЛНЕИИН ОДНОЙ НТЕ)$8Н ГН МО- тОда )Г»армаркара достаточнО оорндка *ТМ 81$ифм»»тнческих Оаервйнй. Накоиеп, чтйбм 84:*КТОР 1 УДОВЛЕТВОРЯЛ ВСЕМ ЛЙИЕЙНММ УРВВ. ненннм, за исключением $$оследпего, Аоста- тОчнО Внесен В задачу еще Одну ЙОву$О не Отр$$натюльную Переменную хь Г $ Й Йере$$Н- систему ) равнений )»х= О В вйде )»х — 1Р1)хх $ — — -О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
