Часть 4 (1125041), страница 3
Текст из файла (страница 3)
O-плоскость объекта, Lлинза, F-задняя фокальная плоскость линзы, гдеформируетсядифракционнаякартина,названная Аббе "первичным изображением", Dапертурная диафрагма линзы, I-плоскостьувеличенного "вторичного изображения".Для упрощения ситуации рассмотримслучай чисто фазового объекта, то есть когда изображение формируется толькоза счет изменения фазы проходящей или отраженной волны. В этом случаефункция, описывающая объект, будет иметь видq ( x , y ) = eiσϕ ( x , y ) ,(4.9)здесь σ-константа взаимодействия; ϕ(x,y)-описывает изменение фазы,приобретаемое волной в различных точках (x,y) объекта, и носит названиетрансмиссионной функции объекта.
Будем считать, что фазовый объектдостаточно тонкий и, следовательно, величина фазового сдвига мала, т.е. ϕ(x,y)<<1, тогда можно записать(4.10)q ( x , y ) ≈ 1 − iσϕ ( x , y )Если такой объект находится в "плоскости объекта" объективной линзы иосвещается плоской падающей волной (свет, электроны), то в "заднейфокальной плоскости" линзы сформируется дифракционное изображение этого116объекта, как показано на рис.4.8. Точками обозначены дифракционныемаксимумы соответствующих порядков. Характер дифракционной картинысогласно теории дифракции Фраунгофера будет описываться Фурьепреобразованием функции объекта в координатах обратного пространства, т.е.Q( x∗ , y∗ ) = F q ( x , y ) ,(4.11)oгде x ∗ =tβx ∗ β y, y = ; β x , β y -углы дифракции; λ-длина волны.
Подставляя сюдаλλзначение трансмиссионной функции q(x,y) для тонкого фазового объекта,получимQ ( x * , y * ) = F 1 − ei σϕ ( x ,y ) = δ ( x ∗ , y ∗ ) − i σF ϕ ( x , y ) = δ ( x ∗ , y ∗ ) − i σΦ( x ∗ , y ∗ ) ,nlsq(4.12)где δ( x , y ) -дельта-функция Дирака; Φ( x , y ) -фурье-образ фазовой функцииϕ(x,y).∗∗∗∗Рис.4.9. Участие различных дифракционных пучков в формировании дифракционногоизображения в электронном микроскопе.
Изображение формируется только за счетнулевого пучка -а) (светлопольное изображение); б) изображение формируется толькоза счет одного из боковых дифракционных максимумов (темнопольное изображение);в) изображение формируется в результате интерференции несколькихдифракционных пучков (высокое разрешение). 1-образец; 2-объективная линза; 3апертурная диафрагма; 4-дифракционное изображение объекта в фокальнойплоскости линзы; 5 - восстановленное изображение объекта в "плоскости объекта".Проведенные выше рассуждения показывают, что, чем большедифракционных максимумов будет проходить через апертурную диафрагму, т.е.чем большее число членов ряда Фурье примет участие в формированииизображения, тем выше будет разрешение оптической системы. На рис.4.9показано, как апертурная диафрагма выделяет из дифракционной картины вфокальной плоскости электронного микроскопа один центральный, или одинбоковой, или несколько дифракционных пучков для последующегоформирования изображения.4.3.2. ПЕРЕДАТОЧНАЯЯ ФУНКЦИЯЯ ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ117Любая оптическая система вносит искажения при формированииизображения, которые в оптике получили название аберраций.
Аберрации могутискажать как амплитуду, так и фазу функции Q ( x ∗ , y ∗ ) , поэтому в общем случаеэту ситуацию можно записать∗∗Q ( x ∗ , y ∗ ) ⋅ A ( x ∗ , y ∗ ) ⋅ e iχ ( x , y ) ,(4.13)∗∗где функция A( x , y ) получила название апертурной ошибки, или апертурнойфункции, и по существу описывает пространственное ограничение, вносимоеапертурной диафрагмой, а функция χ( x ∗ , y ∗ ) учитывает ошибки, вносимыеоптической системой микроскопа в фазу проходящей волны.
Тогда амплитудаизображения объекта, сформированная в плоскости объекта линзы, будет иметьвид{Ψ( x , y ) = F Q ( x ∗ , y ∗ ) ⋅ A( x ∗ , y ∗ ) ⋅ eiχ ( x∗, y∗ )}(4.14)Подставляя сюда написанное выше значение для Q ( x ∗ , y ∗ ) и производянесложные преобразования, получим{Ψ ( x , y ) = F δ ( x ∗ , y ∗ ) − iσ Φ ( x ∗ , y ∗ ) ⋅ A( x ∗ , y ∗ ) ⋅ eiχ ( x{= F δ ( x ∗ , y ∗ ) − iσΦ ( x ∗ , y ∗ ) ⋅ A( x ∗ , y ∗ ) ⋅ eiσχ ( x{= 1 − iσF Φ( x ∗ , y ∗ ) ⋅ A( x ∗ , y ∗ ) ⋅ eiσχ ( x{} {∗, y∗ )= 1 − iσF Φ( x ∗ , y ∗ ) ∗ F A( x ∗ , y ∗ ) ⋅ eiχ ( x∗∗, y∗ )}=}=, y∗ ){{, y∗ )}=}== 1 − iσϕ ( x , y ) ∗ F A( x ∗ , y ∗ ) ⋅ eiχ ( xВведем следующее обозначение∗S ( x , y ) = F A ( x ∗ , y ∗ ) ⋅ e iχ ( x∗∗, y∗ ), y∗ )}.}(4.15)(4.16)Это выражение получило название передаточной функции оптической системыи фактически является импульсным откликом системы на единичноевозбуждение, или, другими словами, описывает изображение точки воптической системе с аберрациями. Тогда окончательно амплитудуизображения тонкого фазового объекта можно записать в видеΨ( x , y ) = 1 − iσϕ ( x , y ) ∗ S ( x , y )В том случая когда фазовый множитель χ(x*,y*) не зависит от координат иливообще равен нулю, передаточная функция определяется только величинойsin Axпоказанный на рис.4.10.
Параметр Aапертуры A(x*,y*) и имеет видAxявляется величиной числовой апертуры линзы. В приведенном выраженииоставлена лишь одна координата так как задача в данном случае имеетцилиндрическую симметрию.b g118Рис 4.10.Общий вид передаточной функцииоптической системы для случая когдафазовый множитель в выражении (4.16)равен единице .Интенсивность, а, следовательно, и плотность почернения на фотографическомизображении тонкого фазового объекта, будет иметь видI ( x , y ) = 1 − iσϕ ( x , y ) ∗ S ( x , y )2≈ 1 − 2 σϕ ( x , y ) ∗ S ( x , y )(4.17)Из полученного выражения видно, что микроскоп достаточно точно передаетвид объекта только в случае, если передаточная функция S(x,y) близка кединице.
В действительности эта функция сложным образом зависит откоординат и может быть близка к единице только в определенной областизначений констант прибора.1194.4. АНАЛИЗ АБЕРРАЦИЙ В ЭЛЕКТРОННОММИКРОСКОПЕ4.4.1. ТОНКИЙ ФАЗОВЫЙ ОБЪЕКТ В ЭЛЕКТРОННОЙМИКРОСКОПИИРассмотрим более подробно, что имеется в виду под понятием тонкогофазового объекта в электронной микроскопии [9-14]. Рассмотримкристаллическую пластину толщиной t. Пусть распределение электрическогопотенциала внутри этой пластины описывается функцией V(x,y,z).
Длина волныпадающих электронов в пучке электронного микроскопа в вакууме задаетсявыражениемhλ=(4.18)2 meEПри движении электронов внутри кристалла следует учитывать дополнительноеэлектрическое поле V(x,y,z)=V(r), существующее в кристалле за счетраспределения электрических зарядов, и тогда выражение, определяющее длинуволны электронов, будет иметь видh(4.19)λ′ =2 me E + V ( r )ejСледовательно дополнительная разность фаз, приобретаемая электронами припрохождении слоя вещества толщиной dz, должна определяться, какdzdz 2 π ⋅ dz λdχ ( r ) = 2 π ⋅ − 2 π ⋅=⋅−1(4.20)λ′λλF IGH λ′ JKНаписанное выражение для изменения фазы можно упростить, учитывая, чтоE>>V(r)dχ ( r ) =2 π ⋅ dzλ=⋅FGH2 π ⋅ dzλили введя обозначение σ =IJK2 π ⋅ dzE + V ( r)−1 =⋅EλFGH⋅ 1+IJKFGH1+IJKV ( r)−1 =E1 V (r)π⋅−1 =V ( x , y , z ) dz ,2 EλE(4.21)π, можно окончательно записатьλEdχ ( x , y , z ) = σV ( x , y , z ) ⋅ dz(4.22)Величина σ носит название константы взаимодействия.
В релятивистском2π⋅случае она имеет вид σ =, где β=v/c. Полная фаза, набегаемаяλE 1 + 1 + β 2пучком электронов при прохождении всего кристалла толщиной t, будетопределяться интегрированием выражения (4.22) по всей толщине кристаллат.е.ztχ ( x , y ) = σ V ( x , y , z ) dz = σϕ ( x , y )0(4.23)120Таким образом функция ϕ(x,y) представляет собой проекцию распределенияэлектрического потенциала V(x,y,z) внутри кристалла толщиной t на плоскость(x,y) перпендикулярную направления движения электронов [2,5,9-14]. С другойстороны из электродинамики известно, что электрический потенциал V(x,y,z)связан с распределением электронной плотности в кристаллической решеткеуравнением Пуассона divV ( r ) = 4 πρ ( r ) .4.4.2. АНАЛИЗ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИЭЛЕКТРОННОГО МИКРОСКОПАПередаточная функция интегрирует в себе различного рода ошибкиоптической системы при передаче и формировании изображения объекта.Любая оптическая система будет вносить искажения как в амплитуду, так и вфазу проходящей волны.
Основными ошибками оптических систем являютсядифракционная, сферическая, хроматическая аберрации, ошибки, вносимыерасходимостью пучка и дефокусировкой [9-14]. Рассмотрим подробнее этиошибки.Конечность апертуры оптической системы приводит к отсеканиюпучков, проходящих под углами >βA (апертурный угол), и ограничивает0 . 61 λполучаемое разрешение ошибкой ρ A =. Это искажение получилоβAназвание апертурной, или дифракционной ошибки.Лучи, идущие от какой-либо точки объекта и пересекающие плоскостьлинзы на разных расстояниях от ее оси, могут фокусироваться на разныхрасстояниях от плоскости линзы, т.е. фокус будет размываться в аксиальномнаправлении.
Это явление, как уже отмечалось выше, получило названиесферической аберрации. Величина ошибки за счет сферической аберрацииопределяется соотношением ρs = Cs ⋅ β3 , где Cs -коэффициент сферическойаберрации, β-апертурный угол. Величина фазового сдвига при этом равнаβ4. Изображение точки в этом случае в плоскости изображенияλбудет выглядеть в виде размытого диска с размерами ρs.χ s = 0 . 5 π Cs ⋅Другая ошибка возникает за счет относительного разброса длин волнпадающего излучения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
