А.В. Прохоров - Курс лекций по математической статистике (1124594), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Ïîñêîëüêó óíêöèÿ F (x) íåïðåðûâíà è ñòðîãî ìîíîòîííà, òî äëÿ êàæäîãî i = 0; : : : ; k íàéäåòñÿ xi :kF (xi ) = ki (âîçìîæíî, x1 = 1 èëè xk = +1), ïðè÷åì òàêèå x1 ; : : : ; xk îïðåäåëåíû îäíîçíà÷íî. Äëÿ ñîñåäíèõòî÷åê, ïî îïðåäåëåíèþ,F (xi+1 ) F (xi ) =Çàèêñèðóåì i è ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó x: xi1k6 ":(13)< x < xi+1 .  ñèëó ìîíîòîííîñòè óíêöèé Fè Fb èìååì:Fbn (xi ) F (xi+1 ) 6 Fbn (x) F (x) 6 Fbn (xi+1 ) F (xi );(14)è èñïîëüçóÿ íåðàâåíñòâî (13), îòñþäà ïîëó÷àåì:Fbn (xi ) F (xi ) " 6 Fbn (x) F (x) 6 Fbn (xi+1 ) F (xi+1 ) + ";Fbn (x)F (x) 6 max Fbn (xi ) F (xi ) + ";06i6k8 x 2 R; =)1supFbn (x) F (x) 6 max Fbn (xi ) F (xi ) + "; 8 " > 0; ãäå 6 ":(15)06i6kkx2Ràññìîòðèì ñîáûòèå Ai = ! : Fbn (xi ; ! ) ! F (xi ); n ! 1 : Ïî ÓÇÁ× äëÿ ñõåìû Áåðíóëëè P(Ai ) = 1.A~ =A(k) =kTAi . Åãî âåðîÿòíîñòü ðàâíà P(A(k) ) = 1 (ïðîâåðüòå!).
Î÷åâèäíî, ñîáûòèåi=1A(k) ðàâíîñèëüíî òîìó, ÷òî max Fbn (xi ; !) F (xi ) ! 0, n ! 1. Îïðåäåëèì ñîáûòèÿ06i6kÄàëåå, ðàññìîòðèì ñîáûòèå1\k=2A(k) ; B = ! : supFbn (xi ; !) F (xi ) ! 0; n ! 1 :x2R ñèëó íåðàâåíñòâà (15) A~ B , à ïîñêîëüêó P(A~) = 1, òî è P(B ) = 1.2) Ïóñòü òåïåðü F (x) ïðîèçâîëüíàÿ (íåóáûâàþùàÿ) íåïðåðûâíàÿ óíêöèÿ. Òîãäà îïðåäåëèì xi òàê:xi = inf x : F (x 0) 6ik6 F (x) :Äàëåå ðàññóæäàåì àíàëîãè÷íî ïåðâîìó ñëó÷àþ. Îñòàëîñü çàìåòèòü, ÷òî ïðè ïðèìåíåíèè ÓÇÁ× äëÿ ñõåìûÁåðíóëëè â äàííîì ñëó÷àå íóæíî ïðåäñòàâèòü ñîáûòèå Ai â âèäå Ai = A0i \ A00i , ãäåA0i = ! : Fbn (xi ; !)! F (xi ); n ! 1 ; A00i = ! : Fbn (xi 0; !) ! F (xi 0); n ! 1 :Âåðîÿòíîñòü êàæäîãî èç ýòèõ ñîáûòèé ðàâíà P(A0i ) = P(A00i ) = 1, ïîýòîìó è P (Ai ) = 1; äàëüíåéøèå ðàññóæäåíèÿâ òî÷íîñòè òàêèå æå, êàê è â ñëó÷àå 1).
112.2.3. Ñòàòèñòèêà ÊîëìîãîðîâàÏóñòü äàíà ñëó÷àéíàÿ âûáîðêà 1 ; : : : ; n íåçàâèñèìûå îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñíåïðåðûâíîé óíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F (x).Îïðåäåëåíèå. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Dn = Dn (1 ; : : : ; n ) = supFbn (x; 1 ; : : : ; n ) F (x) íàçûâàåòñÿ ñòàòèx2Rñòèêîé Êîëìîãîðîâà. òåðìèíàõ ñòàòèñòèêè Êîëìîãîðîâà òåîðåìó ëèâåíêî Êàíòåëëè ìîæíî ïåðåîðìóëèðîâàòü òàê:äèòñÿ ê íóëþ ïðè n ! 1 ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 (ò.
å. P-ï.í.).pÂèä àñèìïòîòè÷åñêîé óíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñòàòèñòèêè nDn äàåò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.Òåîðåìà 2.4 (Êîëìîãîðîâ). Åñëè óíêöèÿ F (x) íåïðåðûâíà, òî ïðè ëþáîì y > 0Dnñõî-1pnD 6 y) = K (y) := X2 2( 1)me 2m y :limP(nn !1m= 1pÇàìå÷àíèå. Äëÿ y 6 0, î÷åâèäíî, P( nDn 6 y ) = 0.Ó÷àñòâóþùàÿ â òåîðåìå óíêöèÿK (y) =1P2 2( 1)m e 2m y , y > 0 íàçûâàåòñÿ óíêöèåé Êîëìîãîðîâà.m= 1Ìû äîêàæåì òîëüêî ÷àñòü òåîðåìû Êîëìîãîðîâà, à èìåííî ñëåäóþùóþ ëåììó:Ëåììà 2.5. àñïðåäåëåíèå ñòàòèñòèêè Êîëìîãîðîâà Dn (1 ; : : : ; n ), ãäå 1 ; : : : ; n íåçàâèñèìûå îäèíàêîâîðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñ íåïðåðûâíîé óíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F (x), íå çàâèñèò îò âèäà óíêöèèF (x). àññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ.1) Ïóñòü y = F (x) íåïðåðûâíàÿ è ñòðîãî ìîíîòîííàÿ óíêöèÿ.
Òîãäà ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ óíêöèÿ:x = F 1 (y). àññìîòðèì ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Y1 ; : : : ; Yn , Yk = F (k ), k = 1; : : : ; n. Îíè íåçàâèñèìû è èìåþòîäèíàêîâîå ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå íà îòðåçêå [0; 1℄:R(y) = P(Yk 6 y) = P(F (k ) 6 y) = P(k 6 F 1 (y)) = F (F 1 (y)) = y; 0 < y < 1:Ýìïèðè÷åñêàÿ óíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Y1 ; : : : ; Yn :nn1X1X1Rbn (y; Y1 ; : : : ; Yn ) =IfYk 6yg =I= Fbn (F 1 (y));n k=1n k=1 fk 6F (y)gãäå Fbn (x) = Fbn (x; 1 ; : : : ; n ) ýìïèðè÷åñêàÿ óíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âûáîðêè 1 ; : : : ; n .àññìîòðèì î÷åâèäíîå ðàâåíñòâîsupFbn (x)F (x) =x: 0<F (x)<1supy: 0<y<1bn (y )RR(y):Åãî ëåâàÿ ÷àñòü ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 ñîâïàäàåò ñ Dn (1 ; : : : ; n ), à ïðàâàÿ ÷àñòü ñ Dn (Y1 ; : : : ; Yn ). Ñòàòèñòèêà Dn (Y1 ; : : : ; Yn ) îò âèäà óíêöèè F (x) íå çàâèñèò, ïîñêîëüêó îò F (x) íå çàâèñèò ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíûõâåëè÷èí Y1 ; : : : ; Yn .Äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà îñòàëîñü ïîêàçàòü, ÷òî íà ìíîæåñòâå C = x : F (x) = 0 èëè F (x) = 1ýìïèðè÷åñêàÿ óíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿFbn (x) è òåîðåòè÷åñêàÿF (x) ñîâïàäàþò ñ âåðîÿòíîñòüþ 1.
Äëÿ ýòîãîäîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü, ÷òîP sup Fbn (x) F (x) = 0 = 1. Ïðîâåðêó ýòîãî àêòà ìû ïðåäîñòàâëÿåì ÷èòàòåëþ.x2C2) Åñëè óíêöèÿ F (x) ïðîèçâîëüíàÿ (íåóáûâàþùàÿ) íåïðåðûâíàÿ óíêöèÿ,òî ðàññóæäåíèÿàíàëîãè÷íûïðåäûäóùåìó ñëó÷àþ, òîëüêî â ýòîì ñëó÷àå íóæíî ïîëîæèòü F 1 (y ) = sup x : F (x) = y . ×èòàòåëþ ðåêîìåíäóåòñÿ àêêóðàòíî ïðîâåñòè ðàññóæäåíèÿ äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ ñàìîñòîÿòåëüíî.
2.2.4. Êðèòåðèé Êîëìîãîðîâààññìîòðèì äâå ãèïîòåçû î óíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F (x): H0 : F (x) = F0 (x) (íóëåâàÿ ãèïîòåçà), ãäå F0 (x) çàäàííàÿ íåïðåðûâíàÿ óíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ; H1 : F (x) 6= F0 (x) (àëüòåðíàòèâíàÿ ãèïîòåçà).Ñòàòèñòèêà Êîëìîãîðîâà ïîçâîëÿåò ñîðìóëèðîâàòü êðèòåðèé, ñîãëàñíî êîòîðîìó âûáèðàåòñÿ îäíà èç ýòèõäâóõ ãèïîòåç. À èìåííî:ppÊðèòåðèé Êîëìîãîðîâà.
Åñëè nDn > y , òî H0 îòêëîíÿåì (H1 ïðèíèìàåì), åñëè æå nDn 6 y ,òî H0 ïðèíèìàåì (H1 îòêëîíÿåì). Çäåñü ÷èñëî y íàçûâàåòñÿ êðèòè÷åñêèì çíà÷åíèåì è ðàâíî y = y1 êâàíòèëü óðîâíÿ (1 ) óíêöèè Êîëìîãîðîâà K (y ) (ò. å. ðåøåíèå óðàâíåíèÿ K (y ) = 1 ).Íà ïðàêòèêå äëÿ çàäàííîãî êâàíòèëü y1 íàõîäèòñÿïî òàáëèöå êâàíòèëåéóíêöèè Êîëìîãîðîâà.ppÄåéñòâèòåëüíî, ïî òåîðåìå Êîëìîãîðîâà PH0 ( nDn > y ) = 1 PH0 ( nDn 6 y1 )! 1 K (y1 ) =n !11 (1 ) = ; ò.
å. âåðîÿòíîñòü îøèáêè I ðîäà ïðèáëèæåííî ðàâíà (åñëè n äîñòàòî÷íî âåëèêî).122.2.5. Âûáîðî÷íûå õàðàêòåðèñòèêè êàê õàðàêòåðèñòèêè ýìïèðè÷åñêîé óíêöèèðàñïðåäåëåíèÿÍàïîìíèì íåêîòîðûå îïðåäåëåííûå â ï. 2.1.4 âûáîðî÷íûå õàðàêòåðèñòèêè âûáîðî÷íîå ñðåäíåå è âûáîðî÷íóþ äèñïåðñèþ:x1 + : : : + xn2 (x1 x)2 + : : : + (xn x)2x =n; s =n:Óòâåðæäåíèå 2.6. x è s2 ñîîòâåòñòâåííî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèÿ ýìïèðè÷åñêîãî ðàñ-ïðåäåëåíèÿ (ò. å.
ðàñïðåäåëåíèÿ, îïðåäåëÿåìîãî óíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ Fbn (x; x1 ; : : : ; xn ) = Fbn (x)). Îáîçíà÷èì ýìïèðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå ^, Fbn (x) óíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ^. Òîãäà äîêàçàòåëüñòâîñëåäóåò èç ñîîòíîøåíèéZn Zn1X1X^bx dIfx>xk g =x = x;M = x dFn (x) = nn k=1 kk=1RRZn ZnX1XD^ = (x x)2 dFbn (x) = n1(x x)2 dIfx>xk g =(xk x)2 = s2 :nk=1 Rk=1RÇäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü îïðåäåëåíèåì ýìïèðè÷åñêîéóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, ëèíåéíîñòüþ èíòåãðàëà ÑòèëRòüåñà è îðìóëîé äëÿ èíòåãðàëà Ñòèëòüåñà f (x) dg (x) = f ( ), ãäå g (x) óíêöèÿ îäíîãî ñêà÷êà (â òî÷êå ),X = g( + 0) g( 0) âåëè÷èíà ñêà÷êà. Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî âûáîðî÷íûå ìîìåíòû ïîðÿäêà k ÿâëÿþòñÿ ìîìåíòàìè ïîðÿäêà k ýìïèðè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïîêàæåì, ÷òî âûáîðî÷íûå ìîìåíòû ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê õîðîøèå îöåíêè ìîìåíòîâòåîðåòè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.Ïóñòü x1 ; : : : ; xk âûáîðêà, ïîðîæäåííàÿ íåçàâèñèìûìè îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûìè ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè 1 ; : : : ; n , F (x) èõ (òåîðåòè÷åñêàÿ) óíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ (íåèçâåñòíàÿ, èëè èçâåñòíî â êàêîìêëàññå ëåæèò, íî íåèçâåñòíî êàêàÿ èìåííî).
ż k -òûé ìîìåíò ðàâåík =+1Z1xk dF (x); k 2 N :(1 ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå, 2 âòîðîé ìîìåíò, 2ìîìåíòû ìîìåíòû ýìïèðè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ:= 2 21 äèñïåðñèÿ, è ò.ä.). àññìîòðèì âûáîðî÷íûå+1Zk1Xxk1 + : : : + xknk^k;n =x == xk dFbn (x):n i=1 in1Åñëè ðàññìàòðèâàòü ^k;n êàê îöåíêèk , òî ëåãêîïîëó÷àåì ñëåäóþùèå å¼ ñâîéñòâà: k1 + : : : + nk1) Íåñìåù¼ííîñòü: M^k;n = M= M k = k ;n2) Ñîñòîÿòåëüíîñòü: ïî çàêîíó áîëüøèõ ÷èñåë ^k;n! M^k;n = k =) ^k;n !P k , n ! 1.ï.í.2.2.6. àñïðåäåëåíèå ïîðÿäêîâûõ ñòàòèñòèêÏóñòü 1 ; : : : ; n ñëó÷àéíàÿ âûáîðêà ñ òåîðåòè÷åñêîé óíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F (x), (1) ; : : : ; (n) å¼ïîðÿäêîâûå ñòàòèñòèêè.Íàéäåì ðàñïðåäåëåíèå (k) , k 2 N .
Ïóñòü G(k) (x) = P((k) 6 x) óíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ (k) . Ïðè êàæäîìèêñèðîâàííîì x 2 R èìååì:nXkG(k) (x) = P (k) 6 x = P F^n (x) >=Cni F (x) i 1 F (x) n i :ni=kÏðèìåð 2.1. Ïóñòü F (x) óíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íà îòðåçêå [0; 1℄: F (x) = x,0 < x < 1. ÒîãäàG(k) (x) = P (k) 6 x =13nXi=kCni xi (1 x)n i :Íàéäåì ïëîòíîñòü ýòîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Äëÿ ýòîãî ïðîäèåðåíöèðóåì óíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ:nXG(k) (x) 0x = iCni xi 1 (1 x)n ii=k=nXnCni 11 xi 1 (1 x)(n 1) (i 1)i=k(n i)Cni xi (1 x)(n 1) i =nX1nCni 1 xi (1 x)(n 1) i =i=k1 + : : : nCnk 1 xk (1 x)n k 1 : : : = nC k 1 xk 1 (1 x)n k :n 1i1iii(âî âòîðîì ðàâåíñòâå âîñïîëüçîâàëèñü òîæäåñòâàìè iCn = nCn 1 , (n i)Cn = nCn 1 ).
Òàêèì îáðàçîì, ïëîòíîñòü0n!xk 1 (1 x)n k ; à óíêöèÿðàñïðåäåëåíèÿ (k) ðàâíà P((k) 6 x) = nCnk 11 xk 1 (1 x)n k =(k 1)!(n k)!= nCnki=k1 xk 1 (1 x)(n 1) (k 1) + nC k xk (1 x)nn 11nX1kðàñïðåäåëåíèÿ n!G(k) (x) = P((k) 6 x) =(k 1)!(n k)!Zx0tk 1 (1 t)n k dt; 0 < x < 1:(16)Îïðåäåëåíèå.
Ïóñòü a > 0, b > 0. àñïðåäåëåíèå ñ ïëîòíîñòüþ8<1xa 1 (1 x)b 1 ; 0 < x < 1;p(x) = : B (a; b)0;x 6 0 èëè x > 1;ãäåB (a; b) =R1 at0ñ ïàðàìåòðàìè1 (1 t)b 1 dta > 0, b > 0. áåòà-óíêöèÿ (ýéëåðîâ èíòåãðàë I ðîäà), íàçûâàåòñÿ áåòà-ðàñïðåäåëåíèåìÔóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ áåòà-ðàñïðåäåëåíèÿ Ix (a; b)(0 < x < 1) íàçûâàåòñÿ íåïîëíîé áåòà-óíêöèåé.=1 Rx a 1t (1 t)b 1 dtB (a; b) 0R1(a) (b)B (a; b) =, ãäå () = x 1 e x dx ãàììà-óíêöèÿ(a + b)0Ýéëåðà (ýéëåðîâ èíòåãðàë II ðîäà), è äëÿ n 2 N (n + 1) = n!, ïîýòîìó îðìóëó (16) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäåÈç ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà èçâåñòíî, ÷òîG(k) (x) = P((k) 6 x) =Zx1B (k; n k + 1)0tk 1 (1 t)n k dt = Ix (k; n k + 1); 0 < x < 1:Òàêèì îáðàçîì, íàìè äîêàçàí ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò.Óòâåðæäåíèå 2.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
