А.В. Прохоров - Курс лекций по математической статистике (1124594), страница 3
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Ïóñòü äëÿ ïàðàìåòðà p ïîëó÷åíà èíòåðâàëüíàÿîöåíêà äëÿ çàäàííîé âåðîÿòíîñòè îøèáêè äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë [pn ; pn ℄. Òîãäà ìîæíî ïðåäëîæèòü òàêîéêðèòåðèé:1) Åñëè p0 2 [pn ; pn ℄, òî H0 ïðèíèìàåì (è ñîîòâåòñòâåííî, îòêëîíÿåì H1 );2) Åñëè p0 62 [pn ; pn ℄, òî H0 îòêëîíÿåì (è òåì ñàìûì ïðèíèìàåì H1 ).Ïîñêîëüêó [pn ; pn ℄ äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë ñ äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ 1 , òî âåðîÿòíîñòü îøèáêèI ðîäà íå ïðåâîñõîäèò .àññìîòðèì åùå îäèí ïðèìåð ãèïîòåç î ïàðàìåòðå p ñõåìû Áåðíóëëè. Ïóñòü H0 : p = p0 , H1 : p = p1 , ãäåp0 < p1 çàäàíû, è ïóñòü âåðîÿòíîñòü îøèáêè I ðîäà, âåðîÿòíîñòü îøèáêè II ðîäà. Êàê âñåãäà,îáîçíà÷àåì Sn = 1 + : : : + n .
Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêîé êðèòåðèé: åñëè Sn > m , òî H0 îòêëîíÿåì (òåì ñàìûìïðèíèìàÿ H1 ), à åñëè Sn 6 m , òî H0 ïðèíèìàåì (H1 îòêëîíÿåì). ×èñëî m íàçûâàåòñÿ êðèòè÷åñêèì çíà÷åíèåìè íàõîäèòñÿ èç ñîîáðàæåíèé ìèíèìèçàöèè ïðè èêñèðîâàííîì n ñóìì (âåðîÿòíîñòåé îøèáîê I è II ðîäà)=nXm=m +1Cnm pm0 (1 p0 )n m ; =mXm=0Cnm pm1 (1 p1 )n m :Çàäà÷à 1.1. Ïóñòü çàäàíû 0 < 0 < 1 è 0 < 0 < 1. Íàéòè íàèìåíüøåå çíà÷åíèå n è ñîîòâåòñòâóþùåååìó m (n), òàêèå ÷òî äàííûé êðèòåðèé ðàçëè÷àåò ãèïîòåçû H0 è H1 ñ âåðîÿòíîñòÿìè îøèáîê I è II ðîäà,íå ïðåâîñõîäÿùèìè ñîîòâåòñòâåííî 0 è 0 .Íà ýòîì ìû çàâåðøàåì îáçîð.
Äàëåå ðå÷ü ïîéä¼ò ïîäðîáíåå î òî÷å÷íûõ îöåíêàõ, èíòåðâàëüíûõ îöåíêàõ èïðîâåðêå ãèïîòåç.72. Òî÷å÷íûå îöåíêè2.1. Îáùèå ïîíÿòèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè2.1.1. Ñòàòèñòè÷åñêàÿ ìîäåëüÔóíäàìåíòàëüíûì ïîíÿòèåì òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ÿâëÿåòñÿ âåðîÿòíîñòíàÿ ìîäåëü (âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî) ýòî òðîéêà (; A ; P), ãäå ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, A -àëãåáðà ïîäìíîæåñòâ ýòîãîïðîñòðàíñòâà (ñîáûòèé), P âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà íà -àëãåáðå A .Îñíîâíûì îáúåêòîì èññëåäîâàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè ÿâëÿåòñÿ ñòàòèñòè÷åñêàÿ ìîäåëü.
Îïðåäåëèìýòî ïîíÿòèå.åçóëüòàòîì ñòàòèñòè÷åñêîãî ýêñïåðèìåíòà ÿâëÿþòñÿ âåùåñòâåííûå ÷èñëà x1 ; : : : ; xn ñòàòèñòè÷åñêèå äàííûå. Ýòî çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí 1 ; : : : ; n . Èõ ñîâîêóïíîñòü x(n) = (x1 ; : : : ; xn ) íàçûâàåòñÿ âûáîðêîéðàçìåðà (ïîðÿäêà) n.Îïðåäåëåíèå. Ñòàòèñòè÷åñêîé ìîäåëüþ íàçûâàåòñÿ òðîéêà (X ; B (X ); P ), ãäå X = fx(n) g âûáîðî÷íîå ïðîñòðàíñòâî, ò. å. ñîâîêóïíîñòü âñåâîçìîæíûõ âûáîðîê ðàçìåðà n, B (X ) -àëãåáðà íà âûáîðî÷íîìïðîñòðàíñòâå, P = fPg íåêîòîðîå ñåìåéñòâî ðàñïðåäåëåíèé âåðîÿòíîñòåé, çàäàííîå íà B (X ). ïðîñòåéøåì ñëó÷àå ñ÷èòàåì, ÷òî X Rm , à B (X ) áîðåëåâñêàÿ -àëãåáðà.Ïðèìåðàìè ñåìåéñòâ ðàñïðåäåëåíèé ìîãóò ñëóæèòü, íàïðèìåð, ñåìåéñòâî áåðíóëëèåâñêèõ ðàñïðåäåëåíèé,p 2 [0; 1℄; ñåìåéñòâî ïóàññîíîâñêèõ ðàñïðåäåëåíèé, 2 (0; 1); ñåìåéñòâî áèíîìèàëüíûõ ðàñïðåäåëåíèé ñ ïàðàìåòðàìè (n; p), ãäå n èêñèðîâàíî, à p 2 (0; 1) è ò.ä.Íàøà öåëü âûäåëèòü èç ñåìåéñòâà ðàñïðåäåëåíèé òî åäèíñòâåííîå ðàñïðåäåëåíèå, êîòîðîå íàèëó÷øèìîáðàçîì ñîîòâåòñòâóåò íàøèì çàïðîñàì, òî÷íåå, ïîëó÷åííîé âûáîðêå (ïîñëå ýòîãî ìû ñìîæåì ðàáîòàòü ñ âåðîÿòíîñòíîé ìîäåëüþ).Åñëè P = fP j 2 g, ãäå ïàðàìåòð, Rm ïàðàìåòðè÷åñêîå ìíîæåñòâî, òî ãîâîðÿò, ÷òî P ïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî ðàñïðåäåëåíèé, à (X ; B (X ); P ) ïàðàìåòðè÷åñêàÿ ìîäåëü.Ïóñòü èìååòñÿ ñëó÷àéíûé âåêòîð (n) = f1 ; : : : ; n g ñî çíà÷åíèÿìè (x1 ; : : : ; xn ) â âûáîðî÷íîì ïðîñòðàíñòâåX.
 ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì ñòàòèñòè÷åñêîé ìîäåëè, P ñåìåéñòâî ðàñïðåäåëåíèé ñëó÷àéíîãî âåêòîðà (n) . ×òîáû íå ïóòàòü íàáîð ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (ñëó÷àéíûé âåêòîð) 1 ; : : : ; n ñ åãî êîíêðåòíûìè çíà÷åíèÿìèx1 ; : : : ; xn , ãîâîðÿò, ÷òî x1 ; : : : ; xn âûáîðêà, à 1 ; : : : ; n (i = i (!)) ñëó÷àéíàÿ âûáîðêà.2.1.2. Îáîñíîâàíèå ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà ïðè ñòðåìëåíèè ðàçìåðà âûáîðêè êáåñêîíå÷íîñòè(n)Ñ÷èòàåì, ÷òî R n-ìåðíîå åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî1 . àññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âûáîðî÷íûõ ïðî-ñòðàíñòâ(R(1) ; B(R(1) )); : : : ; (R(n) ; B(R(n) )); : : :ñ âåðîÿòíîñòíûìè ìåðàìè P1 ; : : : ; Pn ; : : : .
Èññëåäóåì èõ ïðåäåëüíûå ñâîéñòâà ïðè n ! 1.Îïðåäåëåíèå. Âåðîÿòíîñòíûå ìåðû P1 ; : : : ; Pn ; : : : íàçûâàþòñÿ ñîãëàñîâàííûìè, åñëè8 n 2 N 8 B 2 B(R(n) ) Pn+1 (B R) = Pn (B )Ââåä¼ì ïðîñòðàíñòâî (R(1) ; B (R(1) )), ãäå R(1) = fx = (x1 ; : : : ; xn ; : : : ) j xk 2 Rg, B (R(1) ) áîðåëåâñêàÿ-àëãåáðà.Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü B 2 B (R(n) ). Òîãäà áîðåëåâñêèì öèëèíäðîì íàçûâàåòñÿ ñëåäóþùåå ìíîæåñòâî:Zn (B ) = fx = (x1 ; : : : ) 2 R(1) j (x1 ; : : : xn ) 2 B g:Òåîðåìà 2.1 (Êîëìîãîðîâ). Åñëè ìåðû íà R(1) ; : : : ; R(n) ; : : : ñîãëàñîâàíû, òî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿâåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà P íà (R(1) ; B (R(1) )) òàêàÿ, ÷òî P(Zn (B )) = Pn (B ) äëÿ âñåõ B 2 B (R(n) ) è äëÿ âñåõíàòóðàëüíûõ n.Ýòà òåîðåìà îáîñíîâûâàåò çàêîííîñòü ïåðåõîäà ê ïðåäåëó ïðè n ! 1 (n ðàçìåð âûáîðêè).2.1.3.
Ìîäåëü ïîâòîðíûõ èñïûòàíèéÎïðåäåëåíèå. Ìîäåëüþ ïîâòîðíûõ èñïûòàíèé íàçûâàåòñÿ ñòàòèñòè÷åñêàÿ ìîäåëü, â êîòîðîé ñëó÷àéíûåâåëè÷èíû 1 ; : : : ; n (ñî çíà÷åíèÿìè x1 ; : : : ; xn ñîîòâåòñòâåííî, (x1 ; : : : ; xn ) 2 X ) íåçàâèñèìû è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû. äàëüíåéøåì ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî ìîäåëè ïîâòîðíûõ èñïûòàíèé.1 Ïî÷åìó-òî ëåêòîð îáîçíà÷èë åãî íåñòàíäàðòíî... ïðèìå÷. Ñ. Ê.8Ïðèìåð 1.1. àññìîòðåííàÿ âûøå ñòàòèñòè÷åñêàÿ ìîäåëü ñõåìû Áåðíóëëè ìîäåëü ïîâòîðíûõ èñïûòàíèé.Äåéñòâèòåëüíî, â ýòîì ñëó÷àå ðàññìàòðèâàþòñÿ íåçàâèñèìûå èñïûòàíèÿ ñ îäíèì è òåì æå ðàñïðåäåëåíèåìâåðîÿòíîñòè P( = 0) = p, P( = 1) = 1 p, ãäå p 2 (0; 1) ïàðàìåòð.Ïðèìåð 1.2. àññìîòðèì ýêñïåðèìåíò ïî èçìåðåíèþ òåìïåðàòóðû.
Ìû ñ÷èòàåì, ÷òî èçìåðåíèÿ íåçàâèñèìûè ðåçóëüòàòû èçìåðåíèé çíà÷åíèÿ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí 1 ; : : : ; n . Íà ïðàêòèêåîáû÷íî ðåçóëüòàòû èçìåðåíèé êîëåáëþòñÿ îêîëî íåêîòîðîãî ïîñòîÿííîãî çíà÷åíèÿ a, ïîýòîìó óäîáíî ðàññìàòðèâàòü â âèäå = a + , ãäå = (1 ; : : : ; n ), = (1 ; : : : ; n ) ñëó÷àéíàÿ îøèáêà, èëè â êîîðäèíàòàõ:k = a + k , k = 1; : : : ; n. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû 1 ; : : : ; n òàêæå íåçàâèñèìû è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû; ïðèýòîì Mk = 0, Dk = 2 8 k .
Ñðåäíÿÿ òåìïåðàòóðà âû÷èñëÿåòñÿ êàê ñðåäíåå àðèìåòè÷åñêîå ðåçóëüòàòîâèçìåðåíèé: + : : : + n + : : : + n + : : : + nn = 1=a+ 1; n = 1nnn ñðåäíÿÿ îøèáêà,2M n = 0; D n = n :2.1.4. Âûáîðî÷íûå õàðàêòåðèñòèêèÏóñòü â íåêîòîðîé ñòàòèñòè÷åñêîé ìîäåëè èìååòñÿ âûáîðêà ïîðÿäêà n: x1 ; : : : ; xn .Îïðåäåëåíèå. Ñòàòèñòèêîé íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîëüíàÿ èçìåðèìàÿ óíêöèÿ f (x1 ; : : : ; xn ) îò ýëåìåíòîâ âûáîðêè x1 ; : : : ; xn .Îïðåäåëåíèå.
Åñëè ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà èìååò ðàñïðåäåëåíèå F (x), òî ìåäèàíîé ðàñïðåäåëåíèÿ íàçûâàåòñÿ òàêîå ÷èñëî , ÷òî F () = 12 .Ìåäèàíà ðàñïðåäåëåíèÿ îáëàäàåò òåì ñâîéñòâîì, ÷òî P( > ) = P( 6 ).àññìîòðèì ïðèìåðû íàèáîëåå ÷àñòî âñòðå÷àþùèõñÿ ñòàòèñòèê (èëè âûáîðî÷íûõ õàðàêòåðèñòèê ):Âûáîðî÷íîå ñðåäíåå:xn :=Âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ:Sn2 :=Âûáîðî÷íûé ìîìåíò ïîðÿäêà k :Âûáîðî÷íûé öåíòðàëüíûé ìîìåíò ïîðÿäêà k :k =Mi=1n1X(xn i=1 ibk =nXxi ;(1)xn )2 ;(2)n1Xxkn i=1 in1X(xn i=1 i(3)xn )k ;(4)Ïîðÿäêîâûå ñòàòèñòèêè: óïîðÿäî÷èì ýëåìåíòû âûáîðêè ïî âîçðàñòàíèþ, ïîëó÷èì ïîñëåäîâàòåëüíîñòüx(1) ; : : : ; x(n) :(5)Îíà íàçûâàåòñÿ âàðèàöèîííûì ðÿäîì âûáîðêè, à å¼ ýëåìåíòû ïîðÿäêîâûìè ñòàòèñòèêàìè.
Ñëó÷àéíûåâåëè÷èíû (n) ñî çíà÷åíèÿìè x(n) òàêæå íàçûâàþòñÿ ïîðÿäêîâûìè ñòàòèñòèêàìè. Áîëåå îðìàëüíî,x(1) := min(x1 ; : : : ; xn );x(2) := max min(x1 ; : : : ; xk ; : : : ; xn ) ;k(6)x(3) := max min(x1 ; : : : ; xbi ; : : : ; xbj ; : : : ; xn ) ;i6=j:::::::::x(n) := max(x1 ; : : : ; ; xn );ãäå ¾êðûøêà¿, êàê îáû÷íî, îçíà÷àåò ïðîïóñê ýòîãî ýëåìåíòà.Âûáîðî÷íàÿ ìåäèàíà:(x ;n = 2mb = 1 (m)x+x;2 (m) (m+1) n = 2m:91;(7)(8)(9)(10)(11)Ïðèìåð 1.3. àññìîòðèì ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå íà [0; ℄, íåèçâåñòíûé ïàðàìåòð. Ïàðàìåòð ìîæíîîöåíèòü äâóìÿ ñïîñîáàìè:1. b12.
b2= 2xn íåñìåù¼ííàÿ îöåíêà= x(n) (îöåíêà ïî êðàéíåé òî÷êå) ñìåù¼ííàÿ, íî ñðåäíå-êâàäðàòè÷íàÿ îøèáêà ìåíüøå, ÷åì ó b1 .2.2. Ýìïèðè÷åñêàÿ óíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ2.2.1. Îïðåäåëåíèå è ñâîéñòâàÎïðåäåëåíèå. Ýìïèðè÷åñêîé óíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ äàííîé âûáîðêè x1 ; : : : ; xn íàçûâàåòñÿ óíêöèÿFbn (x; x1 ; : : : ; xn ) =nn1X1XI( 1;x℄(xk ) =I;n k=1n k=1 (xk 6x)1; x 2 A; èíäèêàòîð ìíîæåñòâà A.0; x 62 A:Ïåðåéäåì îò âûáîðêè x1 ; : : : ; xn ê âàðèàöèîííîìó ðÿäó (ñîâîêóïíîñòè ïîðÿäêîâûõ ñòàòèñòèê); èíûìè ñëîâàìè, óïîðÿäî÷èì âûáîðêó ïî âîçðàñòàíèþ: x(1) ; : : : ; x(n) . Òîãäà, î÷åâèäíî, ýìïèðè÷åñêàÿ óíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿãäå IA (x) =ìîæåò áûòü çàïèñàíà â âèäåFbn (x; x1 ; : : : ; xn ) = Fbn (x; x(1) ; : : : ; x(n) ) =8<:0; x < x(1) ;kn ; x(k) 6 x < x(k+1) ; 1 6 k 6 n 1;1 x > xn :Åñëè âûáîðêà x1 ; : : : ; xn èêñèðîâàíà, òî ýìïèðè÷åñêàÿ óíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ýòî óíêöèÿ îò ïåðåìåííîé x 2 R: Fbn (x; x1 ; : : : ; xn ) = Fbn (x): Îíà ÿâëÿåòñÿ óíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ íåêîòîðîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (ïðîâåðüòå ýòî!): Fbn (x) = F (x) = P( 6 x).Åñëè æå âûáîðêà íå èêñèðîâàíà, à ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû 1 ; : : : ; n , ïîðîäèâøèå ýòó âûáîðêó, íåçàâèñèìû è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû ñ óíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F (x), òî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü Fbn (x; 1 ; : : : ; n ).
Äëÿêàæäîãî x 2 R ýòî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà: Fbn (x; 1 ; : : : ; n ) = Fbn (x; ! ):Òåîðåìà 2.2. 1) Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà nFbn (x; 1 ; : : : ; n ) èìååò áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè(n; p = F (x)) ïðè ëþáîì èêñèðîâàííîì x 2 R;2) Fbn(x; 1 ; : : : ; n ) ÿâëÿåòñÿ íåñìåùåííîé ñîñòîÿòåëüíîé îöåíêîé F (x);3)4)bP n lim!1 Fn (x; 1 ; : : : ; n ) = F (x); 8 x 2 R = 1;dnFbn (x; 1 ; : : : ; n ) !N F (x); F (x)(1n F (x)) , n! 1.
Íàéäåì ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Fbn (x; 1 ; : : : ; n ) ïðè ëþáîì èêñèðîâàííîì x 2 R. Åñëèk 6 x, òî I( 1;x℄ (k ) = 1, à åñëè k > x, òî I( 1;x℄ (k ) = 0. Çíà÷èò, ïðè êàæäîì x 2 R Fbn (x; 1 ; : : : ; n ) ýòî ÷àñòîòà íàñòóïëåíèÿ ñîáûòèÿ fk 6 xg, âåðîÿòíîñòü êîòîðîãî ðàâíà P(k 6 x) = Fk (x) = F (x). Îòñþäàïîëó÷àåì, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà nFbn (x; 1 ; : : : ; n ) èìååò áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè (n; p =F (x)) ïðè ëþáîì èêñèðîâàííîì x 2 R (óòâåðæäåíèå 1) òåîðåìû). ż ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèÿñîîòâåòñòâåííî ðàâíû np è np(1 p), ïîýòîìó ïîëó÷àåìF (x) 1 F (x)= F (x);=8 x 2 R:(12)nÒàêèì îáðàçîì, ýìïèðè÷åñêóþ óíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ Fbn (x; 1 ; : : : ; n ) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê îöåíêó(òåîðåòè÷åñêîé) óíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F (x).
Ïîñêîëüêó MFbn (x; 1 ; : : : ; n ) = F (x), òî ýòà îöåíêà íåñìåùåííàÿ,bp)à â ñèëó íåðàâåíñòâà ×åáûøåâà P jFbn (x; 1 ; : : : ; n ) F (x)j > " 6 D"F2n = p(1n"2 ! 0; n ! 1 8 x 2 R, ò. å.PFbn (x; 1 ; : : : ; n ) !F (x), n ! 1 8 x 2 R, çíà÷èò ýòà îöåíêà ñîñòîÿòåëüíàÿ.
Òàêèì îáðàçîì, óòâåðæäåíèå 2)MFbn (x; 1 ; : : : ; n )DFbn (x; 1 ; : : : ; n )òàêæå äîêàçàíî.Óòâåðæäåíèå 3) ñëåäóåò èç ÓÇÁ× äëÿ ñõåìû Áåðíóëëè (òåîðåìà Áîðåëÿ), à óòâåðæäåíèå 4) èç îðìóë(12) è öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìû äëÿ íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ïðènPìåíåííîé ê ñóììå nFbn (x; 1 ; : : : ; n ) =I( 1;x℄ (k ). k=18 x 2 R.Íà ñàìîì äåëå èìååò ìåñòî åùå áîëåå ñèëüíîå óòâåðæäåíèå, ÷åì óòâåðæäåíèå 3) äîêàçàííîé òåîðåìû, à èìåííî ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü Fbn (x; 1 ; : : : ; n ) ê F (x) ñ âåðîÿòíîñòüþ 1, ÷òî è ñîñòàâëÿåò ñîäåðæàíèå ñëåäóþùåéòåîðåìû.Çàäà÷à 2.1. Äîêàçàòü, ÷òî Fbn (x; 1 ; : : : ; n ) ÿâëÿåòñÿ ýåêòèâíîé îöåíêîé F (x)102.2.2.
Òåîðåìà ëèâåíêî ÊàíòåëëèÒåîðåìà 2.3 (ëèâåíêî Êàíòåëëè). Ïóñòü 1 ; : : : ; n âçàèìíî íåçàâèñèìûå, îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûånPñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñ óíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F (x); Fbn (x; 1 ; : : : ; n ) = n1I( 1;x℄(k ) èõ ýìïèðè÷åñêàÿk=1óíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ. ÒîãäàPlim supFb (x; 1 ; : : : ; n )n!1 x nF (x)=0 =1(ò. å. Fbn (x; 1 ; : : : ; n ) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ ê F (x) ñ âåðîÿòíîñòüþ 1).Çàìå÷àíèå.
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ýìïèðè÷åñêîé óíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ â òåîðåìå ëèâåíêî Êàíòåëëè íå òðåáóåòñÿ ïîíÿòèÿ âûáîðêè: îíà îïðåäåëÿåòñÿ äëÿ çàäàííîãî (èçâåñòíîãî) íàáîðà âçàèìíî íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâîðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Äëÿ êðàòêîñòè áóäåì îáîçíà÷àòü ýìïèðè÷åñêóþ óíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ÷åðåç Fbn (x) = Fbn (x; !). Ïîóñëîâèþ òåîðåìû, F (x) óíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí 1 ; : : : ; n . àññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ.1) Ïóñòü F (x) íåïðåðûâíàÿ è ñòðîãî ìîíîòîííàÿ óíêöèÿ. Ôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîå " > 0 è k 2 N , k 6= 1:1 6 ".
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