А.В. Прохоров - Курс лекций по математической статистике (1124594), страница 11
Текст из файла (страница 11)
èïîòåçà H00ðàâíîñèëüíà ãèïîòåçå H000 : ½â ýòîé ñõåìå Áåðíóëëè p = 21 (p = P(Ai ) ïàðàìåòð ñõåìû Áåðíóëëè). Ñòðîèìáèíîìèàëüíûé êðèòåðèé äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû+n =nXi=1('i ;'i =1; i > 00; i < 0ñ îñíîâíîé ãèïîòåçîé H0000 : p = 12 .Ïðàêòè÷åñêèé ñîâåò íà ñëó÷àé, êîãäà ñðåäè zi âñòðå÷àþòñÿ íóëè: åñëè íóëåé ìíîãî, òî êðèòåðèé íåïðèìåíèì(ïîòîìó ÷òî â ýòîì êðèòåðèè ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî P(i = 0) = 0). Åñëè æå íóëåé ìàëî, òî ïðîñòî âûêèäûâàåì òåèñïûòàíèÿ, â êîòîðûõ zi = 0.376.7. Çàäà÷à ðàçëè÷åíèÿ äâóõ ñòàòèñòè÷åñêèõ ãèïîòåç(X ; A ; P ) ñòàòèñòè÷åñêàÿ ìîäåëü, x = (x1 ; : : : ; xn ) 2 X âûáîðêà.
Ïóñòü ñåìåéñòâî ðàñïðåäåëåíèé ðàçáèòî íà äâà ïîäñåìåéñòâà: P = P1 t P2 . Õîòèì ïîñòðîèòü êðèòåðèé äëÿ âûáîðà îäíîé èç äâóõ ãèïîòåç: H0 :P 2 P0 , H1 : P 2 P1 . àññìîòðèì ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî S 2 A è íàçîâ¼ì åãî êðèòè÷åñêèì ìíîæåñòâîì(êðèòè÷åñêîé îáëàñòüþ) êðèòåðèÿ. Ñàì êðèòåðèé â òåðìèíàõ S îðìóëèðóåòñÿ òàê: åñëè x 2 S , òî H0 îòêëîíÿåòñÿ (H1 ïðèíèìàåòñÿ); åñëè x 2= S , òî H0 ïðèíèìàåòñÿ (H1 îòêëîíÿåòñÿ). Êðèòåðèé ñ êðèòè÷åñêèì ìíîæåñòâîìSíàçûâàåòñÿ S -êðèòåðèåì.Îøèáêà ïåðâîãî ðîäà îòêëîíèòü H0 , êîãäà îíà âåðíà. Îøèáêà âòîðîãî ðîäà ïðèíÿòü H0 , êîãäà âåðíà H1 .Íóæíî ïðèíÿòü ðåøåíèå òàê, ÷òîáû âåðîÿòíîñòè îøèáîê áûëè ìèíèìàëüíûìè. (Ïîêà ýòî íå âïîëíå ïîíÿòíî:êàê ñ÷èòàòü âåðîÿòíîñòü îøèáêè, åñëè â P0 è P1 ìíîãî ðàçíûõ ðàñïðåäåëåíèé?)Ïðèìåð 7.1.
P = fP0 ; P1 g äâà ðàçíûõ ðàñïðåäåëåíèÿ, Pi = fPi g; i 2 f0; 1g. Ïóñòü çàäàíû ìàëûå ÷èñëà; 2 (0; 1). Ïîòðåáóåì P0 (S ) 6 è P1 (S) 6 (èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, P0 (S) > 1 è P1 (S ) > 1 ), òî åñòü÷èñëà è îãðàíè÷èâàþò ñâåðõó îøèáêè ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäà ñîîòâåòñòâåííî. Íóæíî íàéòè òàêîå ìíîæåñòâîS , ÷òîáû ðàçëè÷èòü ðàñïðåäåëåíèÿ P0 è P1 .Ïåðåéä¼ì ê ïàðàìåòðè÷åñêîé ìîäåëè: P = fP j 2 g, ïðè÷¼ì ðàñïðåäåëåíèÿ ïîïàðíî ðàçëè÷íû (0 6= )P0 6= P ). = 0 t 1 ; H0 : 2 0 , H1 : 2 1.Ïóñòü äàí êðèòåðèé, çàäàííûé êðèòè÷åñêèì ìíîæåñòâîì S (S -êðèòåðèé). Òîãäà óíêöèÿ gS () := P (S ) îòïåðåìåííîé íàçûâàåòñÿ óíêöèåé ìîùíîñòè S -êðèòåðèÿ. Ïðè 2 0 gS () = P (S ) åñòü âåðîÿòíîñòü îøèáêèïåðâîãî ðîäà, à äëÿ 2 1 âåðîÿòíîñòü îøèáêè âòîðîãî ðîäà âûðàæàåòñÿ òàê: P (S) = 1 P (S ) = 1 gS ().sup gS () ðàçìåð êðèòåðèÿ.
Ìû òðåáóåì, ÷òîáû sup gS () 6 ; â ýòîì ñëó÷àå åñòü óðîâåíü çíà÷èìîñòè 2020êðèòåðèÿ. inf gS () ìîùíîñòü êðèòåðèÿ (ìîùíîñòü åñòü íàèìåíüøàÿ âåðîÿòíîñòü ïðèíÿòü àëüòåðíàòèâíóþ21ãèïîòåçó, êîãäà îíà âåðíà). Èäåàëüíîé (íåäîñòèæèìîé) óíêöèåé ìîùíîñòè ÿâëÿåòñÿ èíäèêàòîð ìíîæåñòâà 1 .Êðèòåðèé ìîæíî îïðåäåëèòü òàêæå ïðè ïîìîùè êðèòè÷åñêîé óíêöèè 'S èíäèêàòîðà ìíîæåñòâà S . ÒîãäàgS () = P (S ) = M 'S ( ).Ñòàòèñòè÷åñêàÿ ãèïîòåçà íàçûâàåòñÿ ïðîñòîé, åñëè îíà èìååò âèä P = P0 , ãäå P0 çàäàííîå ðàñïðåäåëåíèå(èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, F (x) = F0 (x) èëè = 0 ; F0 è 0 èçâåñòíû), ò.å. ðå÷ü èä¼ò î êîíêðåòíîì ðàñïðåäåëåíèèâåðîÿòíîñòåé.
Îñòàëüíûå ãèïîòåçû ñëîæíûå.6.7.1. Ñðàâíåíèå äâóõ ïðîñòûõ ãèïîòåç. Òåîðåìà Íåéìàíà ÏèðñîíàÏóñòü = f0 ; 1 g R, 0 < 1 . H0 : = 0 , H1 : = 1 . P0 (S ) âåðîÿòíîñòü îøèáêè ïåðâîãî ðîäà (ðàçìåðêðèòåðèÿ). P1 (S) âåðîÿòíîñòü îøèáêè âòîðîãî ðîäà; 1 P1 (S) = P1 (S ) ìîùíîñòü êðèòåðèÿ.Ñðàâíåíèå êðèòåðèåâ. Çàäàäèì 2 (0; 1) óðîâåíü çíà÷èìîñòè (îãðàíè÷èòåëü ðàçìåðà êðèòåðèÿ). àññìîòðèì âñå êðèòåðèè (êðèòè÷åñêèå óíêöèè) 'S (x) ñ M0 'S ( ) = (åñëè P0 äèñêðåòíîå ðàñïðåäåëåíèå,òî òàêîãî S ìîæåò è íå íàéòèñü òîãäà òðåáóåì 6 èëè ïðèìåíÿåì ðàíäîìèçàöèþ ñì. íèæå). Ñðåäè ýòèõêðèòåðèåâ âûäåëÿåì 'S = 'S òàêîé, ÷òî M1 'S ( ) =supM1 'S ( ) (â îáùåì ñëó÷àå áåð¼ì sup ïî'S : =M0 'S () 2 1 ) åñëè òàêîé êðèòåðèé ñóùåñòâóåò, òî ýòî íàèáîëåå ìîùíûé êðèòåðèéóðîâíÿ çíà÷èìîñòè .àíäîìèçèðîâàííûå êðèòåðèè.
àñøèðèì ìíîæåñòâî ðàññìàòðèâàåìûõ êðèòåðèåâ. Ïóñòü '(x) ïðî-èçâîëüíàÿ óíêöèÿ, ïðèíèìàþùàÿ çíà÷åíèÿ èç [0; 1℄ (íå îáÿçàòåëüíî èíäèêàòîð). Åñëè '(x) = 1, òî H0 îòêëîíÿåòñÿ, åñëè '(x) = 0, òî H0 ïðèíèìàåòñÿ, à âîò åñëè 0 < '(x) < 1, òî áðîñàåòñÿ æóëüíè÷åñêàÿ ìîíåòêà è H0îòêëîíÿåòñÿ â âåðîÿòíîñòüþ '(x). Òàêàÿ ïðîöåäóðà íàçûâàåòñÿ ðàíäîìèçàöèåé, à ñàì êðèòåðèé ðàíäîìèçèðîâàííûì. (Áðîñàíèå ìîíåòêè âñïîìîãàòåëüíûé ýêñïåðèìåíò.)  ýòîì ñëó÷àå óíêöèÿ ìîùíîñòè êðèòåðèÿçàäà¼òñÿ îðìóëîé: g () = M '( ).Òåîðåìà 6.2 (òåîðåìà Íåéìàíà Ïèðñîíà; óíäàìåíòàëüíàÿ ëåììà).
Ïóñòü P = fP j 2 g, = f0; 1 g R, 0 < 1 ; ñåìåéñòâî P àáñîëþòíî íåïðåðûâíî îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîé ìåðû (íàïðèìåð, ìåðûËåáåãà â Rn ), ò.å. ñóùåñòâóåò ïëîòíîñòü p (x) = L(; x) óíêöèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ; Li (x) = L(i ; x); i 2 f0; 1g.Ïóñòü p (x) > 0 (äëÿ âñåõ x 2 R; 2 ). H0 : = 0 , H1 : = 1 . Çàäàíî 2 (0; 1) óðîâåíü çíà÷èìîñòè(âåðîÿòíîñòü îøèáêè ïåðâîãî ðîäà).Òîãäà êðèòåðèé ñ êðèòè÷åñêîé óíêöèåé8><1;L1(x) > L2 (x);' (x) = " ; L1(x) = L2 (x);>:0; L1(x) < L2 (x);ãäå è " îïðåäåëÿþòñÿ èç óñëîâèÿ M0 ' ( ) = , òàêîâ, ÷òî äëÿ ëþáîé êðèòè÷åñêîé óíêöèè ' ñ M0 '( ) = èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî M1 ' ( ) > M1 '( ) (ò.å. ýòîò êðèòåðèé îáëàäàåò ìàêñèìàëüíîé ìîùíîñòüþñðåäè êðèòåðèåâ óðîâíÿ çíà÷èìîñòè ).38f () = P0 fL1 ( ) > L0 ( )g, 2 [0; +1). f íåâîçðàñòàL1 ( )6 þùàÿ óíêöèÿ f (0) = 1, f (+1) = 0 (ïîñëåäíÿÿ çàïèñü ïîíèìàåòñÿ êàê ïðåäåë).
1 f () = P0L2 ( )Ñíà÷àëà íàéä¼ì è " . àññìîòðèì óíêöèþóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ îòíîøåíèÿ çíà÷åíèé óíêöèé ïðàâäîïîäîáèÿ (îòíîøåíèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ) íåóáûâàþùàÿ íåïðåðûâíàÿ ñëåâà óíêöèÿ.Ïîëîæèì = minf j f () 6 < f ( 0)g (åñëè òî÷êà íåïðåðûâíîñòè f , òî f ( ) = ). Îïðåäåëèì " :" =8<0;åñëè òî÷êà íåïðåðûâíîñòè f ( ):f ( 0) f ( )f (f ( ) = f ( 0));â èíîì ñëó÷àå.Êðèòåðèé îïðåäåë¼í. Áóäåì äîêàçûâàòü åãî ñâîéñòâà.M0 ' ( ) =ZXZ' (x)p0 (x) dx =Zp0 (x) dx + "p0 (x) dx =fxjL1(x)> L0 (x)gfxjL1(x)=L0 (x)g8<f ( ) = ;åñëè òî÷êà íåïðåðûâíîñòè f;=f():f ( ) +(f ( 0) f ( )) = â èíîì ñëó÷àå.f ( 0) f ( )Èòàê, îøèáêà ïåðâîãî ðîäà ðàâíà .Òåïåðü âîçüì¼ì ëþáîé äðóãîé êðèòåðèé ñ êðèòè÷åñêîé óíêöèåé ' ñ óñëîâèåì M0 '( ) = .
Ïîêàæåì, ÷òîM1 ' ( ) > M1 '( ). X + := fx 2 X j ' (x) '(x) > 0g, X := fx 2 X j ' (x) '(x) < 0g. X = X + t X .Äëÿ âñåõ x 2 X + èìååì, ÷òî ' (x) '(x) > 0 ) ' (x) > '(x) > 0 ) ' (x) > 0 ) L1 (x) > L0 (x), îòêóäà(' (x) '(x))(p1 (x) p0 (x)) > 0. Åñëè æå x 2 X , òî ' (x) '(x) < 0, îòêóäà ' (x) < 1, òî åñòü L1 (x) 6 L0(x), è îïÿòü (' (x) '(x))(p1 (x) p0 (x)) > 0. ÏîýòîìóZZM (' ( ) '( )) = (' (x) '(x))p (x) dx = (' ')(p (x) | p{z (x) ) dx > 0:}111XX0âû÷ëè íóëåâîé èíòåãðàëÅñëè P0 (S ) 6 P1 (S ), òî S -êðèòåðèé íàçûâàåòñÿ íåñìåù¼ííûì. Òåîðåìà Íåéìàíà Ïèðñîíà äà¼ò íàèáîëååìîùíûé êðèòåðèé, êîòîðûé ê òîìó æå ÿâëÿåòñÿ íåñìåù¼ííûì.39.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
