А.В. Прохоров - Курс лекций по математической статистике (1124594), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Íî èç àñèìïòîòè÷åñêîé íîðìàëüíîñòè ^n Yn ! Y N (0; 1), à (^n ; ) ! 0 âdñèëó ñîñòîÿòåëüíîñòè, ïîýòîìó Wn ! Y N (0; 1), ÷òî è äà¼ò àñèìïòîòè÷åñêóþ íîðìàëüíîñòü f (^n ). íîðìàëüíà ñ N (p; p(1Ïðèìåð 4.2.  ñõåìå Áåðíóëëè îöåíêà pbn = n1 (x1 + + xn ) àñèìïòîòè÷åñêèpp(1 p)11p)=n). Ïîëîæèì f (p) = arsin pp, p 2 (0; 1). f 0 (p) = p, f 0 (p) (p) = p= = onst.
 ñèëó2 p(1 p)2 p(1 p) 2ppïðåäûäóùåé ëåììû îöåíêà arsin pbn àñèìïòîòè÷åñêè íîðìàëüíà ñ N (arsin p; 41n ). Ïîëüçóÿñü ìîíîòîííîñòüþ,ïîëó÷àåì àñèìïòîòè÷åñêèé äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ p.Yn :=^n p;()= n! 0 ïðè t ! 0. Ïîäñòàâèì (^ ; ))f 0 () 1 + 0n:f ( )f (^n ) f () = (^nÏîëîæèì)(f 0 ()+ (t; )), ãäå (t; )Zn := (^n ; );f 0 ( )5. Îòñòóïëåíèå ïðî íåêîòîðûå ðàñïðåäåëåíèÿâåðîÿòíîñòåé5.1. Õè-êâàäðàò ðàñïðåäåëåíèåÏóñòü ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Z1 ; : : : ; Zn âçàèìíî íåçàâèñèìû è èìåþò ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå.Òîãäà ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Z12 + + Zn2 íàçûâàåòñÿ õè-êâàäðàò ðàñïðåäåëåíèåì ñ n ñòåïåíÿìèñâîáîäû è îáîçíà÷àåòñÿ 2n . Ïðè 22 èìååò ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì = 21 .
Ïëîòíîñòü õèêâàäðàò ðàñïðåäåëåíèÿ äà¼òñÿ îðìóëîé:p 2n =n1x 2 1e2 n2 ( n2 )x2;ãäå() =Z1029x 1 e x dx ãàììà-óíêöèÿ Ýéëåðà.M 2n = n, D 2n = 2n. Õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ óíêöèÿ: ' n = (1 2it)2 2 .Ìåëêèì øðèòîì ïðî âû÷èñëåíèå ïëîòíîñòèP(Z12 + + Zn2 6 y ) =Z2P k6kx2yÏðèìåíÿåì îáîáù¼ííóþ ñåðè÷åñêóþ çàìåíó êîîðäèíàò:1; : : : ; n 2, 'n 1 2 [0; 2 ℄.2.!Z 1 exp pnn1X 2x dx1 : : : dxn :2 k k7! ; '1 ; : : : ; 'x1 ; : : : ; x n8>x1 = os '1>>><x2 = sin '1 os '2n1, 2 [0; py℄,'i2 [0; ℄ïðèi =:::>>x 1 = sin '1 : : : sin ' 2 os ' 1>>:x = sin '1 : : : sin ' 1nnnßêîáèàí çàìåíû ðàâåíJ = n 1 sinn 2 '1 sinn 3 '2 : : : sin 'n 2 . Èñõîäíûé èíòåãðàë ðàñïàäàåòñÿ â ïðîèçâåäåíèå îäíîìåð-íûõ èíòåãðàëîâ è çàïèñûâàåòñÿ â âèäå:CnãäåCnnnåñòü ïðîèçâåäåíèå èíòåãðàëîâ ïîZp0ye2'k , íå çàâèñèò îò yCn =Ñîáèðàÿ âñ¼ âìåñòå è çàìåíÿÿ22 = x, ïîëó÷àåì òðåáóåìîå.n 1 d;è âû÷èñëÿåòñÿ ïðèy!1:1n :( 2 )2 2 +1n5.2.
àñïðåäåëåíèå ÑòüþäåíòàÅñëè Z0 ; Z1 ; : : : ; Zn âçàèìíî íåçàâèñèìû è èìåþò ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, òî ðàñïðåäåëåíèåñëó÷àéíîé âåëè÷èíûrZ0Z= p 2022 n =nZ1 + + Znníàçûâàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèåì Ñòüþäåíòà (t-ðàñïðåäåëåíèåì) è îáîçíà÷àåòñÿ tn . Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà äà¼òñÿ îðìóëîé( n+1Cn2 ) :pptn (x) =;ãäåC=nn+1n2( 2 ) n1 + xn 2Ïðèn = 1 ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà ñîâïàäàåò ñ ðàñïðåäåëåíèåì Êîøè, èìåþùèì ïëîòíîñòü1.(1 + x2 )5.3. Ìíîãîìåðíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå5.3.1. ×åòûðå ýêâèâàëåíòíûõ îïðåäåëåíèÿÏóñòü = (1 ; : : : ; n )T ñëó÷àéíûé âåêòîð5 , a = (a1 ; : : : ; an )T íåêîòîðûé ïîñòîÿííûé âåêòîð,(x1 ; : : : ; xn )T 2 Rn , A ïîëîæèòåëüíî îïðåäåë¼ííàÿ ìàòðèöà n n.x =Ïåðâîå îïðåäåëåíèå. Åñëè ïëîòíîñòü (ñîâìåñòíîãî) ðàñïðåäåëåíèÿ âåêòîðà èìååò âèäp (x; a; A) =p 1 n (det A) exp2121(x a)T A(x a) ;2òî ãîâîðÿò, ÷òî èìååò ìíîãîìåðíîå (n-ìåðíîå) íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Âåêòîð a = M (ai = Mi ) íàçûâàåòñÿñðåäíèì çíà÷åíèåì, à ìàòðèöà = = A 1 = M( a)( a)T êîâàðèàöèîííîé ìàòðèöåé.
= (ij ), ij =M(i ai )(j aj ). Êîâàðèàöèîííàÿ ìàòðèöà ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòíîé, ñèììåòðè÷íîé è ïîëîæèòåëüíî îïðåäåë¼ííîé.àñïðåäåëåíèå, çàäàííîé òàêîé ïëîòíîñòüþ, îáîçíà÷àåòñÿ N (a; ).5 Çäåñü è äàëåå áóêâàìåñòà. T îáîçíà÷àåò òðàíñïîíèðîâàíèå. Âåêòîðû-ñòîëáöû çàïèñàíû êàê òðàíñïîíèðîâàííûå ñòðîêè äëÿ ýêîíîìèèïðèìå÷.
Ñ. Ê.30Âòîðîå îïðåäåëåíèå. Îïðåäåëèì ìíîãîìåðíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ÷åðåç õàðàêòåðèñòè÷åñêèå óíêTöèè. t = (t1 ; : : : ; tn )T 2 Rn . ' (t) = Meit õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ óíêöèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà. Áóäåì ñ÷èòàòü,÷òî N (a; ), åñëè1Tt t :' (t) = exp itT a2 îòëè÷èå îò ïðåäûäóùåãî îïðåäåëåíèÿ, ñþäà âêëþ÷àåòñÿ ñëó÷àé âûðîæäåííîé êîâàðèàöèîííîé ìàòðèöû.Çàìå÷àíèå. Õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ óíêöèÿ âû÷èñëÿåòñÿ ïî ïëîòíîñòè, à ïî ìíîãîìåðíîé îðìóëå îáðàùåíèÿ ïëîòíîñòü îäíîçíà÷íî âîññòàíàâëèâàåòñÿ ïî õàðàêòåðèñòè÷åñêîé óíêöèè.
Ïîýòîìó ïåðâîå è âòîðîå îïðåäåëåíèÿ ðàâíîñèëüíû.Òðåòüå îïðåäåëåíèå. Åñëè ëþáàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ êîìïîíåíò âåêòîðà èìååò (îäíîìåðíîå) íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, òî èìååò ìíîãîìåðíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå.×åòâ¼ðòîå îïðåäåëåíèå. èìååò N (a; ), åñëè äëÿ íåêîòîðîãî k ñóùåñòâóåò íàáîð íåçàâèñèìûõ è èìåþùèõñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí 1 ; : : : ; k è ñóùåñòâóåò n k -ìàòðèöà A òàêèå, ÷òî = A, = (1 ; : : : ; k )T . Íà ñàìîì äåëå k åñòü ðàíã ìàòðèöû . Íà ïðàêòèêå îáû÷íî ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî k = n, à a íóëåâîé âåêòîð.Òðåòüå è ÷åòâ¼ðòîå îïðåäåëåíèÿ áóäóò èñïîëüçîâàòüñÿ â òåîðèè ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ.5.3.2.
Ñâîéñòâà ìíîãîìåðíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ5.3.3. Ëåììà ÔèøåðàËåììà 5.1 (Ôèøåð). Ïóñòü 1 ; : : : ; n íåçàâèñèìûå (îäíîìåðíûå) ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñ N (a; 2 ). Òîãäà:1. ñóùåñòâóþò îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà C è ñëó÷àéíûé âåêòîðïðè i > 1 è Di = 2 ïðè âñåõ i;n1 + + n P2. =è(i )2 íåçàâèñèìû;ni=13.p1 X(i21. Ïîëîæèì11 = 12 = = 1n = 1 =p1n .nPj =1 tn 1 ;21j = 1. 1 =òàêèå, ÷òîãäånPj =1s2 =1p = C, M1 = na, Mi = 0nX )2 :(n 1 i=1 ipp1j j = n, M1 = na, D1 = n n = 2 .2nP2ij = 1 (ïðè âñåõ i > 1) è p1n ij = 0.j =1j =1Èç ýòèõ óñëîâèé ïîëó÷àåì, ÷òî ìàòðèöà C = (ij ) îðòîãîíàëüíà, è ïðè i > 1 Mi = 0 è Di = 2 .nnnnnnPPPPPP ñèëó îðòîãîíàëüíîñòè Ci2 = i2 .
Îòñþäà i2 = i2 12 = i2 n2 , òî åñòü (i )2 =i=1i=1i=2i=1i=1i=1nPp2i íå çàâèñèò îò = 1 = n.i=2PÇàìå÷àíèå. Åñëè 1 ; : : : ; n íåçàâèñèìû è èìåþò îäèíàêîâîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, òî è n1 (i )2Îñòàëüíûå ij (2 6 i 6 n,2.n( a)s)2 2n 1 ;1 6 j 6 n) ïîäáèðàþòñÿ èç óñëîâèé:nPíåçàâèñèìû. Íà ñàìîì äåëå ýòî õàðàêòåðèñòè÷åñêîå ñâîéñòâî íîðìàëüíûõ ðàñïðåäåëåíèé.i3. Zi = N (0; 1) ïðè i > 1, îòêóäàîòêóäà pa= nìó(n 1)s22n1 X(2 i=1 i )2 =ni222 + + Zn2 2n 1 ; s2 = 1 X(i=Z2n 1 i=1i=2 nX 2n 1 .)2 ;2 N (0; 1), (n 21)s 2n 1 è ýòè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû íåçàâèñèìû ïî ïðåäûäóùåìó ïóíêòó, ïîýòîpn( a) p a=n= p 2 2 tn 1 :s2s =315.3.4.
Äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû äëÿ ïàðàìåòðîâ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ IIx1 ; : : : ; xn ïîâòîðíàÿ âûáîðêà èç N (a; 2 ).x aI. Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ a ïðè íåèçâåñòíîì 2 . M = a, D = 2 =n. Ïî ëåììå Ôèøåðà p 2s =nèìååò ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà ñ n 1 ñòåïåíüþ ñâîáîäû. Çàèêñèðóåì 2 (0; 1) t = t1 2 (n 1) (1 2 )êâàíòèëü tn 1 .Pa;2 sa p n 6 t = 1 ssx tp ; x + tpnn(íà ñàìîì äåëå ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé íå çàâèñèò îò ïàðàìåòðîâ),a ñ äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ .(n 1)s2 2n 1 .
ÏóñòüII. Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ 2 ïðè íåèçâåñòíîì a. Ïî ëåììå Ôèøåðà2çàäàíî . g 2 (n 1) åñòü 2 -êâàíòèëü, à g1 2 (n 1) 1 2 -êâàíòèëü ðàñïðåäåëåíèÿ õè-êâàäðàò ñ n 1 ñòåïåíüþñâîáîäû. Ñ ïîìîùüþ ýòèõ êâàíòèëåé ñòðîèòñÿ äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ 2 .ïîýòîìó äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ6. Ïðîâåðêà ñòàòèñòè÷åñêèõ ãèïîòåç6.1. Ïðîâåðêà ãèïîòåç î ïàðàìåòðàõ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ222Ïóñòü äàíà âûáîðêà 2èç N (a; ). H20 :a = a0 (a0 èêñèðîâàíî); H1 : a 6= a0 . Ïóñòü èçâåñòíî è ðàâíî 0 . Òîãäà(ñì. âûøå) x u1 p0 ; x + u1 p0 äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ a ñ äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ 1 .nnÊðèòåðèé: åñëè a0 ïðèíàäëåæèò íàøåìó äîâåðèòåëüíîìó èíòåðâàëó, òî H0 ïðèíèìàåòñÿ, èíà÷å îòêëîíÿåòñÿ.Âåðîÿòíîñòü îøèáêè ïåðâîãî ðîäà (îòêëîíèòü H0 , êîãäà îíà âåðíà) ðàâíà . Âåðîÿòíîñòü îøèáêè âòîðîãî ðîäàÿâíî íå âû÷èñëÿåòñÿ (ãèïîòåçà H1 íå êîíêðåòíàÿ).Åñëè àëüòåðíàòèâíàÿ ãèïîòåçà èìååò âèä H1 : a > a0 , òî âìåñòî ðàññìîòðåííîãî ðàíåå äâóñòîðîííåãî èñïîëüçóåì îäíîñòîðîííèé êðèòåðèé: îñòàâëÿåì òîëüêî âåðõíþþ êðèòè÷åñêóþ ãðàíèöó.Àíàëîãè÷íî ïðè ïîìîùè äîâåðèòåëüíûõ èíòåðâàëîâ ñòðîÿòñÿ êðèòåðèè äëÿ a ïðè íåèçâåñòíîì 2 è äëÿ 222(ïðè èçâåñòíîì èëè íåèçâåñòíîì a).Êðèòåðèè, â êîòîðûõ H0 çàäà¼ò êîíêðåòíîå ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé, à H1ÿìè ñîãëàñèÿ.= :H0 , íàçûâàþòñÿ êðèòåðè-6.2.
Ïðîâåðêà ãèïîòåçû îäíîðîäíîñòè íîðìàëüíûõ âûáîðîêÏóñòü èìååòñÿ äâå âûáîðêè x1 ; : : : ; xm ; y1 ; : : : ; yn , ïîðîæäåííûå ñîîòâåòñòâåííî íåçàâèñèìûìè â ñîâîêóïíîñòè ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè 1 ; : : : ; m ; 1 ; : : : ; n , ïðè÷¼ì 1 ; : : : ; m s N (a1 ; 12 ); 1 ; : : : ; n s N (a2 ; 22 ) è âñåïàðàìåòðû a1 ; 12 ; a2 ; 22 íåèçâåñòíû.H0 : a1 = a2 ; 1 = 2 ãèïîòåçà îäíîðîäíîñòè. H1 = :H0 . àçîáü¼ì çàäà÷ó ïðîâåðêè ãèïîòåçû îäíîðîäíîñòèíà äâå çàäà÷è:I. H00 : 12 = 22 (ïðè ëþáûõ a), H10 : 12 6= 22 (åñëè H00 îòêëîíÿåòñÿ, òî îòêëîíÿåì H0 ; â ïðîòèâíîì ñëó÷àåäâèæåìñÿ äàëüøå).II.
Åñëè H00 ïðèíèìàåòñÿ, òîïðèíèìàåòñÿ H000 .H000 : a1 = a2 ; H100 : a1 =6 a2 .ÒåïåðüH0ïðèíèìàåòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà6.2.1. Î ðàñïðåäåëåíèè Ôèøåðà Ñíåäåêîðà (F -ðàñïðåäåëåíèè) 2 =mÑëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Fm;n = m2; ãäå 2m è 2n íåçàâèñèìû, èìååò F -ðàñïðåäåëåíèå ñ m è n ñòåïåíÿìè n =nñâîáîäû. Ïëîòíîñòü:(1( m )m=2 xn=2 1 (1 + mn x)pm;n (x) = B(m=2;n=2) n0;m+n2; x>0x60Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ:P (Fm;n 6 x) =I mn x (m=2; n=2);1 + mn xãäå Ix (a; b) - íåïîëíàÿ -óíêöèÿ ñ ïàðàìåòðàìè32a è b.6.2.2. Êðèòåðèé Ôèøåðà ðàâåíñòâà äèñïåðñèéàññìîòðèì äâå ñòàòèñòèêè:s21 =Îòíîøåíèå F^m;nñòåïåíÿìè ñâîáîäû:1mX(xkm 1 k=1x)2 ;s22 =nX1(yn 1 j=1 jy)2 :s2 =2= 12 12 ïðè óñëîâèè H00 (12 = 22 ) ðàâíî s21 =s22 è èìååò F -ðàñïðåäåëåíèå ñ (m 1) è (n 1)s2 =2(m 21)s21 1 2 1s21= (n 1)s2 m1 1 = m2 1 m1 1 = Fm 1;n 1 ;22s2 n 1 n 12 n 1ãäå ïðåäïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ñïðàâåäëèâî â ñèëó ëåììû Ôèøåðà.Äëÿ çàäàííîãî íàõîäèì êâàíòèëè f 2 (m 1; n 1) è f1 2 (m 1; n 1) F -ðàñïðåäåëåíèÿ ñ (m 1) è (n 1)ñòåïåíÿìè ñâîáîäû è áåðåì èõ â êà÷åñòâå êðèòè÷åñêèõ çíà÷åíèé.Êðèòåðèé Ôèøåðà.
Åñëè f 2 6 F^m;n 6 f1 2 , òî H00 ïðèíèìàåòñÿ, èíà÷å îòâåðãàåòñÿ. Âåðîÿòíîñòü îøèáêèïåðâîãî ðîäà â òî÷íîñòè ðàâíà . (Ìîæíî èñïîëüçîâàòü è îäíîñòîðîííèé êðèòåðèé)6.2.3. Êðèòåðèé Ñòüþäåíòà ðàâåíñòâà ñðåäíèõ çíà÷åíèé ïðè óñëîâèè ðàâåíñòâàäèñïåðñèé0Åñëè H0 îòêëîíÿåòñÿ, òî îòêëîíÿåòñÿ è ãèïîòåçà îäíîðîäíîñòè H0 . Ïóñòü òåïåðü H00 ïðèíÿòà (ò.å. 12 = 22 =2 ). Áóäåì ïðîâåðÿòü ãèïîòåçó H000 : a1 = a2 (H100 = :H000 ).Ìû çíàåì, ÷òî M(x y) = a1 a2 è D(x y) = 2 (1=m + 1=n) (x è y íåçàâèñèìû è x y N (a1 a2; 2 (1=m +1=n)).)íî2(x y) (a1 a2 )p2 (1=m + 1=n) N (0; 1);íåèçâåñòíî.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
