А.В. Прохоров - Курс лекций по математической статистике (1124594), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Ïîäñòàâèì äëÿ íå¼ íåñìåù¼ííóþ îöåíêó^2 =Ïðè óñëîâèè H000 :(m 1)s21 + (n 1)s22m+n 2a1 a2 = 0 ñòàòèñòèêà t^m+n 2 = p2 (1x=my+1=n)èìååò ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà ñm+n 2ñòåïåíÿìè ñâîáîäû (ñëåäóåò èç ëåììû Ôèøåðà).Çàäàäèì 2 (0; 1). t=2 = t1 =2 ñîîòâåòñòâóþùèå êâàíòèëè ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà (ðàâåíñòâî èìååòìåñòî â ñèëó ñèììåòðè÷íîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ).Êðèòåðèé Ñòüþäåíòà. Åñëè jt^m+n 2 j > t1 =2 , òî H000 îòêëîíÿåòñÿ, èíà÷å ïðèíèìàåòñÿ. Âåðîÿòíîñòüîøèáêè ïåðâîãî ðîäà ðàâíà .
Åñëè ïðè ýòîì H000 ïðèíèìàåòñÿ, òî ïðèíèìàåòñÿ è èñõîäíàÿ ãèïîòåçà îäíîðîäíîñòèH0 .6.3. Äèñïåðñèîííûé àíàëèç îäíîàêòîðíîé ìîäåëèÏóñòü x1 ; : : : ; xn âûáîðêà, ãäå âñå ýëåìåíòû ïîëó÷åíû íåçàâèñèìî. A priori ðàçîáü¼ì å¼ íà k; k > 3 ïîäâûáîðîê: x11 ; : : : ; xn1 1 ; : : : ; x1k ; : : : ; xnk k , n = n1 + + nk .
xi = (x1i + + ni i)=ni ñðåäíèå çíà÷åíèÿ ïî ïîäâûáîðêàì,x = (x11 + + xnk k )=n ñðåäíåå çíà÷åíèå.Ýòè äàííûå óäîáíî ïðåäñòàâëÿòü â âèäå òàáëèöû äèñïåðñèîííîãî àíàëèçà:12::: kx11 x12 : : : x1kx21 x22 : : : x2k.........n1x1n2x2::::::nkxknxÏðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ñóùåñòâóþò ïîñòîÿííûå (íî íåèçâåñòíûå íàì) a1 ; : : : ; ak òàêèå, ÷òî xijâñåõ i è j , ãäå eij ñëó÷àéíûå îøèáêè, âçàèìíî íåçàâèñèìûå ïðè ðàçíûõ i è j , Meij = 0, Dei;jèçìåðåíèÿ ðàâíîòî÷íûìè), 2 íåèçâåñòíî.33= aj + eij ïðè= 2 (ñ÷èòàåìÝòà ìîäåëü íàçûâàåòñÿ îäíîàêòîðíîé. Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî íà ýêñïåðèìåíòû, ïîðîæäàþùèå äàííûå â ñòîëáöàõ,îòëè÷àþòñÿ âëèÿíèåì íåêîòîðîãî àêòîðà; 1; 2; : : : ; k íîìåðà óðîâíåé àêòîðà, aj õàðàêòåðèñòèêè óðîâíÿ àêòîðà. àçëè÷èÿ ìåæäó ýëåìåíòàìè îäíèõ ñòîëáöîâ ½÷èñòî ñëó÷àéíû.
Ñóùåñòâóþò è ìíîãîàêòîðíûåìîäåëè.H0 : ãèïîòåçà îá îòñóòñòâèè àêòîðà (a1 = : : : = ak ) (ãèïîòåçà îäíîðîäíîñòè ïîäâûáîðîê), H1 = :H0 . Åñëèeij N (0; 2 ) , xij N (aj ; 2 ); òî H0 åñòü ãèïîòåçà î ðàâåíñòâå ñðåäíèõ çíà÷åíèé k íîðìàëüíûõ âûáîðîê.[Ñëó÷àé, êîãäà xij èìåþò íåïðåðûâíûå ðàñïðåäåëåíèÿ, ñóùåñòâåííî îòëè÷àþùèåñÿ îò íîðìàëüíîãî, îòíîñèòñÿê íåïàðàìåòðè÷åñêîìó àíàëèçó (ðàíãîâûå êðèòåðèè, et). Ýòèì ìû çàíèìàòüñÿ íå áóäåì.℄Èçìåí÷èâîñòü äàííûõ îòêëîíåíèå îò ñðåäíåãî (èçìåðÿåòñÿ êàê âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ)Xi;j(xijx)2 =XXi;j(xijxij = nx =xj )2 +Xi;j(xjx)2kXnj xji;jj =1Íàéä¼ì ðàñïðåäåëåíèå ïåðâîé ñóììû.
Ïî ëåììå ÔèøåðànjP(xij xj )2i=1= 2nj 1 ;2îòêóäà1 X(x2 i;j ijkXxj )2 = 2nj 1 = 2Pj (nj 1) = 2n k ;j =1ò.ê. âñå 2nj 1 ó íàñ íåçàâèñèìû.PPxj íå çàâèñèò îò (xijP xj )2 ïî ëåììå Ôèøåðà, ñëåäîâàòåëüíî, j (xijÅñëè H0 âåðíà, òî 12 (xij x)2 = 2n 1 :1 Xn (x2 j j j^12 = n 1 kxj )2èPxjj (x)2íåçàâèñèìû.x)2 = 2k 1 (ïî ëåììå Ôèøåðà) 2n 1 = 2n k + 2k 1(ýòè âåëè÷èíû íåçàâèñèìû)P2^22 = k 1 1 j nj (xj x)2 ðåàãèðóåò íà H0i;j (xij xj ) îöåíêà, íå çàâèñÿùàÿ îò ãèïîòåçû H0 , ^ 2Äèñïåðñèîííîå îòíîøåíèå 22 èìååò ðàñïðåäåëåíèå Ôèøåðà Ñíåäåêîðà ñ k 1; n k ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.^1Ïðàâîñòîðîííèé êðèòåðèé Ôèøåðà. Ïóñòü : f1 (k 1; n k ) (1 )-êâàíòèëü F -ðàñïðåäåëåíèÿñ k 1; n k ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.
Åñëè F^k 1;n k > f1 , òî H0 îòêëîíÿåòñÿ (àêòîð ñóùåñòâóåò); èíà÷å Pïðèíèìàåòñÿ.6.4. Ìíîæåñòâåííûå ñðàâíåíèÿàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà â äèñïåðñèîííîì àíàëèçå îäíîàêòîðíîé ìîäåëè ãèïîòåçà îòñóòñòâèÿ àêòîðà(H0 ) îòâåðãíóòà. Ïðîâåä¼ì áîëåå òîíêîå èññëåäîâàíèå.6.4.1.
Ïàðíîå ñðàâíåíèåÏðîâåðÿåì ãèïîòåçó H0(j;l) : aj = al , aj al = 0; H1 = :H0 . (îäíîðîäíîñòè äâóõ ïîäâûáîðîê).Ñòðîèì äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ ðàçíîñòè aj al . xj ; xl îöåíêè äëÿ aj ; al .(xjxl ) (aj al ) ^= tn k112^1 nj + nlrt^n k èìååò ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà ñ (n k) ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, èêñèðóåì , ñòðîèì äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàëäëÿ aj al ñòàíäàðòíûì ñïîñîáîì:s"(xj11xl ) t1 2 (n k) ^12+; (xjnj nl11xl ) + t1 2 (n k) ^12+nj nlÊðèòåðèé: åñëè 0 ëåæèò âíóòðè ýòîãî èíòåðâàëà, òî ïðèíèìàåììîæåì âûÿâèòü èçëèøíèå óðîâíè àêòîðîâ.34s#:H0(j;l) , èíà÷å îòêëîíÿåì. Òàêèì îáðàçîì6.4.2.
Ñîáñòâåííî ìíîæåñòâåííûå ñðàâíåíèÿ=kXj =1j aj ;kXj1j = 0^= ½ñðàâíåíèå a1 ; : : : ; ak (½êîíòðàñò), ïàðíîå ñðàâíåíèå ÷àñòíûé ñëó÷àé òàêîãî. Îöåíèì: D^ = 2M^ = ;^ rP 2^12 j njjkXj =1Pkj =1 j2j =nj= t^n kÄàëåå ñòàíäàðòíûì îáðàçîì ñòðîèì äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ (t^n k èìååò ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà).6.5. Êðèòåðèé Ïèðñîíà ( 2 )6.5.1. Áèíîìèàëüíûé êðèòåðèéàññìîòðèì ñõåìó Áåðíóëëè ñ ïàðàìåòðîì p 2 (0; 1). Ïðîâåðÿåì ãèïîòåçó H0 : p = p0 ; H1 : p 6= p0 .T (x) = x1 + : : : + xn äîñòàòî÷íàÿ ñòàòèñòèêà, óðîâåíü çíà÷èìîñòè (âåðîÿòíîñòü îøèáêè ïåðâîãî ðîäà),m íåêîòîðàÿ êðèòè÷åñêàÿ ãðàíèöà.Êðèòåðèé:åñëè T (x) > m , òî H0 îòêëîíÿåì, èíà÷å ïðèíèìàåì.
Çàïèøåì âåðîÿòíîñòü îøèáêè ïåðâîãî ðîäà:PmmCn p0 (1 p0 )n m 6 m>mÇàìåíèì òî÷íûé êðèòåðèé íà ïðèáëèæåííûé ñ ïîìîùüþ ÖÏÒ.T ( ) np d! N (0; 1):np(1 p) n!1pÂåðîÿòíîñòü îøèáêè ïåðâîãî ðîäà:!Pp0m np0T ( ) np0p=>p np0 (1 p0 )np0 (1 p0 )!m np01 p =np0 (1 p0 )m np0u1 = p (1 )-êâàíòèëü N (0; 1)np0 (1 p0 )pÈç ïîñëåäíåãî óñëîâèÿ íàõîäèòñÿ ãðàíèöà m = np0 + u1 np0 (1 p0 ).6.5.2.
Êðèòåðèé 2 äëÿ ñõåìû Áåðíóëëè (ïðåäèñëîâèå ê êðèòåðèþ Ïèðñîíà)mn m . àññìîòðèì ñòàòèñòèêóÅñòü è äðóãîé êðèòåðèé. Ïóñòü m = x1 + : : : + xn . P(Sn = m) = Cmn p (1 p)(m np0 )2 (n m n(1 p0 ))2Xb12 =+np0n(1 p0 )Xb12 åñòü ñóììà îòíîñèòåëüíûõ êâàäðàòè÷íûõ îòêëîíåíèé ýìïèðè÷åñêèõ ðåçóëüòàòîâ îò îæèäàåìûõ.  óñëîâèÿõ H0 MSn = np0 .!2(m np0 )2 (m np0 )2 (m np0 )2m np02bX1 =+== pnp0n(1 p0 )np0 (1 p0 )np0 (1 p0 )Ñëåäîâàòåëüíî, òàê êàê â ñèëó ÖÏÒdpSnpn (1np p ) !N (0; 1), òî Xb12, êàê êâàäðàò ýòîé âåëè÷èíû, ñõîäèòñÿ ïî000b 2 íàçûâàåòñÿ ñòàòèñòèêîé Ïèðñîíà (õè-êâàäðàò).
Êðèòåðèé ñòðîèòñÿðàñïðåäåëåíèþ ê 21 ïðè óñëîâèè H0 . X1ñòàíäàðòíûì îáðàçîì ïðè ïîìîùè êâàíòèëåé õè-êâàäðàò ðàñïðåäåëåíèÿ.356.5.3. Ïîëèíîìèàëüíûé êðèòåðèéÎáîáùèì íàø êðèòåðèé. Áóäåì ïðîâåðÿòü ãèïîòåçó î òîì, ÷òî äàííàÿ âûáîðêà x1 ; : : : ; xn èìååò ïîëèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ s èñõîäàìè è çàäàííûìè âåðîÿòíîñòÿìè: H0 : p1 = p01 ; : : : ; ps = p0s , H1 = :H0 . Îáîçíà÷èìb 2.çà mk êîëè÷åñòâî èñõîäîâ òèïà k è ñîñòàâèì ñòàòèñòèêó a la X1Ñòàòèñòèêà Ïèðñîíà:Xbs2 1 =sX(mkk=1np0k )2np0kb 2 èìååò àñèìïòîòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå 2Äàëåå ìû ïîêàæåì, ÷òî â óñëîâèè H0 è n ! 1 Xs 1s 1 (òåîðåìàÏèðñîíà).Êðèòåðèé Ïèðñîíà ( 2 ) î äàííîì ðàñïðåäåëåíèè â ïîëèíîìèàëüíîé ìîäåëè. Ïóñòü g1 (1 )-êâàíòèëü 2s 1 . Åñëè Xbs2 1 > g1 (s 1), òî H0 îòêëîíÿåòñÿ, èíà÷å ïðèíèìàåòñÿ.
Àñèìïòîòè÷åñêàÿ îøèáêà ïåðâîãî ðîäà,êàê áóäåò ñëåäîâàòü èç òåîðåìû, êîòîðóþ ìû ñåé÷àñ äîêàæåì, áóäåò ðàâíà .6.5.4. Òåîðåìà ÏèðñîíàTÏóñòü 1 ; : : : ; n âçàèìíî íåçàâèñèìû è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû:P i = (i1 ; : : : ; is )P ñëó÷àéíûå âåêòîðû,aa1ïðè÷åì P(i1 = a1 ; : : : ; is = as ) = p1 : : : ps s äëÿ âñåõ i, pi > 0, i pi = 1; ai 2 f0; 1g, i ai = 1 (i âåêòîð èç0 è 1 ñ ðîâíî îäíîé åäèíèöåé). Î÷åâèäíî, ÷òî Mik = pk , Dik = pk (1 pk ), Mi = (p1 ; : : : ; ps )T = p~. Ýëåìåíòûêîâàðèàöèîííîé ìàòðèöû = = M( M )( M )T = (jl ) èìåþò âèä jl = M(ij pj )(il pl ) = pj pl ïðèj 6= l P(â îáùåì ñëó÷àå jl = pj Æjl pj pl ). àññìîòðèì ñëó÷àéíûé âåêòîð Sn = 1 + : : : + n = (1 ; : : : ; s )T , ãäåk = ni 1 ik ñóììà íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.
Mk = npk , Dk = npk (1 pk ), MSn = (np1 ; : : : ; nps )t =n~p; Sn = n (äîêàæèòå ýòî!).àñïðåäåëåíèå Sn íàçûâàåòñÿ ïîëèíîìèàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì. Íàéä¼ì ðàñïðåäåëåíèå ñòàòèñòèêèXbs2 1 =Òåîðåìà 6.1 (Ïèðñîí). Xbs2 1Ïåðåéä¼ì ê SnsX(kk=1npk )2; MXbs2 1 = s 1npk! 2s 1d= Snpnn~p ; MSn = 0; Sn = = . Äîêàçàòåëüñòâî áóäåò îñíîâàíî íà îäíîì èç âàðèàíòîâdìíîãîìåðíîé ÖÏÒ, à èìåííî Sn ! Z N (0; ) [Ñåâàñòüÿíîâ, ãë. 11, 46, òåîðåìà 7℄s pP(n n) npk = kp k , k = 1; : : : ; s; = (1 ; : : : ; s )T .pk k = p= 0, ïîýòîìó s-ìåðíîånpknk=1ðàñïðåäåëåíèå âûðîæäåííîå.Sn = B , B = diag(pp1 ; : : : ; pps ). = B 1 Sn , ïîýòîìó M = 0.
Êîâàðèàöèîííàÿ ìàòðèöà = M(T ) =B 1 M(Sn SnT )B 1 = B 1 B 1 . ( )ij = Æij ppi pj (íà ãëàâíîé äèàãîíàëè 1 p1 ; : : : ; 1 pk , âíå íå¼: ppk pj ).pÏîëîæèì = C , ãäå C îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ñ çàäàííîé ïåðâîé ñòðîêîé: 1k = pk . = (1 ; : : : ; s )T ,PM = 0; 1 = sk=1 1k k = 0. Äîêàæåì, ÷òî ( )ij = Æij , åñëè i; j > 2, è 0 èíà÷å. Ïðè j; l > 2 èìååì:ÏîëîæèìM(j l ) = MXk=jk k mXs=1Xk!lk k = Mjs ls (1 ps )Xs6=tXs;t!js lt s t =Xpjs lt ps pt = js lssmXXjs ls M2s + js lt M(s t ) =s=1s6=tXsÏîñëåäíåå ðàâåíñòâî âåðíî â ñèëó îðòîãîíàëüíîñòè ñòðîê ìàòðèöûXb 2ssXpjs ps!Xt!Xplt pt = js ls = ÆjlsC.sX1 = 2k = k2 = 22 + : : : + s2 (1 = 0)k=1k=1Ìû äîêàçàëè, ÷òî ïðè i > 2 i íå êîððåëèðóþò. Åñëè äîêàæåì, ÷òî i ! N (0; 1) (è ê òîìó æå îíè íåçàâèñèìû,à íå ïðîñòî íå êîððåëèðóþò òóò-òî íàì è ïîòðåáóåòñÿ ìíîãîìåðíàÿ ÖÏÒ!), òî ïîëó÷èì 2s 1 .
Ïðè j > 2dj =sXk=1jk k =n XsXi=1 k=1jk(ik pk ) =pnpk36nXi=1ij :Ïðè èêñèðîâàííîìjè ðàçíûõi ijj =íåçàâèñèìû è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû,Xiij ; Mij = 0; Dij =1nMij = 0; Dj = 1.äîêàæèòå ýòî!Ïî îäíîìåðíîé ÖÏÒ j ! N (0; 1) äëÿ âñåõ j > 2.Ïàìÿòóÿ, ÷òî = (CB 1 )Sn , à Sn ñõîäèòñÿ ïî ðàñïðåäåëåíèþ ê N (0; ) (ïî îðìóëå â ðàìî÷êå), ïîëó÷àåì,d÷òî ! N (0; E 0 ), ãäå E 0 åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà áåç âåðõíåé ëåâîé åäèíèöû (1 = 0), ïðè÷¼ì êîìïîíåíòûåãî íåêîððåëèðîâàíû, à ïîòîìó íåçàâèñèìû (ýòî ñâîéñòâî ìíîãîìåðíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ).
ÏîýòîìóXbs2 1 = 22 + : : : + s2 d! 2s 1 , ÷òî è òðåáîâàëîñü. d6.5.5. Êðèòåðèé 2Ïóñòü x1 ; : : : ; xn ïîâòîðíàÿ âûáîðêà, i îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû ñ .ð. F (x).H0 : F (x) = F0 (x); H1 = :H0 :àçîáüåì R íà s èíòåðâàëîâ k = (tk 1 ; tk ℄ ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì. Òîãäà íàøà çàäà÷à ñâåäåòñÿ ê ïðîâåðêåãèïîòåçû î äàííîì ðàñïðåäåëåíèè âåðîÿòíîñòåé óñïåõà â ïîëèíîìèàëüíîé ìîäåëè, ãäå mk ÷èñëî xi , ïîïàâøèõb 2 , îïðåäåëåííîå ðàíåå, áóäåò èìåòü àñèìïòîòè÷åñêîåâ k , p0k âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà k (ïðè óñëîâèè H0 ), è Xs 1ðàñïðåäåëåíèå 2s 1Çàìå÷àíèÿ. Çàäà÷è, ðåøàåìûå ñ ïîìîùüþ 2 : F0 (x) ìîæåò áûòü çàäàíà ñ òî÷íîñòüþ äî r ïàðàìåòðîâ; òîãäà ñòàòèñòèêà Ïèðñîíà, â êîòîðîé p0k âû÷èñëåíû ñ ïîäñòàíîâêîé âìåñòî íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ ñòàòèñòèê äëÿ íèõ, áóäåò èìåòü àñèìïòîòè÷åñêîåðàñïðåäåëåíèå 2s 1 r .Êðèòåðèé 2 ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåçû îäíîðîäíîñòè.
Ïóñòü åñòü äâå ïîëèíîìèàëüíûå ñõåìû ñ n è l èñïûòàíèÿìè, ñ ðåçóëüòàòàìè èñïûòàíèé (m1 ; : : : ; ms ), âåðîÿòíîñòÿìè (p1 ; : : : ; ps ) è(m01 ; : : : ; m0s ) è (p01 ; : : : ; p0s ) ñîîòâåòñòâåííî.H0 : p0i = p0i ; H1 = :H0 . Ïðè óñëîâèè H0 âûáîðêè îáúåäèíÿþòñÿ è îöåíèâàþòñÿ îáùèå çíà÷åíèÿ pi = p0i :p^i = mni ++ml i (ïî ìåòîäó ÌÏ).
Òîãäàs(m0k lp^k )2np^k )2 X+np^klp^kk=1k=1(â îáùåì ñëó÷àå, èìåÿ r ïîëèíîìèàëüíûõ ñõåì, ïîëó÷èì 2(s 1)(r 1) ).Xbs2 1 =sX(mk) 2s 16.6. Êðèòåðèé çíàêîâ(x1 ; y1 ); : : : ; (xn ; yn ) íàáîð ïàðíûõ íàáëþäåíèé, ïîðîæä¼ííûé ïàðîé ìíîãîìåðíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí(; 0 ) ( è 0 ìîãóò áûòü çàâèñèìûìè, à âîò 1 ; : : : ; n íåçàâèñèìû â ñîâîêóïíîñòè è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû,ðàâíî êàê è 10 ; : : : ; n0 ). Ïóñòü 1 ; : : : ; n ðàñïðåäåëåíû ñ óíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F (x), à 10 ; : : : ; n0 ñ óíêöèåéðàñïðåäåëåíèÿ G(x) = F (x ), 2 R ïàðàìåòð.
èïîòåçà H0 ñîñòîèò â îäíîðîäíîñòè âûáîðîê (ò.å. = 0);H1 = :H0 .Ïåðåéä¼ì ê ðàçíîñòÿì zi = xi yi (ýòî çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí i = i i0 ; 1 ; : : : ; n íåçàâèñèìû âñîâîêóïíîñòè). àññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà 8i zi 6= 0. Òîãäà ãèïîòåçà H0 ðàâíîñèëüíà ãèïîòåçå H00 : 8i P(i > 0) =P(i < 0) = 12 . Ñóäèì î ñïðàâåäëèâîñòè ãèïîòåçû H0 ïî ñîîòíîøåíèþ çíàêîâ ½ + è ½ ñðåäè zi . Ïî ñóòè èìååòñÿn èñïûòàíèé Áåðíóëëè, ãäå ýëåìåíòàðíûìè ñîáûòèÿìè ÿâëÿþòñÿ Ai = fi > 0g, Ai = fi < 0g.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
