А.В. Прохоров - Курс лекций по математической статистике (1124594), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Òîãäàâåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñðåäè âûáîðêè ðàçìåðà n îêàæåòñÿ ðîâíî m îòìå÷åííûõ ýëåìåíòîâ, ìîæåò áûòü âû÷èñëåíàïî èçâåñòíîé îðìóëåCm Cn mQn;m(N; M ) = M nN M :CNÑòàòèñòè÷åñêàÿ çàäà÷à ñòàâèòñÿ íåñêîëüêî èíà÷å. Íàïðèìåð:à) Äîïóñòèì, ÷òî n, m, N èçâåñòíû, à M íåèçâåñòíî. Òðåáóåòñÿ îöåíèòü M . Ýòî â íåêîòîðîì ñìûñëåçàäà÷à, îáðàòíàÿ âåðîÿòíîñòíîé. åøèòü åå íå òàê-òî ïðîñòî. Ïðîñòåéøåå (íî äîâîëüíî ãðóáîå) ïðèáëèæåíèåäëÿ M ìîæíî íàéòè, íàïðèìåð, èç ñîîòíîøåíèéMMN mn ; M mn N:Äëÿ òîãî, ÷òîáû íàéòè áîëåå òî÷íûå îöåíêè, íóæíû ñïåöèàëüíûå ìåòîäû, êîòîðûìè è çàíèìàåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà.á) Ïóñòü çàäàíû n, m è M , à N íåèçâåñòíî.
Òðåáóåòñÿ îöåíèòü N . Ïðèìåð òàêîé çàäà÷è îöåíêà ÷èñëà ðûáâ âîäîåìå: ïðîèçâîäèòñÿ âûáîðêà ðàçìåðà M , ïîìå÷àþòñÿ âñå ðûáû èç ýòîé âûáîðêè, à ñïóñòÿ íåêîòîðîå âðåìÿïðîèçâîäèòñÿ åùå îäíà âûáîðêà ðàçìåðà n è ïîäñ÷èòûâàåòñÿ ÷èñëî ïîìå÷åííûõ ðûá m èç ýòîé âûáîðêè. Ïîýòèì äàííûì òðåáóåòñÿ îöåíèòü ÷èñëî ðûá â âîäîåìå. Äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è ðàññìàòðèâàåòñÿ âåðîÿòíîñòüQen;m (N ) êàê óíêöèÿ ïåðåìåííîé N . Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî óíêöèÿ Qe ñíà÷àëà âîçðàñòàåò, à çàòåì óáûâàåò. Âe n;m (N ) ìàêñèìàëüíî. Ìîæíîêà÷åñòâå îöåíêè èñêîìîãî çíà÷åíèÿ N âûáèðàåòñÿ òàêîå öåëîå N , äëÿ êîòîðîãî Qïîêàçàòü, ÷òîhiN = Mnm6 M mn :àññìîòðèì ñëåäóþùèé ýêñïåðèìåíò: äâà ðàçà íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà áðîñàåòñÿ ìîíåòêà.
Ìîæíî ðàññìàòðèâàòü äâå ìîäåëè ýòîãî ýêñïåðèìåíòà:1) 4 èñõîäà: âûïàëè ïîñëåäîâàòåëüíî îðåëîðåë, îðåëðåøêà, ðåøêàîðåë, ðåøêàðåøêà. Êàæäîìó èñõîäóïðèïèñûâàåòñÿ âåðîÿòíîñòü 14 .2) 3 èñõîäà: 2 îðëà, 2 ðåøêè, 1 îðåë è 1 ðåøêà; êàæäîìó èñõîäó ïðèïèñûâàåòñÿ âåðîÿòíîñòü 13 .Ïðàêòèêà ïîêàçûâàåò, ÷òî ïåðâàÿ ìîäåëü áîëåå ñîîòâåòñòâóåò äåéñòâèòåëüíîñòè, ÷åì âòîðàÿ: ïðè áîëüøîì÷èñëå èñïûòàíèé êàæäûé èç ÷åòûðåõ èñõîäîâ ïîÿâëÿåòñÿ ñ ÷àñòîòîé, áëèçêîé ê 14 , â òî âðåìÿ êàê âî âòîðîé ìîäåëè ïîñëåäíèé èñõîä ïîÿâëÿåòñÿ ñ ÷àñòîòîé, áëèçêîé ê 21 , à ïåðâûå äâà ñ ÷àñòîòîé 41 , ÷òî ïëîõî ñîîòâåòñòâóåòïðèïèñàííûì âåðîÿòíîñòÿì. íåêîòîðîì ñìûñëå çàäà÷à ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè îáðàòíà çàäà÷å òåîðèè âåðîÿòíîñòåé.  òåîðèè âåðîÿòíîñòåé â êàæäîé êîíêðåòíîé ñèòóàöèè âåðîÿòíîñòü ñ÷èòàåòñÿ ïîëíîñòüþ îïðåäåëåííîé è îñíîâíîé çàäà÷åéòåîðèè âåðîÿòíîñòåé ÿâëÿåòñÿ ðàçðàáîòêà ìåòîäîâ íàõîæäåíèÿ âåðîÿòíîñòåé ðàçëè÷íûõ ñëîæíûõ ñîáûòèé (èñõîäÿ èç èçâåñòíûõ âåðîÿòíîñòåé áîëåå ïðîñòûõ ñîáûòèé) äëÿ äàííîé âåðîÿòíîñòíîé ìîäåëè.
 ìàòåìàòè÷åñêîéñòàòèñòèêå ðàññìàòðèâàåòñÿ ñòàòèñòè÷åñêàÿ ìîäåëü, êîòîðàÿ îïèñûâàåò òàêèå ñèòóàöèè, êîãäà â âåðîÿòíîñòíîéìîäåëè èçó÷àåìîãî ýêñïåðèìåíòà èìååòñÿ òà èëè èíàÿ íåîïðåäåëåííîñòü â çàäàíèè âåðîÿòíîñòè, è çàäà÷à ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû óìåíüøèòü ýòó íåîïðåäåëåííîñòü, óòî÷íèòü (âûÿâèòü) ñòðóêòóðóñòàòèñòè÷åñêîé ìîäåëè ïî ðåçóëüòàòàì ïðîâîäèìûõ íàáëþäåíèé.41.2. Ñòàòèñòè÷åñêàÿ ìîäåëü ñõåìû ÁåðíóëëèÇàèêñèðóåì ÷èñëî n 2 N . àññìîòðèì ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû 1 , 2 , . .
. , n (! ) íà íåêîòîðîì îáùåì âåðîÿò-íîñòíîì ïðîñòðàíñòâå(; A ; P), ! 2 . Èõ ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå:P(1 = a1 ; 2 = a2 ; : : : ; n = an ) = pa +:::+an qn (a +:::+an ) ; ak 2 f0; 1g; p; q > 0; p + q = 1:11Çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 1 èñõîä ïåðâîãî èñïûòàíèÿ, P(1àíàëîãè÷íî äëÿ 2 ; : : : ; n . Îòñþäà P(1 = a1 ) = pa1 q 1 a1 , è ò.ä. Çíà÷èò,P(1 = a1 ; 2 = a2 ; : : : ; n = an) = pa1 +:::+an qn (a1 +:::+an )=nYk=1= 1) = p, P(1 = 0) = q = 1pak q1 akp,è= P(1 = a1 ) : : : P(n = an ):Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî 1 , 2 , .
. . , n íåçàâèñèìûå èñïûòàíèÿ.àññìîòðèì ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó Sn = 1 + : : : + n . Îíà èìååò áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå:P(1 + : : : + n = m) = Cmn pm qn m ; Sn = 1 + : : : + n ; MSn = np; DSn = npq:Çàäà÷à ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè îöåíèòü íåèçâåñòíîå çíà÷åíèå p. Äëÿ ýòîãî èñïîëüçóþòñÿ òðè ïîäõîäà òî÷å÷íàÿ îöåíêà, èíòåðâàëüíàÿ îöåíêà è âûáîð èç äâóõ ãèïîòåç. Ïðîäåìîíñòðèðóåì êàæäûé èç íèõ íà ïðèìåðåñõåìû Áåðíóëëè.1.2.1.
Òî÷å÷íàÿ îöåíêàÇàïèøåì çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë äëÿ ñõåìû Áåðíóëëè:Sn 1 + : : : + n P Sn np=! M n = n = p; nnn! 1:Pò. å. ÷àñòîòà ïîÿâëåíèÿ óñïåøíîãî èñõîäà Snn ñõîäèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê ïàðàìåòðó p: Snn ! p, n ! 1.SÂîçüìåì â êà÷åñòâå îöåíêè ïàðàìåòðà p ýòó ÷àñòîòó nn =: p^n . Ýòî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ñî çíà÷åíèÿìè mn,m = 0; : : : ; n.Òåîðåìà 1.1. Ýòà îöåíêà îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:1) Íåñìåùåííîñòü: Mp^n = p.P2) Ñîñòîÿòåëüíîñòü: p^n ! p, n ! 1.3) Ýåêòèâíîñòü: Äèñïåðñèÿ ÷àñòîòû p^n ÿâëÿåòñÿ íàèìåíüøåé ñðåäè äèñïåðñèé âñåõ äðóãèõ îöåíîê,êîòîðûå îáëàäàþò ñâîéñòâàìè 1) è 2). Âûøå óæå áûëî ïîêàçàíî, ÷òî îöåíêà p^n íåñìåùåííàÿ (ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî MSn = np), à â ñèëóçàêîíà áîëüøèõ ÷èñåë äëÿ ñõåìû Áåðíóëëè îíà ñîñòîÿòåëüíà; òåì ñàìûì ñâîéñòâà 1) è 2) äîêàçàíû.Äîêàæåì ñâîéñòâî 3) ýåêòèâíîñòü. Ïóñòü p~n ëþáàÿ îöåíêà ïàðàìåòðà p, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèÿì 1) è 2) (íåñìåùåííîñòü è ñîñòîÿòåëüíîñòü).
àññìîòðèì âåëè÷èíó M(~pn p)2 . Îíà íàçûâàåòñÿ ñðåäíåéêâàäðàòè÷åñêîé îøèáêîé îöåíêè p~n .Äëÿ íåñìåùåííûõ îöåíîê ñðåäíÿÿ êâàäðàòè÷åñêàÿ îøèáêà ñîâïàäàåò ñ äèñïåðñèåé, â ÷àñòíîñòè äëÿ íàøåéîöåíêè p^n : M(^pn p)2 = Dp^n .Îáîçíà÷èìP(1 = a1 ; 2 = a2 ; : : : ; n = an ) = pa +:::+an (1 p)n (a +:::+an) = g(p; a1 ; : : : ; an ):1Äëÿ ëþáîãî÷àåò, ÷òîp 2 (0; 1) èìååòMp~n =P1Pg(p; a1; : : : ; an ) 1: Óñëîâèå íåñìåùåííîñòè îöåíêè îçíà(a ;:::;an )p~n (a1 ; : : : ; an )g(p; a1 ; : : : ; an ) = p: àññìîòðèì g(p; a1; : : : ; an ) = g(p) êàê óíêöèþ ïàðàìåñòî ðàâåíñòâî1(a1 ;:::;an )ìåòðà p.
Òîãäà íàøè óñëîâèÿ ìîãóò áûòü çàïèñàíû â ñëåäóþùåì âèäå (ñóììèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî âñåì íàáîðàì(a1 ; : : : ; an )): P 1;p~n g(p) p; 0 < p < 1:Ïðîäèåðåíöèðóåì êàæäîå èç ýòèõ ñîîòíîøåíèé ïî p, à çàòåì, óìíîæèâ ïåðâîå íà p, âû÷òåì åãî èç âòîðîãî;P g (p)ïîëó÷èì:X(~pnp)gp0 (p) 1:5Òåïåðü ïðåäñòàâèì gp0 (p) êàê ëîãàðèìè÷åñêóþ ïðîèçâîäíóþ: gp0 (p) = g (p) lnpg(p) , à çàòåì ïðèìåíèì íåðàâåíñòâîppÊîøèÁóíÿêîâñêîãî, ïðåäñòàâèâ g (p) â âèäå g (p) = g g:1X ln g(p) 2 Xp)g(p)6 (~pnp(~pnXp)2 g(p)! ln g(p) 2g(p) :pÒàê êàê Mp~n = p (óñëîâèå íåñìåù¼ííîñòè îöåíêè p~n ), òî ïåðâûé èç ìíîæèòåëåé â ïðàâîé ÷àñòè ýòîãîíåðàâåíñòâà ýòî äèñïåðñèÿ p~n . Îáîçíà÷èì âòîðîé ìíîæèòåëü ÷åðåç I (p), òîãäà íåðàâåíñòâî ïåðåïèøåòñÿ ââèäå 1 6 Dp~n I (p), èëè Dp~n > I (1p) .
Íàéäåì I (p) â ÿâíîì âèäå:I (p) = MPkpPPk 2 M ( k np)2D( k )np(1 p)n== 2= 2=:22221 pp (1 p)p (1 p)p (1 p)p(1 p)Pnp(1 p)Ïîäñòàâëÿÿ íàéäåííîå çíà÷åíèå I (p) â íåðàâåíñòâî äëÿ äèñïåðñèè, ïîëó÷àåì: Dp~n >= Dp^n ; ò. å. îöåínêà p^n äåéñòâèòåëüíî îáëàäàåò íàèìåíüøåé äèñïåðñèåé èç âñåõ íåñìåùåííûõ ñîñòîÿòåëüíûõ îöåíîê p~n . Òåîðåìàäîêàçàíà. Åñëè çàäàíà ïðîèçâîëüíàÿ îöåíêà p^n ïàðàìåòðà p, òî ïðåäñòàâèì åå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå Mp^n â âèäåMp^n = p +n. Òîãäà n íàçûâàåòñÿ ñìåùåíèåì îöåíêè p^n.
Íåñìåùåííûå îöåíêè îáëàäàþò íóëåâûì ñìåùåíèåì:n = 0.Äëÿ íàøåé îöåíêè p^n = Snn , î÷åâèäíî, Dp^n ! 0, n ! 1, ò. å. ÷àñòîòà îáëàäàåò íàèìåíüøèì ðàññåÿíèåì,åñëè ðàññåÿíèå èçìåðÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ äèñïåðñèè.1.2.2. Èíòåðâàëüíàÿ îöåíêàîöåíêîé ïàðàìåòðà p íàçûâàåòñÿ èíòåðâàë [pn ; pn ℄, êîòîðûé îáëàäàåò ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: ÈíòåðâàëüíîéP p 2 [pn ; pn ℄ > 1 , 0 < < 1; pn = pn (), pn = pn (). Ïðè ýòîì äëèíà èíòåðâàëà äîëæíà áûòü íàèìåíüøåé.Ïðèìåð 2.1. àññìîòðèì n = 100 áðîñàíèé ïðàâèëüíîé ìîíåòû (ñõåìà Áåðíóëëè ñ ïàðàìåòðîì p = 0;5),xk èñõîä k-ãî èñïûòàíèÿ (çíà÷åíèå áåðíóëëèåâñêîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû k ); Sn = 1 + : : : + n .
Î÷åâèäíî,P(0 6 Sn 6 100) = 1. Ïðÿìîé ïîäñ÷åò âåðîÿòíîñòåé ïîêàçûâàåò, ÷òîP(35 6 Sn 6 65) = 0;99822; P(39 6 Sn 6 61) 0;98:35 ; 65 äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ ïàðàìåòðà p ñ äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ 0;99822;Òàêèì îáðàçîì, 1001003961à 100 ; 100 äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ ïàðàìåòðà p ñ äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ 0;98.Äëÿ ïîñòðîåíèÿ äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà äëÿ ñõåìû Áåðíóëëè çàïèøåì äëÿ îöåíêè p^n = Snn íåðàâåíñòâî×åáûø¼âà:D SnD SnnP Sn M Sn > " 6 n =) P Sn M Sn 6 " > 1;nn"2nn14nïîëó÷èì:pq11P p^n p 6 " > 1 n"2 > 1 4n"2 > 1 ; = 4n"2 :Òåïåðü çàäàäèì ïðîèçâîëüíîå"2 2 (0; 1). Òîãäà äëÿ " =P p^n p 6 " > 1 ;ò.
å.qP p^n " 6 p 6 p^n + " > 1 :Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîñòðîèëè èíòåðâàë [^pn " ; p^n +" ℄, â êîòîðîì ñ çàäàâàåìîé íàìè âåðîÿòíîñòüþ îøèáêè íàõîäèòñÿ íåèçâåñòíûé ïàðàìåòð p. Îí íàçûâàåòñÿ äîâåðèòåëüíûì èíòåðâàëîì äëÿ ïàðàìåòðà p ñ äîâåðèòåëüíîéâåðîÿòíîñòüþ 1 (èëè ñ âåðîÿòíîñòüþ îøèáêè ). ×åì ìåíüøå ìû âûáèðàåì , òåì áîëüøå ýòîò èíòåðâàë.Äëÿ çàäàííîãî äëèíó èíòåðâàëà ìîæíî óìåíüøèòü çà ñ÷¼ò óâåëè÷åíèÿ ÷èñëà èñïûòàíèé n.Óêàæåì åùå îäèí (áîëåå òî÷íûé) ñïîñîá íàõîæäåíèÿ èíòåðâàëüíîé îöåíêè â ñõåìå Áåðíóëëè.
Ïî òåîðåìåÌóàâðàËàïëàñà ÷èñëî ¾óñïåõîâ¿ ñõåìû Áåðíóëëè ñ ðîñòîì n ñòðåìèòñÿ ê íîðìàëüíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå:Sn Sn np DpDM= p! N (0; 1):npqSSn(1)nÈñïîëüçóÿ ýòî, ìîæíî îöåíèòü âåðîÿòíîñòüP p^n p 6 " = P S np q n nnqpq 6 "npq q' "6npqqq" pqn = 2(u) 1; u = " pqn :Ru(u) = p12e t2 dt óíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñòàíäàðòíîé íîðìàëüíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.1Ôèêñèðóåì 0 < < 1.
Íàì íóæíî, ÷òîáû 2(u) 1 = 1 , ò. å. (u) = 1 2 . Îáîçíà÷èì òàêîå çíà÷åíèåu, ïðè êîòîðîì ýòî âûïîëíåíî, ÷åðåç u1 2 (êâàíòèëü ïîðÿäêà 1 2 íîðìàëüíîãîqðàñïðåäåëåíèÿ, íàõîäèòñÿ èçqn = u ; " = u p(1 p) . Èòàê, íåðàâåíñòâîòàáëèöû êâàíòèëåé). Òîãäà èñêîìîå " íàéäåì èç óñëîâèÿ " pq1 21 2nÇäåñü2p^nâûïîëíÿåòñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ ' 1â êâàäðàò:p6 u1r2p(1 p)n(2). Îñòàëîñü íàéòè ãðàíèöû äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà.
Âîçâåäåì íåðàâåíñòâîp^n p 2 6 u212p(1 p):nÏîëó÷èëè êâàäðàòíîå óðàâíåíèå íà p.  êà÷åñòâå pn è pn áåðóò êîðíè ýòîãî êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ (ìîæíîïîêàçàòü, ÷òî âñåãäà D > 0 è êîðíåé äåéñòâèòåëüíî äâà).1.2.3. Âûáîð èç äâóõ ãèïîòåçÏóñòü çàäàíî p0 . àññìîòðèì äâå (âçàèìîèñêëþ÷àþùèõ) ãèïîòåçû î ïàðàìåòðå p: H0 (îñíîâíàÿ, èëè íóëåâàÿ,ãèïîòåçà) è H1 (àëüòåðíàòèâíàÿ, èëè êîíêóðèðóþùàÿ, ãèïîòåçà). (Íàïðèìåð, H0 : p = p0 , H1 : p 6= p0 .) Íàøàçàäà÷à: âûáðàòü èç ýòèõ äâóõ ãèïîòåç òó, êîòîðîé ñîîòâåòñòâóåò íàèìåíüøàÿ âåðîÿòíîñòü îøèáêè.Îïðåäåëåíèå. Âåðîÿòíîñòü îøèáêè I ðîäà ýòî âåðîÿòíîñòü îòêëîíèòü âåðíóþ ãèïîòåçó H0 .
Âåðîÿòíîñòüîøèáêè II ðîäà ýòî âåðîÿòíîñòü ïðèíÿòü íåâåðíóþ ãèïîòåçó H0 .Êðèòåðèé ïðîâåðêè ãèïîòåçû H0 ýòî ïðàâèëî, íà îñíîâàíèè êîòîðîãî ìû ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî îíà âåðíàèëè íåâåðíà (ò. å. ïðèíèìàåì åå èëè íå ïðèíèìàåì). Ñîñòàâèì òàáëèöó:ïðèíèìàåìîòêëîíÿåìH0H0H0H1Çäåñü âåðîÿòíîñòü îøèáêè I ðîäà (îòêëîíÿåì H0 â òî âðåìÿ êàê îíà âåðíà) îáîçíà÷åíà ÷åðåç , à âåðîÿòíîñòüîøèáêè II ðîäà (ïðèíèìàåì íåâåðíóþ ãèïîòåçó H0 ) .àññìîòðèì äâå ãèïîòåçû H0 : p = p0 , H1 : p 6= p0 (p0 çàäàíî).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
