Прандтль Л. Движение жидкости с очень малым трением (1124060)
Текст из файла
Цена 50 поп. НМ-4 ЦЕНТРАЛЬНЫЙ АЭРОГИДРОДИНАМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Л. П РАНЛТЛ Ь ТЕОРИЯ НЕСУЩЕГО КРЫЛА чл схъ .к ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ С ОЧЕНЬ МАЛЫМ ТРЕНИЕМ ТЕОРИЯ КРЫЛА ГОСУДАРСТВЕННОЕ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО 1931 Рго1. Рг. Ь. РЙА1ЧРТ1. ГШЯБ1ОКЕ!Т М1Т К1.ЕЖЕК КЕ1ВИЧО Т1сАОНЛЗОЕ1 ТНЕО1с1Е м~ттишт Редактор — Ф. С. ШАКОВСКИЙ. Технический редактор — О. Н. НВРСИЯНИНОВА. москва. ьноиноиоченнын гнавнита в е,еез.
зак. ен етт огиз ан кно. Нме ь,оое ыеа. ге-я тиногнаеия ОГиз, трекннукныа неР. е. ПРЕДИСЛОВИЕ. Настоящая работа представляет перевод, произведенный сотрудницей ЦАГИ А. А. Леонтьевой, трех основных статей проф. Прандтля, содержащих изложение созданной им теории. Эти статьи были последовательно напечатаны в трудах 1П математического конгресса 1904 г., в Известиях Геттингенского научного общества 1918 — 1919 гг.,и в 1927 г.
изданы в Геттингене отдельной брошюрой. Перевод произведен без всяких изменений в тексте, лишь с другой векторной символикой, именно, вместо чрезвычайно неудобных обозначений векторных величин жирными буквами„ принятых везде проф. Прандтлем, в настоящем переводе они обозначены латинскими буквами с черточками сверху; кроме того настоящий перевод снабжен некоторыми пояснительными примечаниями. Сотрудник ЭЛО ЦАГИ Н. Аржаникое СОДЕРЖАНИЕ Стр. Предисловие Движение жидкости с очень малым трением Теория крыла 1. Общие соображения !1. Общая теория стационарного данн<ения П1. Необходимые упрощения 1т7. Применение к крылу моноплана Приложение.
С п н с о к л ~фт е р а т у р ы 3 5 12 13 17 31 ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ С ОЧЕНЬ МАЛЫМ ТРЕНИЕМ. В классической гидродинамике рассматривается главным образом движение жидкости без трения. Для жидкости с трением мы имеем диференциальные уравнения движения, составление которых целиком основано на физических наблюдениях.
Решениями этих уравнений служат (кроме плоской задачи, как это было дано гсау!еу'ем) ' только такие решения, где вязкостью либо пренебрегают, либо она не имеет никакого значения. Двух- и трехмерная задача со включением трения и вязкости еще ожидает своего решения. Причиной этого являются очень неудобные свойства диференцпального уравнения, В векторных обозначениях Гиббсае это уравнение имеет вид: ( ~и + и у ) ) ,()т + р) (г,ег (г †скорос, р †плотнос, (г †силов функция, р †давлен, и †коэфцциент трения); к этому уравнению добавляется еще уравнение непрерывности; для несжимаемой жидкости, которая только и будет здесь рассматриваться, мы имеем: 61г и = и. Дпференциальное уравнение легко разрешимо тогда, когда при достаточно медленном и также медленно деформнрующемся движении член 'со становится сколь угодно малым по сравнению с другими членами, так что с достаточным приближением можно пренебречь влиянием вязкости. Наоборот, при достаточно быстром движении квадратичный член в г — г д г (изменение скорости вследствие изменения места) достаточно велик для того, чтобы считать влияние трения Д ~т зг совершенно несущественным.
Такие условия встречаются всегда в техническнхеприложениях. Поэтому здесь мы можем пользоваться простыми уравнениями движения для жидкостей, не име1ощих трения. Отсюда ясно, что решения этих уравнений в большинстве случаев плохо согласуются с опытом. Достаточно указать на шар Дирихле, который по теории должен двигаться без сопротивления. " Ргосееецпиа Ьопй. Мащет. яос!аЕу, 11.
р. 57. ' а Ь скавариое произведение, а х Ь вЂ векторн произведение, à †операт Гамильтона ( р = е „вЂ” „+ ) —, + й - ). . о;о — о Мы поставили себе задачей систематически исследовать законы движения жидкостей, трение которых можно считать весьма малым. Трение должно быть настолько малым, что им можно пренебречь в тех местах, где нет большой разницы в скоростях или где нет накопления действия трения.
Это оказывается очень плодотворным, потому что таким образом, с одной стороны, мы приходим к математической формулировке, которая допускает полное рассмотрение задачи; с другой же стороны, зто обещает дать удовлетворительное совпадение с наблюдениями. Мы здесь укажем на следующее обстоятельство: если, например, от стационарного движения с трением около шара мы переходим как к пределу к случаю движения без трения, то получаем нечто совершенно отличное от движения Дирихле. Движение Дирихле есть только некоторое начальное состояние, которое очень скоро нарушается при возникновении даже весьма малого трения.
Переходим теперь к частным вопросам. Сила, действующая на единичный куб, проистекающая от трения, есть К = !сс'ер. — 1 Вводя вихрь вг = го1 г и преобразовывая с помощью векторных соотношений, на основе того, что дЬ ! = О, найдем '. К = — 2!с го1 йг.
Отсюда непосредственно вытекает, что для иг =О, К =О, т. е. что не- завихренное движение при сколь угодно большом трении представляет собой возможное движение; если однако зто в некоторых случаях и не имеет места, то происходит зто потому, что движения зтого рода являются граничными между' завихренными движениями жидкости и незавихренными. При всяком периодическом или циклическом движении действие трения за большой промежуток времени, так сказать, накопляется, даже и в том случае, когда трение очень мало. Из всего сказанного следует, что для установившегося движения мы можем потребовать, чтобы работа силы К, следовательно линейный интеграл ~ К е!з, вдоль каждой линии тока при циклическом движении был для полного цикла равен О; в каком-нибудь месте периодического потока мы имеем для целого периода: В случае плоского движения, при котором существует функция тока 'т' '-, можно с помощью теорем Гельмгольтца о вихревом движении получить ' р'и = лгаг! Фт т — го1 го1 т (а).
Условие ггепрерыввостгг дает о!т т = О, Следовательио Хгаг!д!т и = О. Таким порезом рег = — го1 го1 г . Так как го1 г = 2гт, то будем иметь: рег = — 2 го1 в или К = — 2!г го1 в. - 'Епсуа!орег!!е г!ег гпа1Легп. %!ееепесвагсеп !У !4,7, общее выражение для распределения вихрей. Для плоского движения мы получаем ': (у*-ьра) — (у +ь) дн в 2ф Й для замкнутых линий тока это выражение делается равным О; следовательно мы получаем здесь простой результат, что внутри некоторой области с эамкпутыми линиями тока вихрь имеет постоянное значение.
При симметрично-осевом движении с обтеканием в плоскости меридиана напряжение вихря для замкнутых линий токов пропорционально радиусу: иг= сг; это дает силу К = 4)гс в направлении оси, Следующий весьма важный вопрос †вопр о поведении жидкости на стенках твердого тела. Можно достаточно точно представить физическую картину в пограничном слое между жидкостью и твердым телом, если предположить, что жидкость прилипает к стенкам, так что следовательно скорости в нем везде нулевые илн равны скорости твердого тела. Если к тому же трение весьма мало или путь жидкости вдоль стенки не очень велик, то уже в самой непосредственной близости от стенки скорости имеют свое нормальное значение. В тонком пограничном слое разница между нормальными компонентами скоростей оказывается очень значительной, несмотря на малое значение коэфициента трения.
Удобнее всего рассматривать этот вопрос, вводя последовательные упрощения в общем диференциальном уравнении. Если )г считать малой величиной 2-го порядка, то толщина переходного слоя будет малой величиной 1-го порядка; следовательно такого же порядка будет нормальная составляющая скорости. Поперечным изменением давления можно пренебречь так же, как и возможной кривизной линии тока. Распределение давления указывает нам переходной слой в отличие от свободной жидкости.
Для плоской задачи, которую мы здесь и рассматривали, получается при стационарном состоянии (ось х — касательная, ось у — нормаль, и и р — соответствующие компоненты скорости) следующее диференциальное уравнение; к этому присоединяем еще: ди де дх ду — + — = О. Если, как обыкновенно, -- дано и известно распределение и по начальдр 'дх ному поперечному сечению, то каждая такая отдельная задача может быть разрешена до конца, причем из каждого и можно получить соответствующее г По Гельмгольтцу вихрь частнцы в направлении осн вихря пропорционален ее расстоянню от осн; поэтому прн стацнонарном плоском лвнженнн на каждой линии тока (К =.
=-Соне!) н постоянно следовательно ю = е(у); откуда: ~ К да = 2)г') го(ж да = 2)гй(у)~го(у.й = 2гг((у)2 а да. — „; при этом с помощью известного метода последовательных приближений ' ди всегда можно продвинуться на один шаг далее в направлении оси Х. Некоторые трудности возникают вследствие различных особенностей на твердой границе. Наиболее простым случаем рассматриваемого здесь состояния движения является течение воды вдоль плоской тонкой пластинки.
Здесь можно 1 У1 воспользоваться заменой переменных, положив и =1с(-, .). '> 'х)' С помощью численного решения получающегося дпференциального уравнения мы приходим к такой форме для сопротивления: 1с = 1,1 ... Ь 1/Ар1и,', о где Ь вЂ” ширина, 1 — длина пластинки, и„— скорость невозмущенной воды относительно пластинки. Распределение и дает фиг.
1. Но наиболее важным для приложений результатом нашего исследования является то, что в некоторых случаях, в меФиг. и стах, которые вполне определяются внешними условиями, происходит отрывание тока жидкости от стенки 1фиг. 2)'. В таких местах в свободную жидкость вдвигается слой, приведенный во вращение вследствие трений о стенки; он играет такую же роль (вызывая полное изменение движения), что н Гельмгольтцевы поверхности раздела. При изменении коэфициента трения А изменяется толщина вихревого слоя ( она пропорциональна к':;)' и'> у все остальное ги)' остается неизменным; можно также переити к предельному случаю У й=О и всегда сохранить ту же картину обтека- ...,~~',„у,/,.',;;." .ч,:..;,;,фф:...," „ ния.
Характеристики
Тип файла DJVU
Этот формат был создан для хранения отсканированных страниц книг в большом количестве. DJVU отлично справился с поставленной задачей, но увеличение места на всех устройствах позволили использовать вместо этого формата всё тот же PDF, хоть PDF занимает заметно больше места.
Даже здесь на студизбе мы конвертируем все файлы DJVU в PDF, чтобы Вам не пришлось думать о том, какой программой открыть ту или иную книгу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
