Прандтль Л. Движение жидкости с очень малым трением (1124060), страница 5
Текст из файла (страница 5)
22 Принимая во внимание уравнение(5), работа на единицу объема равна: "(х > «»==-"> х «' «» (так как; х «». «» = О!), следовательно вся .работа (обозначая через 11> сопротивление) представляется в виде: К « = ) у =- Фт х у «Чт=- и =-И,ОУ В частном случае, когда все «несущие вихри» параллельны, рассуждения аналогичные тому, какие привели нас к уравнению (11), показывают, что достаточно принять в расчет при вычислении сопротивления только те компоненты «, которые обязаны своим происхождением е: И ~=-УО ХО(' р '-;-„-",-,-б~т~'. Ш. Необходимые упрощения.
(1За) 11. Строгое доказательство поло>кепи, данных в предыдущем параграфе, представляет при современном состоянии математических методов непреодолимые затруднения. Поэтому мы принуждены прибегнуть к приближениям. В этом направлении очень плодотворна мысль обратиться к тем соотношениям, которые получаются в случае очень малых аэродинамических сил. В этом случае получается «приближение первого порядка», если во всех' входящих величинах оставлять талька члены наиболее низкого порядка.
В таком случае становится возможным пользоваться линейной связью между силами и добавочной скоростью-«*и проистекающими отсюда преимуществами теории с линейными зависимостями. Ничто не мешает >тонечно усовершенствовать линейную теорию с помощью последовательных приближений; однако применение теории к практическим задачам показывает, чта уже линейная теория во многих случаях вполне достаточна. При этом в первом приближении все добавочные скорости «*, возникающие ат системы вихрей, можно считать везде малыми по сравнению со скоростями переш>снога движения)г, так что «*, где она входит как слагаемое рядом с К может быть отброшена.
Свободные вихревые линии, которые по сказанному в з б надо считать линиями тока„переходят при отбрасывании «* в прямые линии, которые сходят с задней кромки крыла параллельно направлению движения. Легко убедиться, что мы вводим относительную ошибку порядка малой величины —;,, если при подсчете >» в области крыла мы примем за оси 1г вихрей эти прямые, а не линии тока. Вышсление «* становится таким образом чрезвычайно простым. При получении величины полной силы К по уравнению (10) вторым членом можно пренебречь как малым по сравненнн> с первым; при вычислении сопротивления в направлении движения И',— величины 2-го порядка малости (если полная сила — малая величина 1-го порядка) этим членом тоже можно пренебречь. 12. Дальнейшее упрощение состоит в том, что мы отказываемся от знания точного пространственного расположения несущих вихрей, В лучшем агс1 "" случае мы удовлетворяемся тем, что вместо описанной в № б вихревой поверхности для каждого крыла мы выделим отдельные вихревые нити, которые проходят через центр тяжести вихревого распределения каждого отдельного поперечного се- ,ТГ чения и направление которых в каждомсеченннравно полной циркуляции около него.
еак как употребляющиеся на практике крылья в большинстве случаев вытянуты по длине, зтн приближения вполне ласта- точны для многих случаев. Диаметр вихревых нитей для большинства случаев не имеет значения; поэтому принято говорить о «несущих лннияхэ '. Для простейшего случая, именно для одной единственном Фпг. 4. прямой «несущей липина перпендикулярной к направлению «' (для прямого люноплана) мы приведем ниже главнейшие форлтулы. Система координат выбирается таким образом (фиг. 4): за ось Х берем «несущую линяю« — ось у — проводим в направлении к' назад, ось й — вниз. Циркуляции токов, идущих от У к л, соответствует подъемная сила, которая относительно крыла направлена вверх, относительно жидкости — вниз (следовательно главный компонент сил )с расположен в направлении положительной оси Л).
Скорость т«,имеет три компонента и, р, в по направлению осей Х,У, и с. Вместо )т(т в уравнениях(9)и(10)входят элементы вихревой линии Гох; о!' вместо и(т — элементы вихревой поверхности — — !1х Иу. Крыло простиох рается от х=а до х=Ь. Компоненты скорости в точках несущей линии равняются: и =О, р =О. ! Как показывает ближайшее рассмотрение, представление несущих линий не оправдывается для тех крыльев, у которых координата У средней линии крыла меняется (крыло, искривленное вдоль своей длины). В этом случае надо знать распределение подъемной силы по хорде, так как в формулу для ю входят факторы порядка )й, (0 — размах, ! — хорда), ь которые прн !=О обращаются в бесконечность.
а'=ь в=о 1 р /' й!' [х - х')йх'е(у 1 ! с(г с(х' 4л) 1 с(х' ((х — х')е , Уе1. 4л.) е(х' х — х' ' а'.=а «-О В последнем интеграле, подынтегральная функция которого проходит через .-ее С бесконечность, надо взять «главное значение! (1нп, ( + ) ) ),котороепо- -«а хе лучается, если сначала положить в двойном интеграле нижний предел у=у, и уже в полученном таким образом простом интеграле перейти к пределу у,=-О. Подъемная сила, т. е. Я вЂ” компонента от К получается, согласно уравнению 12: ь А = — р(/ ( Г!(х а (15) сопротивление (г' компонента от К) по уравненшо 13 или ! За ь ь л Г 1 х 4 Й Г ( х ) а а Схема вихревых нитей одинакового напряжения, мы можем проделать все предыдущие изыскания.
Этз схема допустима всегда, когда мы изучаем влияние, которое вызывает крьшо нз некотором расстоянии от вихревой системы. Ею можно воспользоваться с успехолл при изучении взаимного влияния соседних крыльев (сноски 3 — о стр). То же можно сказать о влиянии крыла самого на себя ". ' Некоторая несовершенная попытка вычислить прп данном угле атаки уменьшеиге подъемной силы вследствие образования вихря на кромке прав«ли к выводу употребляю- шихся для очень длинных кгыльсвфсрмул Цзйгйцсй бег мо1ог!о!1«сй!!!з(ой!епйезепзсйа!1 1910 11 (зрг!пйег, 1911), Ь. 87).
которые вследствие того, что неизвестны явления нз концах крыльев, содержат змпирпческую константу. Так как мы говорим только о приближениях 1-го порядка, то эти формулы годны лишь тогда, когда гр действительно везде во всех точках «несущих линий» мало в сравнении с (г. Этого не будет, когда Г на концах крыла имеет значения, отличные от О, потому что в этом случае с конца крыла должна сходить вихревая нить конечного напряжения, которая должна вызывать скорость ьу„возрастаюц(ую с расстоянием от конца крыла.
Но такое возрастание скорости не может наблюдаться в действительности, если угол атаки на концах крыльев имеет тот же порядок величин, что и прежний угол атаки. Поэтому мы утверждаем, что на концах «несущих линий» Г должно быть равно нулю. П р им« ч а и и е. Если мы предположим, что подъемная сила на большей части крыла распределена равномерно и стало быть ее падение до нуля происходит только на коротких участках на концах крыла, то в с е присоединенные вихри с осредоточены на малой области в копнах крыла и могут быть приближенно заме иены отде льнымн вихревыми нитями.
С помогцью такой схемы, где крыло заменяется тремя соседними прямолинейными отрезками 1'в. Применение к крылу моноплана. 13. Важнейшие задачи, которые могут быть решены на основании предыдущнх положеннй, суть следующие трн: 1, Пусть задана распределение подъемной силы по размаху, даны далее р («ро») н У н ищется форма крыла, соответствующая этому распределению подъемной силы, н кроме того «сопротнвленне». 2. Задана форма крыла; ищется распределение подъемной силы н сопротнвленне. 3. Заданы полностью подъемная сила н размах крыла, кроме того р (ро) и У; ищется такое распределение подъемной силы по размаху, прн котором получается минимальное сопротивление.
О последней задаче мы будем еще говорить позже; относительно первых двух заметим здесь только следующее: в первой задаче величины ьг (х) и )У получан>тся простыми квадратурами, знание же и позволяет дать ответ, разумеется неоднозначно, на вопрос о форме крыла. Если форма профиля крыла и его аэродинамические свойства заданы, то можно вычислить для данной глубины крыла (хорды) угол атаки н, обратно, по данному углу атаки — хорду. Прн решении этой задачи мы принимаем в качестве предположения то, что в случае весьма длинных крыльев применяется непосредственно, а именно, что элемент крыла, который обтекается под углом агссе — к горизонту, должен быть установлен под углом: х = агс1е — + х' (! 7) для того чтобы дать ту же подъемную силу, какую дает такой же элемент крыла бесконечного размаха с постоянным профилем, установленный под углом х' н обтекающнйся горизонтально, Зависимость между «действитель- ным углом атаки> х' н соответствующей подъемной силой может быть найдено подсчетом по способу Кутта илн получено экспериментально.
Если 1 есть «глубпна крыла«, т. е. размерность крыла в направлении У, то Г может быть представлено в виде Г = У! 1(«'). Для целей практики всегда достаточно 1(ьь') считать линейной функцией 1(и') =- с,х'+ с,(по данным Кутта для плоского, искривленного по дуге круга крыла имеем 1(ьь') = па'+ -'д, где р обозначает центральный угол дуги по Мнзесу '; не превосходнмая значнтельно для обычных форм профиля нижняя граница с, имеет величину т;.
Вторая задача обратна первой. Она разрешается гораздо труднее, нежели первая,так как она решается не в квадратурах, а приводится к интегральному уравненню. Если написать — „вместо асс!я -", то наше предположение: ~У+ +в'=и(х)=заданной функции х, принимая во внимание уравнение (14), прн- водится к уравненню: ь 1 РГ ах' Г е, — — —, + — — — — '=и(х) (! 8) 4лУМх' х — х' с У!(х) с, а Ниже мы даем два примера более детального решения этой задачи.
~ ю Мне«. Х. Р. М. 1И 7, 3. !57. 14. Пусть для крыла бесконечного размаха подъемная сила будет периодической функцией места. С помощью разложения в ряд Фурье мы получаем отдельные члены вида Г=Гсоа 1Хх. Соответствующая скорость 1г в силу уравнения 14 будет: Л11 5!ПЛХ ' ИХ я' = — ) 4И3 Х' — Х пачагая р(х' — х) = и, получаем: .',- ОЗ е сО 4лю . с 505 и5!и Мп и4и — - = ейп !5х) -- -- — + соэ и.х~ Л1' И И Первый из этих интегралов равен О, второй равен 55 5, так что: лг лг Н = — -СОзиХ= —. 4 ' 4 ПОЛаГая ЗатЕМ Г = г'1С1 а', ЧтО ЛЕГКО МОЖНО дОПуСтИтЬ, ЕСЛИ УГОЛ атаКИ ВЫ- числить для такого направления потока, при котором обтекаемый профиль давал бы подъемну1о силу=О; тогда вычисленный для этого направления угол атаки равняется: +г' 7(с! 4) ( 4 )' Вводя длину волны и = — ', имеем: 2и л + 2А (19) так как по Мизесу с, приблизительно равно п, то мы приходим к приближенной формуле: ,~1+5 Сопротивление для длины 1, содержащей целое число полупериодов, в силу уравнения (!6) имеет вид: й' — --(соз 1ххйх — — --- .
(20) о Если дело идет о любом периодическом распределении подъемной силы, то в выражении для сопротивления все члены разложения в ряд Фурье, содержащие произведение членов, обращаются в нуль для целого периода; сопротивление получает тогда следующее значение: И' = ~.- Х Н1".
(20а) Второй вопрос этого примера разрешается не труднее первого. В этом случае нужно разложить в ряд Фурье угол атаки а, рассматриваемый как функции х и, получить соответствующее каждому члену значение и или Г и зти значения снова суммировать. При этом оказывается, что в силу вышепримведенного соотношения между и и а' с уменьшением длины волны, например с увеличением глубины поверхности, значение колебаний подъемной 5 Си, 1 а и !5 е-Е 1п 4 е, Рапп!!Ппеп1а15!и, В. !9 Г = $~1 — ~1 (Г, + Г,";о+ ГД~+ ...), где $= — (Ь вЂ” размах). При вычислении входящих здесь интегралов надо х ~!о прежде всего заметить, что ' о 1 зов +! ! — т ~1 и ~ св"1 '1: 1Ч"; —.
и!1„, — ! 1 3... (2л — 1! 2 4...2п ' о" 2л — '2' Ро=! Чо — !З 11 Рз = '~'з Чз = '!зв — 5~ — о! рз= ~то Чз= ,'ыз Отс!ода в силу уравнений с 14 до 16 получаем: где следовательно, А =;"рЬ12~)огз„; далее, так как р з= — бч к ю = 2 ~! ) Гзо,з Ч (( л + 1)р„,„— 2прп.-па т)~ ( ) т-о 14 = „-' ~ ч,' ( ÄÄ~ о! о,((2Ь . 2)р„„,— 2Крв „,,)) (2З) Вычисление численного значения для первого члена разложения в ряд дает: А = 4 рЬ$/(Го+4(з ! 81в+" ) (21 а) И (-( + Г1.,+ Г1,+...+-Г.,+ !! + 1;.Г, + ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
