Прандтль Л. Движение жидкости с очень малым трением (1124060), страница 4
Текст из файла (страница 4)
П. Обн1ая теория етаннонарного движения. 6. В дальнейшем мы займемся выводом основных уравнений для простейшего и важнейшего случая стационарного движения бесконечной однородной несжимаемой (обладающе>й постоянством элементарного объема) жидкости ' относительно некоторой покоящейся системы крыльев. > Сжимаемостью воздуха в первом приближении можно пренебречь пока скорости те малы в сравнении со скоростью звука. Входящая отсюда ошибка имеет порядок — (с = с' скорость звука). из 17 Пусть жидкость лмеет в бесконечности скорость Г, давление р, (действием тяжести можно пренебречь). Тогда на каждой линии тока, идущей из бесконечности (скорость р, давление Р) уравнение Бернулли имеет следующий вид: «»» у» Р+ — Ро ! о — Ро+ Ч Так как по предположению каждое крыло обтекается без образования емертвой зонь1>, за ним получается только одна вихревая поверхность и так как линии токов, идущие из бесконечности, заполняют целиком все пространство вне крыла, то уравнение 1 имеет место в каждой точке пространства вне контура.
Для вывода общих теорем примем, что вихри как присоединенные, так и свободные распределены в пространстве. Переход к плоскому распределению можно всегда легко произвести, исходя из пространственного их расположения. Пространственное распределение можно считать более удобным потому, что вместо отдельных крыльев можно воооразнть системы бесконечно большого числа бесконечно малых крыльев.
Уравнение (1) остается справедливым и для этой системы, если мы предположим, что идущие из бесконечности линии токов заполняют вплотную всю область течения. Это может быть в том случае, если бесконечно малые крылья считать настолько тонкими. что часть объема, занятая крыльями, в пределе бесконечно мала по сравнению с общим объемом. Вводимые нами вместо крыла силы суть объемные силы; пусть для единицы объема их величина — (с тогда уравнение Эйлера перепишется в следующем виде: (2) рк чк+оР»=-А' По известному правилу векторного анализа: и .
р и = вегас! . -' + го! . и >с р; 2 >о»» заметив далее, что вследствие уравнения ! вгас(~= — + р)=-0, мы получаем соотношение; гг = р . го! и х р, Ротация поля скоростей слагается из присоединенных и свободных вихрей гогу =Т+е. (б) Силы (с стоят в причинной зависимости от присоединенных вихрей 1, в то время как относительно свободных вихрей известно,что их движение не сопровождается действием внешних сил на жидкость. ' Обозначения: а .
Ь вЂ” скаларное произведение, ахЬ вЂ” векторное произведение яЬ— аффинор. В своей работе Ргапбе! обозначает векторы у и «полужирным шрифтом. Пер. о»» » Величина о =. -- называется «скоростным напором», давление р, + а устанавли- вается в точках, где > = О. Такие точки называются «критическими точнами». Следовательно уравнение (3) распадается на два уравнения р (т х У) = (г еХ у=О. (5) (5а) л —:го1у, —- «2: и следовательно в силу уразнсния 5: — д« )г=- р, )с у = — пру -~; где п=-единичный вектор в направле ши висшней нор»али.
Так как членом, ГУ а ~ ! де можит прси.брсчь в срази нип с у —, то уравнение Эйлера (е) прпнима т влд: ол ' др ду — = — руд.— ип дп мли инт грируя: р р 2(У' ! )' е ' О возможности заменить твердые гранины свободным вихревым слоем в бесконечно простирающейся жидкости см, также статью ЬапаН «К теории вихревого слоя», Знзипдзьсг!сй!е дег Вауг. АК. дег %!ззеп. Ма!и. Рйуз. К!аезе, 19!5.
3 79. Первое представляет собой аналогию теореме Кутта-Жуковского для элемента объема; пз него следует, что силы гс везде направлены перпендикулярно к скорости. Второе уравнение показывает, что в свободной вихревой области везде е!!т; это можно выразить также и так. ч т о с в о б о д н а я вихревая нить, в предполагаемых здесь условиях, э к в и в а л е н т н а линии тока. Этот результат имеет очень важное значение для дальнейших вьводов, С помощью уравнения (5) определяются только те компоненты ), которые перпендикулярны 1; относительно компонентов, параллельных у можно утверждать, что внутри тела практически безразлично, принадлежат ли они к присоединенным или свободным вихрям. П р и м е ч а н и е.
На основании предыдущих рассуждений можно дать ответ на поставленный выше вопрос о системе ыхрей, заме»спасшей твердое тело в стаппоиариом потоке Г>ез образования мертвой зоны. Получается следующее решение: «Вообразим, что внутренность тела заменена (покоящейся) жидкостью с давлением р»+е, какое имеется в критической точке; при этом вместо поверхности тела получается вихревой слой со скачком скорости величины г '. Этот вихрсвой слой и есть искомые системы присоединенных вихрей».
Это угвзржд ние доказыва тся возможно тьи показать, что удозл.творяется данная сист.ма уравнений (!) (9). Предположим длл показатель тва, что вихревой слой имеет конечное, но очень мало прогяжсние в направл,иии нормали к новзрхности. Тогда получаем, отбросив малы. в:личины горядка отноленпя толщины слоя к радиусу, крпвпзиныс Полагая согласно нашему утверждению т, =. О н р,.= р, + о, получаем: о»е Р+ — Ро+ Ч Соответственно уравнению !. У. В силу известного тождества векторного анализа б(ч готу=-О мы получаем из уравнения (4): спч Т + си У е = О.
(б) Если выделить трубку линий токов, проходящую через «несущее пространство» (область, заполненную присоединенными вихрями), так как трубка токов тождественна вихревой трубке, то можно вычислить в ней «поток» свободного вихря Е =-ЦЫР, если дано поле присоединенных вихрей. Т. к. перед входом трубки линий токов в «несущее пространство» поток вихря равнялся О, то в положении а трубки линий токов поток через площадь Р равен полному расходу всех лежащих выше «источннко⻠— Йуе; вследствие уравнения б мы имеем: Е = — Яб)у; Ит К =Я И = РЯ~(Т х Р) Пт (8) Скорость р слагается при этом из двух частей: скорости в бесконечности У н скорости р * получающейся от вихревого поля Т+ с и вычисляющейся по фор- муле 'Био и Савара. Следовательно р — У+ в — У+Я 20 Поток вихря может следовательно быть отличным от О толька в тех трубках линий токов, которые пересекают «несущее пространство».
Для такой несущей системы, перемещающейся прямолинейно с постоянной скоростью в покоящемся воздухе, этот результат может быть выражен таким образом; «Система свободных вихрей состоит из таких частиц воздуха, через которые проходит «несущее пространство», и одной и той же вихревой линии принадлежат поочередно те частицы воздуха, которые попадают в одну и ту же точку «несущего пространства».
Так как, вообще говоря, вышеуказанная «несущая система» вызывает появление скоростей, малых в сравнении со скоростью движения всей системы, такое представление дает правильную вихревую картину. Источники и стоки для распределения Т находятся преимущественно на краях крыльев, поэтому мы должны ожидать появления вихрей под концами крыльев. 8. Полная аэродинамическая сила в «несущем пространстве» вЂ” гс получается из уравнения (5): где г — радиус-вектор от вихря до точки, в которой мы вычисляем ре т. Интегра- ция распространяется на все пространство, заполненное вихрями.
Подставляя (9) в (8), получим, что полная сила в «несущем пространстве» 1г будет выра- жаться следующим образом: так как каждые два количества, которые получаются перестановкой 1 и Т' вследствие перемены направления г взаимно уничтожаются. В этом случае мы имеем дело только со свободными вихрями,"". Это соотношение не удовлетворяется, если пространство интеграции 12 представляет собой только часть общего «несущего пространства», так как область интеграции бт и бт' различны, и поэтому перестановка возможна не для всех пар элементов пространства. 9, Для упрощения рассуждений целесообразно рассматривать «несущую виты>, т. е.
пространственный образ с малым сечением Е, направление длины которой совпадает с направлением вихревых линий поля,. Тогда в формуле 8 можно положить бт — — йг" дз, причем надо заметить, что пз (; ) вследствие чего возможно произвести перестановку множителей бз и Т в нашем векторном произведении. Таким образом получаем: К = РОТ х Р ИЕ аЪ= РЯ~Ь х Р. ИР Т, Если заменить т в каждом сечении Р ее средним значением р, то можно также написать: в и «-бах( !рг г)=р!о '.г. (12) Это есть обобщение формулы Кутта-Жуковского для «несущей нити». Вычисление у может быть выполнено с помощью уравнения (9). В случае изолирован- ' Эта сила в,последующем всегда будет представлять собой силу, действующую на воздух. В технике всегда рассматривают силу, направленную ей противоположно, возникающую при движении воздуха относительно крыла.
«Этот результат моего сотрудника М, Мппй. См. его диссертацию «Изопериметрические задачи нз теории полетов». Под еполем свободного вихря е» понимается то скоростное поле, которое из распределения е получается с помощью формулы Био-Савара. Т. к. распределение е для самого себя ие свободно от источников, вихрь етого поля вне распределения е отличен от нуля. ричем величины без штрихов относятся к интеграции в «несущем пространстве»„величины со штрихами — к интегрированию уравнения (9) во всем.заполненном вихрями пространстве. Вектор г направлен из заштрихованного в незаштрихованный элемент пространства. Для случая, когда присоединенный вихрь во всем пространстве параллелен одному и таму же направлению, формула (!0) для полной силы всех несущих вихрей может быть упрощена.
Именно интеграл: ной «несущей нити» возникает затруднение в том, что в одном и том жепоперечном сечении получаются очень большие разницы между скоростями, достигающие даже бесконечно больших значений, если Р стремится к нулю. В случае же одной подобной прямой нити или нескольких прямых параллельных нитей достаточно, как сказано в предыдущем параграфе, вычислить поле свободного вихря е, где это затруднение не встречается, Если нельзя воспользоваться этим упрощением, то можно вычисление и упростить тем, что к заданной вихревой нити "; прибавить и отнять бесконечно длиннун> прямолинейную вихревую нить с постоянным напряжением, вихревое распределение Т', которой в элементарной площадке г"оз совпадает с распределением Т„заданным в точке з, Теперь, если г' есть скорость, возбужденная этой бесконечно длинной вихревой нитью, то сила, обусловленная элементом РЖ, ЫК=-9Т, х 11'+ г* — и'+ и') Ф йз, (г* — и ) в сечении Е меняется менее сильно чем в'", потому что местные влияния, которые могли бы внести большие изменения в величину и*, здесь устранены, так как в сечении, для которого мы вычисляем г, Т и — Т взаимно уничтожаются; остающийся после этого интеграл: ДТх г йГ (з по соображениям, вполне аналогичным рассуждениям, приведшим к уравнению (!1), равен О.
Отсюда получается результат, что при вычислениях К вместо г» можно подставить 㻠— г', и следовательно в уравнении (!2) г можно положить: и=$'+(㻠— Р). Впрочем, для искривленной <несущей нити»вЂ” остается известное из теории вихревого кольца затруднение, заключающееся в том, что г обращается в бесконечность (логарифмически), когда Г при конечном Г стремится к нулю. 10.
Образование вихревой системы под несущей поверхностью имеет следствием, что прн движении крыла кинетическая энергия остается в жидкости. Эта кинетическая энергия равняется работе силы А или, другими словами, преодолеваемого при движении крыла сопротивления. По уравнению (3) сила А перпендикулярна к направлению г, следовательно работа на единицу объема, отнесенного к системе координат, относительно которой крыло покоится, /с.г равна О. Если положить к=У+и*, то 2 ф+г*)=0 илн 2 9=- — 2 1». В системе координат, в которой покоится невозмущенная жидкость, левая часть этого выражения, рассматриваемая как произведение скорости г" на совпадающий с ней по направлению компонент силы й, п р е дс та вл я ет собой работу сопротивления; правая часть, рассматриваемая как произведение силы )е на совпадающий с ним по направлению компонент скорости х*, вызванная действием системы сил, означает затраченную в жидкости крылом работу на образование вихревого движения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
