Прандтль Л. Движение жидкости с очень малым трением (1124060), страница 3
Текст из файла (страница 3)
В случае конечного крыла даже при стационарном движении в жидкости должен появиться вихрь, потому что по теореме Стокса циркуляция по замкнутой кривой прн перемещении ее может измениться только тогда, когда она пересекает вихревые линии. Если считать, что везде, где есть подьемная сила, должна существовать циркуляция, то получается, что кривая, охватывающая крыло, обходя конец крыла, необходимо должна пересечь вихрь, потому что если она покинет крыло, то ее циркуляция должна уничтожиться '.
3. То, что в жидкости без трения должен образоваться вихрь, сначала кажется противоречащим теоремам Лагранжа н Гельмгольтца. Однако в> всех приложениях видродинамики, касаюшихся взаимодействия между жидкостью и твердым телом, мы можем рассматривать отсутствие трения как предельный случай чрезвычайно малого внутреннего трения "". В жидкости с малым трением получается некоторый епограннчный слой», в котором происходит переход от скорости тела к скорости свободной жидкости. Зтот слой, в котором ротация не равна О, оставляет тело, если движение продолжается достаточно долго ', и распространяется далее в жидкость, в виде свободного вихревого слоя. Вихревой слой отрывается с заднего конца крыла (это соблюдается, как правило, для тел с тупыми концамп, и сзади образуется пространство, заполненное вихрями, нли область застойной жидкости, в силу чего возникает заметное сопротивление.
В некоторых случаях, именно для удлиненных и несколько заостренных сзади контуров, опограничный слойо задерживается на заднем конце тела и, как показывает опыт, покидает его в той точке контура, где поток снова замыкается. Это геометрическое место во многих случаях оказывается точкой (например при осевом симметричном обтекании тел вращения), но гораздо чаще — линией) '. В последнем случае граничные слои с обеих сторон соединяются в вихревую пелену, идущую в свободной жидкости. Скорости по обеим сторонам вихревой пелены совпадают. В этом случае, который наблюдается например ' Это раньше и иначе дано Лаичестером в Аепа! !1!аМ, В.
1, Я 125 — 127. У Лаичестера можно найти много взглядов, которые в дальнейшем нами были использованы. Однако у него отсутствует количественная обработка, которая для последующей судьбы его взглядов имела бы решающее значение. е Ср.
мое сообщение на ! П математическом конгрессе в Гейдельберге: «БеЬег г(йаз!яде!!аЬеттеднпй Ье! зеЛг й(е!пег Ке!Ьнпйм 1905 (ТепЬпег), стр. 484. ' Проделанный путь должен быть по величине по крайней мере порядка радиуса кривизны. На острых краях явление начинается непосредственно от края. ' См. Геттггнгенскую диссертацию гпйгшапп (1914!. при стационарном плоском обтекании крыла, исчезает всякий след вихревой пелены, так как граничный слой при переходе к бесконечно малому трению становится бесконечно тонким и остается потенциальное движение, Вообще говоря, скорости по обеим сторонам вихревой пелены различны, и это имеет место прн переходе к предельному случаю — отсутствию трения.
Таким образом существование плоско расположенной вихревой полосы (поверхности раздела в смысле Гельмгольтца) позади тела в жидкости без трения оказывается вполне возможным; она возникает всегда на линии смыкания потока. Формы тел, для которых поток замыкается позади тела без образования зоны застойной жидкости, даюточень малое сопротивление в направлении движения и имеют поэтому большое практическое значение во всех тех случаях, когда дело идет о получении больших скоростей в сопротивляющейся среде. Эти случаи представляют для нас особый интерес еще потому, что отсутствие этой зоны пли расположенной за телом вихревой области допускает математический анализ явления обтекания.
Совпадение результатов теории и опыта в таких случаях оказывается чрезвычайно благоприятным '. 4. Употребляющиеся на практике, т. с. признанные хорошими после испытания, формы крыльев всегда имеют, вообще говоря, более или менее острую заднгок1 кромку; из выводов предыду- Р РФ """" ФР Р' ских рассуждениях мы поэтому всегда будем принимать, что задняя кромка крыла острая. Для невихревого обтекания острой погруженной в жидкость кромки известно, что скорость на ней становится бесконечно большой, В действительности, если отвлечься от прерывных изменений скорости, такие бесконечно большие скорости никогда ненаблюдаются. Причинаконечности скоростей ФРГГ. Г.
тесно связана с образованием вихревой пелены. Так как скорость остается конечной, то граничные линии тока не должны образовать углов, входящих в жидкость; как легко Видеть (фиг. 2 и 3), это возможно только тогда, когда происходит смыкание струй с обеих сторон кромки нли в пределе образования мертвой зоны. Если этот предельный случай желательно рассматривать тоже как «смыкание», то можно сказать, что острая кромка всегда является линией замыкания струй, потому что скорости на кромке даже без смыкания струй остаются конечными (этот особый случай наблюдается например тогда, когда поток идет параллельно кромке, для задней кромки крыльев этого никогда не бывает, так как она всегда есть линия смьиания струй).
По теоремам Гельмгольтца вихревое напряжение завихренного элемента жидкости не изменяется во времени; условие, чтобы на кромке скорости ' Ср. мою ст. «Олег ФГсп В'Ыег»1апгг топ Кпее!и», ХаспгРсшеп Пег Кд1. Ргеа. Ф1. 'йггаа. ап Оогггпаеп 1914 г., стр. 177. 15 оставались конечными, может быть выполнено только тогда, когда напряжение на вновь возникающих полосах вихревого слоя принимало бы необходимые для этого значения. Эти условия конечности, пока дело идет о движении крыла плавной формы с конечными и непрерывно изменяющимися скоростямн, выполняются и могут служить для определения напряжения вихря в вихревом слое. В случае прерывных форм или прерывного движения бесконечно большие скорости на конце острой кромки не вполне уничтожаются, несмотря даже на вихревой слой.
Мы получаем возможность установить условия, с помощью которых определяется напряжение вихря таким образом, чтобы в силу их выполняемости возникновение бесконечных скоростей было по возможности ограничено. Фиг. 2. Фиг. 3. На основании предыдущих рассуждений можно установить, что для того чтобы классическая гидродинамика могла рассматриваться как предельный случай бесконечно малого трения, нужно дополнить ее следующими аксиомами: А к си о м а 1: на линиях замыкания струй (линиях, вдоль которых два течения, разделенные наличием тела, вновь смыкаются) могут возникнуть вихревые слои.
А к с и о м а 2: на выдающемся остром ребре тела бесконечно большие скорости не возникают. Т е о р е м а 1: выдающиеся ребра тел являются всегда для обтекаемого плоского потока линиями смыкания (и вследствие этого местом возникновения вихрей), Т е о р е м а 2: напряжение вихрей в образовавшихся вихревых слоях принимает такие значения, что скорости на кромках остаются конечными, или же ограничивают по возможности обращение скоростей в бесконечность. 5.
При вычислении скоростей, получающихся для заданной системы вихрей, при наличии твердого тела в жидкости возникают болыпие трудности, если при этом подсчете не ограничиваются особенно простыми случаями '. Этих трудностей можно избегнуть, если заменить твердое тело воображаемой системой вихрей, действие которых не изменяет окружающий тело поток, ' Срап. 1..
Р о р р 1, %'1гЬе!Ьегеехппх гйпе!г е!пеги Кгемвунпдег» БпвипвЬепсще дег Вауг. А!гас!. Ма!Ь. Рпув. К!авве, !913, 8. 1. 1. а 3 а 11 у, вОЬег о!е Вемехппх е!пве1пег Ъ'!гье1 1п с!пег в!гогпепг!еп Р1ввв!|!се!В, св. 1914, Б. 377. 16 и он остается таким же, как и при наличии тела. При такой замене тела пространством, заполненным жидкостью, вся область становится односвязной, и мы можем применить известные, имеющие место для бесконечной жидкости, соотношения между вихревой областью и полем скоростей.
Математически мы ничего не выиграли бы, если бы имели дело с телом заранее заданной формы, так как мы должны были бы сначала найти соответствующее распределение вихрей и привести все это в точности к той же математической задаче, что и первоначальная. Во многих случаях однако достаточно подходящим образом выбрать распределение вихрей и затем уже отсюда вычислить соответствующую форму тела. Практически эти вычисления в большинстве случаев ведутся приближенными методами. С помощью последовательного упрощения условий, которые могут сильно отличаться друг от друга в зависимости от условий самой задачи, мы получаем видоизменения методов, дающих большие преимущества по сравнению со строгим методом точной теории.
Введенные на место твердого тела вихри не подчиняются теореме Гельмгольтца о движении вихрей, нх расположение подчиняется условиям, которые вытекают из самого их назначения заменять, твердое тело. Во всех остальных свойствах они тождественны с действительными вихрями. Чтобы их отличить от свободных вихрей, мы будем в дальнейшем называть их «п р и- соединенными вихрями>.
Для того чтобы вместе с системой вихрей существовало поле скоростей должно быть конечно выполнено условие интегрируемости — иначе говоря, дивергенция всей системы вихрей должна равняться нулю. Вопрос о том, как располагается система присоединенных вихрей покоящегося твердого тела в заданном стационарном движении жидкости, будет рассмотрен в примечании к ближайшему параграфу, Уравнения Эйлера должны удовлетворяться формально, если силы, действующие на твердое тело, заменить особой системой сил, действующей в жидкости, Непрерывность не нарушается, если предположить существование вихрей; при этом условия непрерывности тоже не нарушаются. Граничные условия, заключающиеся в том, что на твердом теле нормальные компоненты скорости жидкости и твердого тела были бы одинаковы, позволя>от вместе с заданными условиями движения твердого тела наметить ход вычисления формы тела; при этом надо пе упускать из виду то обстоятельство, ч т о присоединенные вихри на границах твердого тела должны замыкаться.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
