Погребысский И.Б. От Лагранжа к Эйнштейну. Классическая механика XIX века (1124058), страница 68
Текст из файла (страница 68)
13 — 28. '» У Остроградского, конечно, нет еще векторных обовначений, так что Р, Я, П,... обозначают, собственно, проекции сил на направления, вдоль которых происходят смещения на йр, йд,... '> В кн.: «АЬЬапй1ипйеп 0Ьег й1е Рг1пх!р!еп йег МесЬап!Ь>. Оях>«а1йя К1аяя!Ьег, )>( 167. Ье!рх!8, 1908, р. 60. '» Си. М. В. О с т р о г р а д с к и й.
Собрание сочинений. Киев, 1960; М. В. О с т р о г р а д с к и й. Избранные труды. М. — Л., 1958. " А. М а у е г. ()Ьег й!е Аи(яЫ1ипд йег В!!(егепх!а181е!сЬипЯеп йег Венедипд...— Вег!сЬхе й. ЯасЬз1ясЬеп СеяеПясЬа(! й. У(>!яяепясЬа!Хоп, МахЬ.— рЬуя. К1., Вй. 51, 1844, Я. 224 — 24!. '«Е. 2 е г ш е 1 о. СЬег пЛе Ве>чедип8... — ХасЬг!сЬ>еп й. СеяеПясЬаП й. У(>!яяепясЬайеп хи Оозь!п8еп.— Ма!Ь.— РЬуя. К1аяяе, 1899, Я. 306 — 310. >' О. Н а ш е 1. ()Ьег сйе Огипй1абеп й.
МесЬап!Ь.— МаХЬешас!ясЬе Аппа1еп, ч. 66, 1909 (см. особо стр. 391 — 397). К главе пятой Геонетрвзация механики ' К Б а гв е. Ьесопя яиг 1а ХЬбог!е йе 1'4!аз!!с!Ы. Раг!я, 1860; 1иьгойись!оп. ' Литература по этому вопросу теперь весьма обширна. См. вступительную статью А. П. Вердена «Открытие Лобачевского и его место в истории геометрии» в сб. «Об основаниях геометрии», (М., 1956, стр. 11 — 24); основные работы Лобачевского и Боян и «Отрывки из писем и черновые наброски, относящиеся к неевклидовой геометрии» Гаусса (стр.
27 — 70, 70 — 100, 100 — 120 указанного сборника). Процитируем здесь только одну фразу иа письма Гаусса (1832): «Именно в невозможности решить а рпоп', имеет ли место В или Я (2 — евклидова система, Я вЂ” неевклидова система Лобачевского — Боян.— И. П.), заключается наиболее отчетливое доказательство того, что Кант был неправ, утверждая, что пространство есть только форма нашего сознания» (стр. 117). » В письме Гаусса Герлингу от 5 февраля 1844 г. сказано> «Однако относительно экспериментального обоснования, указанного в т.
17 (журнала) Крелля, на стр. 303, я не нашел ничего в работе Лобачевского от 1840 г.; я должен буду поэтому решиться написать по этому поводу непосредственно г-ну Лобачевскому, ивбрание которого в члены-корреспоцненты нашего общества (Геттингенского.— И. П.) состоялось около года назад по моей инициативе» (сб. «Об основаниях геометрии», стр. 119). ' Бйядшяй!опез Яепега1ея с1гса яирова!с!ея сигчая. (Русск. перев.
см. в сб. «Об основаниях геометрии». М., 1956, стр. 123 — !61; библиографическую справку о различных изданиях втого мемуара (в оригинале и в переводах) см. там >ко, стр. 516). » Там же, стр. 16. «Там же. Упомянутое письмо к Хансену приводится в Собрании трудов Гаусса (С. Р. С а и я я. %егйе, Вй. Х. Ье!рх!8, 1928, Я. 108).
" Б. Р и м а н. Сочинения. Перев. с нем. Под ред. В. Л. Гончарова (предисловие, обзорная статья и примечания его же). М.— Л., 1948, стр. 279 — 293. ' Там же, стр. 45 — 46. ' Там же, стр. 464 и сл. " Там же, стр. 468. " Там же, стр. 473 — 477. " Там же, стр. 290 — 291.
и> Там же, стр. 291. Там же, стр. 292. Там же, стр. 293 (или сб. «Об основаниях геометрии». М., 1956, стр. 340 †3). " См. Б. Г. К у з н е ц о в. Раавитие научной картины мира в физике ХЧ!! — ХЧП! вв. М., 1955, гл. 2 (Картезианская физика), ! 2 и 3; гл. 3 (Учение Ньютона...), ! 3. " '>Ч. С. С1! 11о г 6. Ма1Ьешайса1 Рарегз. Ьоп«(ов, 1882, р. 21 — 22.
'«Там же, стр. 280. Этим заканчивается весьма интересная работа Клиффорда «Постулаты науки о пространстве». »» А. Е ! п з Ь е ! в. ГЯе Сгзп«Надев «(ег аПдеше(вев Ве1аИ- и!а!з«ЬеоПе.— Аппа1еп ((. РЬуа1«. В«(. 49, 1916, 8. 769. Абсолютное дифференциальное исчисление — термин Риччи (В!сс(-СпгЬаз«го, 1853 — 1925), выдающегося геометра и механика. Применялся также термин «исчисление Риччи>. Первое систематическое изложение этого исчисления, которое мы теперь называем тензорным, дано в совместной работе Риччи и его ученика Леви-Чини«а (1.еч(-С!т!«а, 1873 — 1942), в «Ма«Ьеша«!зсЬе Аппа1еп», 1900.
" Конечно, были попытки и физически истолковать, "скажем, четвертое (пространственное() намерение. Например, Максвелл в переписке (письмо к Монро, 1871 г.— См.: Ь. С а ш р Ь е!1, %. С а г и е 1 Ь ТЬе Гй(е о( Л С. МахмеП. Ьоп«(оп, 1884, р. 289) приводил такие соображения: в нашем трехмерном пространстве все измерения равноправны. Если считать, что оно входит в состав какого-то четырехмерного пространства, то спрашивается, какие именно три измерения последнего соответствуют нашему миру и чем они могут отличаться от четвертого. Поэтому Максвелл сделал такой вывод: «Я уверен, что тот вид непрерывности, который имеет четыре равноправных измерения, нельзя считать простым обобщением декартовых уравнений для нространства...».
В своих полушутливых, полусерьезных стихотворениях, в которых Максвелл откликался на события научной жиани, он тоже не раз упоминает о многомерных пространствах. »' Якоби («Лекции по динамике». Л вЂ” М., 1936, лекция 6-я) считал неясной формулировку принципа наименыпего действия у <в> Лагранжа; равенство нулю вариации интеграла ) 2ТП, где Т— (А) живая сила системы, (А) и (В) — два фиксированных положения системы, причем имеет место интеграл живых сил Т = (7+ Ь (Ь вЂ” постоянная, (7 — сяловая функция, зависящая только от координат). Критика Якоби была выавава недостатками изложения: <н> отсутствием точных указаний, как вычислять 6 ~ 2 Тйг (см. вылив <л> раздел о работах Остроградского).
Исключив на основании интеграла живых сил йц Якоби дал в сущности новый вариационный принцип. »» Заметим, что попутно установлена следующая теорема Томсона и Тэта (<Ч. Т Ь о т я о и апй Р. Т а 1 <. Тгеа<ие оп Ха<пса! РЫ!озорЬу, ч. 1. Ей. 2. Ьопйоп, 1879, р. 353): если имеем кривую Ь, ортогональную к семейству траекторий движущейся точки, и если на каждой траектории отложить от ее точки пересечения с Ь дугу, которой соответствует одно и то же значение действия, концы этих дуг обравуют кривую Ь', которая, как и Ь, ортогональна к траекториям.
Эта теорем» вполне аналогична, а в соответствующей интерпретации тождественна теореме Гаусса о геодезических линиях: если вдоль геодезических линий поверхности, ортогояальных к одной и той же кривой Х, отложить от нх точек пересечения с Ь (в одну и ту же сторону!) дуги одинаковой длины, то концы этих дуг лежат на кривой Ь', ортогональной к тем же геодезическим ливням. Вообще задача определения траекторий точки, движущейся по плоскости (в, у) в силовом поле, заданном функцией Ь» (в, у), и задача определенил геодеаических линий на поверхности с соответствующей метрикой равносильны. Это сопоставление восходит к Якоби и указано В его «Лекциях по динамике». А именно, как видно из изложенного, надо аадать метрику в виде о!т» = 2 (У + Ь) (<гхэ + о>уэ), что дает конформное отображение плоскости (в, у) на поверхность с элементом длины й«.
Определение траекторий совпадает с определением линий, для которых 6 ) й» =- О, т. е. с определением геодезических линий многообразия, метрика которого задана согласно (а). »«Е. В е 1 < г а т !. Зп!1а <еопса кепега1е йе1 рагатегп' й(1- !егепя(аВ, Метопе йе11'Ассайеэпа й. яс(. йе!1'!я!1!э<о й1 Во!одна, 8, (яег. 2), 1869; Ореге, ч. 1.
Вота, 1901. " В. Ь ! р яс Ь1 < з. Оп<егяпсЬ»пя е(пея РгоЫетя й. Чаг(аМопзгесЬпнпй.— 1опгпа! Сге!1е, ч. 74, 1871. " О. П а г Ь о и х. Ьеропя япг 1а <Ьеог>е йепега1е йез япг1асея, ч. П. Раня, 1888. ««Там же, кн. Ч, гл. ЧШ, стр. 526 — 527. »' 1окгпа1 Сге11е, ч. 4, 1829. (Русск. перев. см. в сб. «Вариационные принципы механики». Под ред. Л.
С. Полака. М., 1959; «Дополнения» к «Аналитической механике» Лагранжа, т. 11. М., 1950, «Дополнение Ч11>н ЯЬ Бертран. Об одной теореме Гаусса). " ЯЬ Л. Л а г р а н ж. Аналитическая механика, т. 11. М., 1950, стр. 411. "Их анализу посвящена работа: В. Ь» р яс Ь» ! г. Ветег>«ппйеп яп йет Рг1эМр йез Ыепж<еп Евапйез.— 1опгпа1 Сге1!е, ч. 82, 1876.
В пей, в частности, отвергаетсп то толкование принципа, которое дал Э. Шеринг (Е, ЗсЬег!пд. АЬЬ»пй!пп8еп й. СочИпдепег «ч(язепзсЬ. Оеяе!1ясйаБЬ >«( 18, 1873). »» Эта аналитическаи формулировка, по-видимому, впервые встречается у К. Шеффера (К. Б с Ь е 11 е г. 2е!сясЬг!11 1. Ма!Ь., Вй. 3, 1858).
»' О работах по принципу Гаусса см.: Л. С. П о л а к. Вариационные принципы механики. М., 1960, стр. 295 — 300. »' Зто оценка К. Ланчоша (К. Ь а и с к о в. ТЬе чапаНопа1 рппсгр1ея о1 МесЬап1св. Тогоп!о, 1949, р. 110). Механика и физика ' Р. Б. 1 а р 1 а с е. Мешо(гея йе 1'Асайеш(е й. яс!. йе Рапя, 1782 (изд. в 1785 г.). » Б. О.
Р о г я я о и. ВиПеНп йе 1а Бес!е!е рЫ1ошах!иие, ч. 111, 1813. ' Б. О. Р о ! в в о и. Мешо1гея йе 1'!пах!!Ые йе Ргапсе, ч. ХН, 1811. ' М. В. О с т р о г р а д с к и й. Заметка об интеграле, который встречается при исчислении притяжения сфероидов. — Полное собрание трудов, т. 1. Киев, 1959, стр. 46.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
