Погребысский И.Б. К истории механики XVIII столетия. Эйлер как механик (1124056), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Отметим, что этот анализ Эйлера содержит длн того времени немало нового математического материала. Особый интерес представляет анализ Эйлером того случая, который отвечает по современной терминологии изгибу тонкого стержня с шарнирно закрепленными концами. Как и в других случаях, Эйлер исходит из нелинеарнзованного дифферегщиального уравнения. Это уравнение является аналогом уравнения для конечных колебаний математического маятника — первый пример аналогии Кгирхгофа.
С помощью бесконечных рядов Эйлер доводит свои вычисления до когща. Мелгду прочим, оп получает такую зависимость между длиной стерлснгг 1, величиной приложенных к концам стержня равных менгду собой сил Р и максимальным прогибом (в середине стержня) 1 Ь Р ~ + 2) 4/"У +(2 4) (4и!) + (в этой формуле жесткость стержня Е1 записана в современных обозначениях).
К этой формуле мы еще вернемся. " Упругая кривая (этот термии Эйлер позаимствовал у Я. Берлулли) — ось тонкого упругого стержия в состоянии равновесии, к концам которого приложены изгибающие усилия. Кроме того, Эйлер выводит дифференциальное уравнение для поперечных колебаний стержня и рассматривает четыре типа колебаний соответственно таким краевым условинм: 1) оба конца свободны; 2) оба конца закреплены; Э) один конец свободен, другой — зажат; 4) оба конца зажаты. Это те четыре случая, которые раньше проанализировал Д. Бернулли.
Последний был очень оорадовап тем, что Эйлер другим методом пришел к таким же результатам. Чуть ли не через тридцать пять лет Эйлер дополнил свой анализ ". Во-первых, он рассмотрел еще два типа колебаний, которые отвечают краевым условиям: 5) один конец свободный, другой закреплен н 6) один конец закреплен, другой — зан«ат. Во-вторых, он детально разо- орал те трансцендентные уравнения, из которых определяются периоды сооственных колебаний. Неоднократно возврагдался Эйлер и к задаче о продольном прогибе стержней. В работе «О сиче колонн» '", напечатанной в 1759 г., он ставит задачу определить наименьшую силу, под действием которой изп«бается вертикальная колонна, когда зта снча приложена к вершине параллельно оси колонны.
Здесь Эйлер лннеаризует дифференциальное уравпеЕ1 ние — + Ри = О (Е, 1, Р. р имеют тот же смысл, что и вьппе, и означает прогиб в произвольной точке стержня с координатой я; ось х направлена по вертикали). Положив 1/р=Уг/«)х», он приходит к хороню известному теперь уравнению 13) Е7 — '„+ Ри = О, которое он интегрирует при краевых условиях: в=О при я=О и при х=1.
Таким образом он получает' формулу для «зйлеровой критической силы» , Е7 ви — ° ««Е. Еи1«г. 17е шо«и г)Ьгаюгю 1виииапна е1авпсагюв иЬ1 р1игев ао«ав,.— «)«о«ч Сошш. Асай. вс, Ре«гор.», «. Х«'11 (1772), 1773; 1птевбдайо шо«ииш ои1Ьив 1аш1иаи...— «Ас«а Асай. вс. Рв«гор.», Ь 3 (1779), 1782.— Орега Оши!а, вег. П, ввс. 1, г. Х1. " б. Еи«ег. Биг 1в 1огсе йев си1оиивв.— «Мвию1«вв Асай. вс. Вв»11и», 1739, Ь ХП1.
41 Эйлер отмечает здесь тот парадоксальный вывод пз линейной теории, будто бы критическая сила может вызывать прогио любой величины. З действительности же, чтобы найти зависимость между прогибом и силой, когда Р~Рмо необходимо обратиться к нелинейной теории, которая дает приведенную выше формулу (а). Если ввести 2 в эту формулу критическую силу Р„в= я' —, н ограничиться первыми двумя членами ряда, приходим к такой приближенной формуле: 2 «'2.к/ л- (7) -= — ~/ — -$ л 1~ Н„ Если уточнить этот результат с помощью (а), то следую|цим приоляжением будет (б) — '= '~'1, — ' — ~~4 — ф( —,, — 1)~.
Формулу (т) независимо от результатов Эйлера получил Р. Мизес, исходя из упрощенного, но нелинейного варианта уравнения (р). По когда С. П. Тимошенко использовал метод Мизеса, он нашел для следующего приближения 2 р"2 у'=' 1(2 4 ~ " 2)) (подробно об этом — в содержательной статье Е. Л. Николаи о работах Эйлера по теорви продольного изгиба) ". Работа «О силе колонне заканчивается анализо|и случая, когда првнямается во внимание еще и собственпып вес колонны. Эйлер находит дифференциальное уравнение равновесия в виде Ь) —,.+ Ри + д$ — И$ = О, дх« %~ о где д — всо единицы длины колонны (стержня). Дифференцированием Эйлер приводит уравнение к виду ~«и ои ЕУ „—, + (Р + дх) — „= О.
" Сил Е Л Николаи, Труды но механике. М., Гостехнздат, 1955. 42 Ногда спустя примерно двадцать лет в работе «Опре. деление нагрузок, которые в состоянии выдержать колон- ны» («Асга Асай. зс. Реггор.» (1778, рагв 1), 1780) Эйлер применил это уравнение даже в упрощенном виде, по- лагая Р=О, он натолкнулся на трудности. Кму надо бы- ло удовлетворить таким краевым условиям: е«» ИЪ и=О, — =О, о=О, —,=О, Йх» ' ' ~х« «=О х=-О х=! х=!, интегрируя уравнение е Он находит интеграл этого уравнения в виде бесконечного ряда, что удовлетворяет краевым условиям при х=О Не обращая внимание на условие дд»и/сдх«=0 при х=1, он хочет удовлетворить условие дд=О при х=1; таким образом, ! должна быть корнем уравнения 1 д «147«д» «147 д де (з) х — — —,х + — ( — ) х — — — х + ° ° ° =О.
41 Е! 71 1Е! ) 10! Е! Но здесь выясняется, что уравнение не имеет действительных корней. Этот парадоксальный результат Эйлер проверяет в работе «Рассмотрение достопримечательного парадокса в теории колонн», нанечатаяной вместе с предыдундей. Гго графическое исследование неприятного уравнения (з) только подтверждает, что оно не имеет действительных коряей; его механические соображения показывают полную неприемлемость такого результата, так как нз него вытекало бы, что колонна любой высоты — устойчива. Правильное решение Эйлер находит в третьей работе «О высоте колонн, изгибающихся от собственного веса» ", которую он опубликовал в том же самом томе «Асга», где помещены две предыдущие. Здесь оя указывает, что " !.
Би1«п 17е а111дп41пе со!пдппагпш зпЬ ргорг1о ропйеге сеггпеп11пш.— «Асда Асай. зс. Редгор.», С. 3 (1779), 1782, «для правильного рассмотрения нашего вопроса начальное положение колонны... нуекно принять не таким, как мы это раныпе делали., А именно, кроме влияния веса мы доллены допустить существование приложенной к верхнему концу А колонны некоторой горизонтальной силы; она постоянно будет удерживать точку А на той же вертикальной прямой. Легко также понять, что нельзя определить величину атой силы прежде, чем будет доведено до конца все вычислением Исходя из такой постановки задачи, Эйлер нашел правильное уравнение х Е1 — + ~ д$ — д~ — АЕх = О Лхз ) еГ$ о или Е1 — + Чх — = де, ..
«»» «» еЕх» их где Х означает величину наперед неизвестных горизонтальных реакций, которые должны быть приложены к концам колонны (стержня), чтобы зги концы остались на первоначальной вертикали. Эта дополнительная неизвестная АЕ вместе с тремя произвольными постоянными общего интеграла дает возможность удовлетворить всем четырем краевым условиям.
Теперь Эйлер блестяще доводит до конца решение задачи. Лишь арифметическая ошибка, которую исправил только в палеем столетии А. Н. Динннк, не позволила ему найти точное значение критической высоты. К упомянутым работам нужно еще добавить исследование Эйлера, которое относится к теоретической акустике,— о колебании струн, мембран, пластин (в последнем случае Эйлеру не удалось получить правильные уравнения). Это отдельная и важная тема. Большое значение имели акустические работы Эйлера и для физики н для теории дифференциальных уравнений с частными произВодееьеми.
Из нашего изложения, конечно, видно, сколь оно неполно и как трудно охватить все колоссальное наследие Эйлера в области механики. Но некоторые выводы мы имеем право сделать. И первый из них, который мы пытались выше обосновать: заслуги Эйлера в механике не оценены должным образом. Кое-что стало настолько оче- видным и общеупотребительным, что автором никто пе интересовался. Другое же еще настолько опередило свою эпоху, что о нем успели забыть и потом снова открывали и связывали с новыми именами. Но теперь можно сказать (и это второй и последний вывод), что вклад Эйлера в механику эпохи, охватывающей примерно время от «Начал» Ньютона (1687) до «Аналитической механики» Лаграннга (1788), по меньшей мере равен созданному всем»« остальными учеными этой эпохи вместе взятыми, а среди нпх такие, как Я.
Бернулли, И. Бернулли, Клеро, Д. Бернулли, Даламбер! О МЕХАНИКЕ ЛАГРАНЖА И О ЕГО «АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ» Оригинальность «Аналитической механики» Жозефа Луи Лагранжа, первое издание которой появилось в 1788 г., в целом, а также значительность приведенных в ней результатов оценивали по-разному; восхвалениюэтого произведения в работах по истории механики Х1Х в. можно противопоставить критические отзывы К. Трусделла ". Критика Трусделла относится не только к «Аналитической механике» Лагранжа, но и ко всей деятельности Лагранжа-механика.
Так, в статье Трусделла мы читаем; «В конце столетия (восемнадцатого.— Н. П.) существовала удручающая тенденция обходить фундаментальные проблемы как в механике, так и в чистом анализе. Вопреки великой традиции, установленной Яковом Бернулли и Эйлером, этот формализм быстро развивался во французской школе и нашел свое выражение в «Аналитической механике». Многие неверные суждения историков и физиков о науке восемнадцатого столетия порождены нежеланием разглядеть за «Аналитической механикой» великий труд Эйлера и братьев Бернулли, о которых и не упоминают. Как следует из ее названия, «Апалгтическая механика» не трактат по теоретической механике, а скорее монография об одном методе вывода дифференциальных уравнений двин.ения, монография в основ- '" С, Тги«Ы«И.
А ргодгашш го»«агг1 сей«со«ег1пя «Ье га«1опа1 гпеспап1се о1 ГЬе аде о1 геаеоп.— «Агс1пте 1ог 1г1««огу о1 ехасс ес1епсеа», 1960, т, 1, р. 3 — 36. .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
