Погребысский И.Б. К истории механики XVIII столетия. Эйлер как механик (1124056), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Сначала Эйлер исходит непосредственно из уравнений (Ь). Так, с помощью линейной комбинации этих уравнений он находит Йэ = ю" й сояясоь~ЗсояТ+ (С вЂ” В) (Л вЂ” С~ ( — А) +„,~ -" Е- ~, н...,~ +й А + В т С Но дальше он обращает внимание на то, что уравнениям (6) можно придать значительно более простой вид, если перейти к величинам р= — юсов а, у=юсов р, г=юсоя т — составляющим угловой скорости в системе централь- ных осей инерции.
Так впервые появляются эйлеровы уравнения движения твердого тела вокруг точки Р = А — „+(С вЂ” В)сг, Ыг гп (с) ч.= — '~ -~-(А — С)гр, В=С вЂ”,+( — А)рд. Нг Их автор подчеркивает значение своего открытия, указывая, что «итог всей Теории Движения твердых тел содержится в этих трех достаточно простых формулах».
Вместе с тем выявляется потребность использовать подвижную систему координат, неподвижно связанную с телом,— систему его главных осей инерции. Введение подвизкного трехгранника было важным этапом как в развитии механики, так и в развитии геометрии. В связи с этим Эйлер ввел различные способы определения положения подвил ной координатной системы относительно неподвижной, в частности названные его именем углы. В этих исследованиях Эйлера важное место занимают методы сферической тригонометрии, в которую он внес значительный вклад.
Самое важное применение уравнений (с), которое Эйлеру удалось продемонстрировать, — решение с их помощью задачи о вращении твердого тела вокруг точки, по инерции. Заканчивая на этом краткий, далеко пе полный обзор «Теории движения твердых теле, отметим несколько работ Эйлера, которые были основными предспественниками этого классического трактата. Это 1) уже неоднократно упоминавшаяся работа «Открытие нового принципа механики» (1750); 2) «Исследование о механичоском познании тел» (1758; напечатано лишь в 1765 г. в Х)'сг томе цитированных выше «Мемуаров» Берлинской академии наук); 3) «О вращательном движении твердых тел вокруг переменной оси» (опубликована в том же году и в том же томе, что и предыдущая работа; содержит полную теорию моментов инерции); 4) «Исследование о вращательном движении небесных тел» (1759; напечатано в тех же «Мемуарах», т.
Х47, 1766); 5) «О движении произвольного твердого тела, когда оно вращается вокруг подвижной оси» (1760; напечатано в «Мемуарах», т. ХЪ'1, 1767), Все работы тесно связаны с исследованиями Эйлера по небесной механике, в частности с работами «Исследование о прецессии и о нутации земной оси» (1749) и «Замечание о суточном движении планет» (1758). Первая из них напечатана в 1751 г. (У том Берлинских «Мемуаров»), вторая — в 1765 г. (Х147 том). В свою очередь, эти исследования, особенно работа о прецессии и о путации земной оси, имеют связь с известными исследованиями Даламбера на ту же тему (1749) "'. Подытожить свои гидродинамические исследования в форме трактата Эйлеру не удалось. По крайней мере не удалось издать такой трактат отдельной книгой, но фактически он его писал в форме четырех больших мемуаров, напечатанных в 1768 †17 гг. "" В них рассмотрены соответственно гидростатика, гидродинамика, гидравлика, акустика.
Это систематизированное и дополненное изложение предыдущих исследований Эйлера в соответствующих областях. Здесь более полно разработана ки- " Все этя работы Эйлера яаиясаяы по-франяузскк. " )зол сошшежагй Асаб эс. Ре«гор., С. 13 (1768), р. 305 — 416; С. 14 (1769), р.
270 †3; С. 15 (1770), р. 219 †3; С. 18 (1771), р. 281— 425; Орега Ошл!а, еег. 11, ч, ХШ. 37 нематика жидкостей, больше внимания и значения придается субстанциальным уравнениям движения, рассмотрепо потенциальное движение слсатой жидкости, точно очерчено соотношение теории и практики в гидромеханике. Немало страниц етого первоклассного сочинения читаются сегоднн так, как будто они написаны нашим современником.
Именно поэтому современники Эйлера не имели возможности правильно оценить и использовать зту работу. О пей быстро забыли и почти не обращались к ней, хотя в 7806 г. гидравлик Брандес издал ее на немецком языне, тщательно отредактировав, с пояснениями, с новейнгими цифровымн данными и т. д. Исследование по механике системы материальных точек и теории упругости Хотя Эйлер в большой программе исследований, начертанной в «Механике», недвусмысленно поставил своей целью последовательное изложенне механики системы точек (и тел) и отдельно — изложение механики упругкх тел, он за осуществление этого замысла дахге н пе брался.
Это не значит, что ок не занимался этими областями науки: на протяженни всей научной деятельности Эйлера мы насодим у пего работы, связанные с двумя указанными разделами механики. Очевидно, по мысли ученого, здесь было еще слишком мало сделано, чтобы оказалось возможным систематизировать материал в форме трактата. И действительно, в снстоме мехашгки чувствовалась недостаточная разработанность соответствующего математического ашгарата — в основном в теории систем дифференциальных уравнении; в теории упругости нн Эйлеру, ни кому-либо другому из ученых ХУИ1 в.
не удалось преодолеть енедостаточность прннципова — вывестн общие уравнения статики п динамики упругих сред. Этого пришлось ждать после смерти Эйлера еще почти полстолетия. Для механики системы наибольшее значение имеют исследования Эйлера, посвященные задаче трех тел. Вопределенпой мере опи суммированы в работе '1763 г." " б. Ежес Сопе1еега11опе зш 1е ргоЫете йее гго1е согре.— <Мешо1- гее Аеас. ес. Вег11п °, ю 19 (1763Б 1770. Здесь дается обзор полученных к тому времени результатов, в частности выводятся все «классические» интегралы задачи. Необычайную аналитическую проницательность Эйлера еще раз подтверждает тот вывод, к которому оп приходит после попытки найти новыс интегралы задачи; «Метод, которым я здесь воспользовался, чтобы найти такие комбинации основных уравнении, которые приводят к интегрированию равенств, представляется полностью исчерпанным; следовательно, нужно искать новые пути».
Поэтому Эйлер ггрименяет методлку, к которой следует, по его мнению, обращаться в таких сложных задачах,— пачинает с рассмотрения простейшего случая: прямолинейного двинсения трех тел, взаимно прнтягпвающнхся по закону Ньютона. Исследование прямолинейной задачи трех тел Эйлер продолжил в работе !765 г., напечатанной в Х! гомо «Лот! Сошш. Лсаг!. яс, Ре«гор.м Как указывает проф. М. Ф. Субботин, Эйлер, а не Якоби вводит в рассмотрение так называемую ограгпгченную задачу трех тел в работе «О различных родах движения, которые могут иметь место в спутниках планет» '".
Одним из самых больших достижений Эйлера в механике вообще было решение задачи о движении точки под действием притяжения к двум центрам. Трн работы Эйлера, относящиеся к 60-м годам Х17П! столетия, трактуют эту задачу, правда, еще не совсем в общей постановке: рассматривается только плоское движение. Это ограничение устранил Лагранж в работе, которая непосредственно примыкает к упоминавшимся работам Эйлера. Ни Эйлер, нн Лагранж пе имели в своем распорявгении аппарата зллиптических функций, с помощью которых впоследствии ученые смогли детально исследовать зту задачу.
Первая печатная работа Эйлера, имеющая отношение к теории упругостгг, появилась в !740 г. Но ее результаты — только незначительная часть того «Дополнения !. Об упругих кривых» к знаменитому трактату Эйлера о варнацнопном исчислении, о котором мы уже упоминали. В истории теории упругости зто «Дополнение» занимает почетное место. Исходным в исследованиях, изложенных в «Дополнении», является утверждение Д. Бернулли, что для упру- " Ь.
Ьи!ег, 17« хяг11» шогггввг 8«пег1Ьггя гги1 Ьг 8««е!1111Ьггя р1«зыагвш 1осиш ЬаЬеге роямшх — «Асга Асаг1. яс. Ре«гор.» (рагя 1, 17801, 1783, р. 255 — 279. 39 45 гой кривой ) —., есть минимальнык (этот интеграл ) Иа определяет по терминологии Д. Бернулли и Эйлера чгв ройепйа1!з — потенциальную силу; да — дифференциал дуги, гг — радиус кривизны).
Отсюда Эйлер с помощью своих методов получает дифференциальное уравнение кривой в декартовых координатах (х + Зх + уха Их пр = ФГ аа — [х + Эх+ т. 2)а р"оа (х .) й . тиар Га, п, р, )' — постоянные). Далее он анализирует, какие кривые отвечают этому дифференциальному уравнению, находит девять типов таких кривых, среди них — те, которые были раньше найдены Я. Бернулли.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
