Погребысский И.Б. К истории механики XVIII столетия. Эйлер как механик (1124056), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Во всяком случае, Трусделл па основе внимательного ознакомления с литературой эпохи утверждает, что пмеппо в этой работе Эйлера содери«ится первая общая формулировка «ньютоновых уравнений». При этом «Эйлер не претендует на то, что уравнения новы, а на то, что он первый установил их общность, в применении к элементу объема, для всех типов тел».
Уже в следующем поколении это казалось настолько само собой разумеющимся, что стало безымянным. Лагранж, указывая на Маклорена, не вспоминает Эйлера, когда пишет: «Этот прием составления уравнений движения тела, находящегося под действием каких-либо сил, путем сведения этого движения к прямолинейным движениям, следует благодаря его простоте предпочесть всем другим приемам; поэтому он должен был бы возникнуть раньше других.
В настоящее время он является общепринятым» ". Но на пути Эйлера было еще одно препятствие. Переход от механики точки к механике континуума его " Ж, Л, Лагранж, Аналитическая механика, т. 1. М,— Л., 1950, с. 293. " Там же. предпгественщки и современники пытались осуществить на основе молекулярных 'представлений. Материальные точки — зто корпускулы (тельца) и центры снл. Иначе говоря, имелп в виду, собственно, не механику континуума, а механику на уровне молекулярного строения вещества.
Для успешного решения такой проблемы в то время не была еще подготовлена почва ни в физике, ни в математике. Огромным достижением Эйлера в математической физике является то, что он смог преодолеть традицию и найти новый плодотворный подход: подход с точки зрения теории поля (по современной терминологии). Такой подход можно заметить и в некоторых работах Эйлера 40-х годов; вполне четко оп выступает в классической раооте 1753 г.
«Общие принципы состояння равновесия лгндкостей» ". В ее первых параграфах (схг. особенно з 5, 8) Эйлер окончательно освооодился от корпускулярной традиции и настаивает на том, что принципы механики нужно применять непосредственно к реальным телам, исходя из непрерывного'распределения в них вещества. В втой коптипуальной модели корпускула становится математической точкой — носителем трех координат,и только. Благодаря такой точке зрения Эйлер смог преодолеть еще один барьер, который не смогли преодолеть его кредшественнпки: представить внутреннее давление жидкости в общем виде, как величину, определенную в каждой точке объема жидкости, и таким образом прийти к действительной системе гидродинамических переменных.
Теперь, наконец, он преодолел «недостаточность принципов»! Его введение к вьппе цитированной работе отражает чувства человека, который после долгих и утомительных блужданий вышел на широкий путь и обрел уверенность в том, что достигнет своей цели. Он подчеркивает, что установленные им принципы сохраняют силу для жидкостей несжимаемых и слгимаемых, когда на жидкость действуют силы тяжести и когда действуют какие-либо другие внешние силы. И он не боится, что его упрекнут в чрезмерной всеобщности. «Я согласеп,— пишет оп,— что часто такая всеобщность скорее затемняет, нежели проясняет, ябо ведет к настольно запутап- " Е.
Еи1»г. Ргпю1реа Лепегаах де 1'ага« д'еса1115ге без 11в15«з.— «Мбвю1гез Асад. ас. Вег1ш», 1755.— Орега Оюв1а, «ег. !1, г. Х11. ным вычислениям, что трудно сделать выводы даже в самых простых случаях», Но «всеобщность, которую я ввожу, не затемняет пам предмет, а открывает действительные законы природы во всем их блеске, и мы находим еще более веские основания для того, чтобы восхищаться их красотой и простотой». Ногда Эйлер инсат эти слова, он уже получил и общие гидродинамические уравнения.
В рассматриваемой работе он ограничивается тем, что (впервые1) выводит общие уравнения гидростатики. Ход его рассунгдений до настоящего времени повторяют в учебниках и на лекциях. Общую задачу гидростатики он ставит так: даны силы, которые действуют на все элементы жидкости, и соотношение, связывающее плотность и упругость жидкости в каждой точке; нужно определить давление в каждой точке жидкости-так, чтобы она находилась в равновесии. С этой целью Эйлер рассматривает элементарный прямоугольный параллелепипед с ребрами йх, йу, йг, направленнымп параллельно координатным осям, одна пз вершин которого находится в рассматриваемой точке объема жидкостн Ь. Пусть д — плотность в точке Л, а Р, (7,  — проекции на координатные оси вектора напряжения поля массовых сил (Эйлер говорит, что рассматривается «ускоряющая сила», приложенная к элементу жидкости) .
Таким образом, к параллелепипеду приложена «движущая сила», имеющая составляющими: Рдйхйуйз, Яйхйуйг, ггдйхйуйг., Пусть р — неизвестное давление в точке А. Это — функция координат х, у, з точки Ь; таким образом, йр=Айх+Мйу+Лйг. Рассматривая, как это делают до сих пор, разности суммарных давлений на грани параллелепипеда, Энлер выводит общие условия равновесия Л=Рд, М=с1д, Л=Лд. Далее он демонстрирует некоторые применения этих уравнений, в частности, останавливается на следствиях того, что Ь, М, г«являются первыми производными однойи той же функции.
Непосредственным продолжением рассматриваемого мемуара был мемуар «Общие принципы движения жидкостей» " — работа «настолько совершенная, что в ней не " 7. Е»1«г, Р»1ас1рез левегаох йп шоетеюеп1 оез 1!и1йеа.— «Мелю!гее Асаб. ес. Ве»11в», 1755.— Орега Оюша, зег, 11, ». ХП. 25 устарела ни одна строчка» (Дюга). Основное ее содержание вошло в курсы механики полностью, только в некоторых пунктах изменена форма изложения. В этой работе видим четкое разграничение кинематической части от динамической.
Начальное состонние жидкости, которая может быть сжатой и неоднородной, считается заданным, т. е. для определенного момента известны положения и скорости всех частиц жидкости, известны также внешние силы, приложенные к жидкости, Задача ставится следующим образом: в каждой точке жидкости и для каждого момента времени 1 определить давление, плотность и скорость элемента, который проходит через эту точку. Сначала идет чисто кинематическое исследование (у всех предшественников Эйлера в этой области кинематические и динамические вопросы не выделялись, что усложняло формулировку исходных положений и само исследование).
Эйлер вначале получает «очень важное соотношение, которое вытекает из непрерывности жидкости» дд , дд , ду дд ди д» вЂ” +и — + — +ю — +д — +~ — +д — =Э, д~ дх ' ду д» ' дх ду д» где и, и, и и д соответственно компоненты скорости и плотности элемента жидкости, находящегося в момент времени» в точке 7(х, у, г). Соотношение это можно записать более просто —, -г. — (ди) + — (до) + — (нн) = й, ду, д д д что для случая несжимаемой жидкости сводится к д» ди. +..
д1 ' д1 ди ди ди ди — +и — +н — -(;ю —, д~ дх ' ду ' дх 29 Далее идет вычисление ускорения элемента жидкости. Сравнивая скорость в точке Я, которая определнет положение этого элемента в момент 1, со скоростью в точке Я', где элемент жидкости находится в момент ~+гм', Эйлер сразу получает выражение для компонентов ускорения Теперь ему остается ным от нуля в случае 1 дг Р— — —, д дх' приравнять эти выражения отличдвижения разностям 1 др 1 др 0 — —— 77 — —— д ду' д дз »' В.
Ео1«г. Сопйппа«1оп йев гесЬегоЬев впг 1а «Ьеоьйе йп шоптешеп$ йев 11о1йев.— «Мешоггев Асай. вс. Вег11п», 1755.— Орега Ошп1а, вег. П, ч. ХП. " Еще в предыдущей работе Эйлер писал: «Еслн нам не дозволено дойти до полного повнания движения жндкаотей, то причина этого лежит не в механике н не в недостаточности пзучепных принципов движения, а в том, что сам Анализ нокндает здесь нас...» 30 1Р, ф тг — компоненты «ускоряющей силы» внешнего, — 1/д.йр/йх, ...— компоненты «ускоряющей силы» внутреннего давлении), н он имеет три гндродинамических уравнения.
Эти три уравнения вместе с уравнениями непрерывности (которые здесь появляются впервые в общем виде) и уравнением, которое связывает упругость р, плотность о и еще одну величину с (Эйлер вводит ее для характерглстнки теплового состояния жидкости!), «охватывают всю теорию движения жидкостей», как пишет ученый. В этой замечатольнвй работе Эйлер исправляет допущенную раныпе им и Даламбером ошибку: будто бы при движении жидкости обязательно должен существовать потенциал скоростей. У Эйлера этого термина нет, а есть «функция усилий». Он приводит два примера движения жидкости, когда нет потенциала скоростей.
Один нз этих примеров — простое вихревое движение. К последней работе Эйлер написал «Продолжение...» ", напечатанное в том же знаменательном для гидромехапнки 1755 г. Здесь он хотел применить свои общие уравнения к практически важным задачам. Хорошо пониман, сколь болыпие аналитические трудности стоят па пути", он обратился к рассмотрению частных случаев.
В одномерном случае Эйлер дает теорию движения сжатой жидкости в трубах; из его теории следуют результаты Д. Бернулли для несжимаемой жидкости. При рассмотрении плоского движения ему приходится вводить ограничения— допустить существование потенциала скоростей. Это позволяет ему снова прийти к результатам Клеро и Даламбера. Он подчеркивает важность для этого вопроса комп- лексных величин, введенных Даламбером. Далее Эйлер делает «героическую попытку» (Трусделл) проинтегрировать свои общие уравнения для несжимаемой жидкости. Только отдельные выводы были результатом этих попыток, но потребовалось еще более ста лет, чтобы снова их открыть, так как эту работу Эйлера остювательпо забыли; и это не удивительно: математики не могли продвинуться далыпе с помощью анализа, а общность трактовки и сложность математических средств были чрезвычайными для инженеров и механиков того времени.
Напомним кратко еще о некоторых гидродинамических результатах Эйлера, полученных в эти годы. В работе 1756 г. «Разъяснение относительно сопротивления жидкостей» рассматривается сложнейшая проблема гидродинамики. Эйлер в физической постановке вопроса далеко опережает свое время; его исследование не оказало влияния и было забыто. Л в работе очень четко показана неприемлемость ньютоновой аналогии сопротивления жидкостей с соударением твердых частиц, указаяо на значенке кормовой части твердого тела для величины сопротивления жидкости при движении в пей тела, на влияние стенок канала на величину сопротивления, на явление кавитации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
