Погребысский И.Б. К истории механики XVIII столетия. Эйлер как механик (1124056), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Эйлер указывает также своеобразный «полуобращенный метод» решения п«дродипамических задач. Подобные методы начали применяться в гидромеханике только в последние десятилетия. Важное дополнение к изложенным выше результатам сделал Эйлер в 1760 г.
в связи с акустическими исследованиями и своими и Лагранжа: он выводит новую систему гидромеханических уравнений — субстанциональную, которую потом без всяких на то оснований начали»»взывать именем Лагранжа. От рассмотренной выше работы «Открытие нового принципа механики» идет еще одна линия исследований Эйлера, которые относятся к 50-л~ годам — по динамике твердого тела.
Те принципиальные упрощения в трактовке механики континуума, к которым пришел Эйлер в эти годы, были основой его успехов п в этой области. Их итоги находим в знаменитой «Теории движения твердых тел» (1760). Поэтому об этих исследованиях речь пойдет в следующем разделе. Но и этим не исчерпывается деятельность Эйлера в механике в 1736 — 1760 гг. За это время он написал не- 31 сколько исследований по теории упругости, которые рассмотрим в последнем разделе статьи. В связи с работами Мопертюи Эйлер впервые дал точную математическую формулировку принципа наименыпего действия в механике точки.
Существенное значение имели его работы, идейно свнзанные с так называемым петербургским принципом и принципом Даламбера". Два тома его «Морской науки» "' содержат много нового, для своего времени, материала по механике. Это сочинение Эйлера, по нашему мнению, и до сих пор не получило надлежащей оценки, но, как хорошо известно, ему принадлежит почетное место и в развитии динамики твердого тела и в развитии теории устойчивости ".
В эйлеровом переводе «Баллистики» его критика Робинса, что являлось, собственно, вовой книгой благодаря комментариям и дополнениям Эйлера, находим «парадокс Даламбера» до Даламбера и другие важные вклады в механику жидкостей и газов. Из-за недостатка места мы оставляем в стороне все этн важныЕ работы Эйлера. «Теория движения твердых тел». Последние гидродияамичесние работы Эйлера В «Теории движения твердых тел» Эйлер подвел итог многолетних исследований по другому пункту своей обширной программы, которые он начал еще тогда, когда писал «Механику».
В двух томах «Теории движения» имеем в уточненном и систематизированном виде то, что ранее было изложено в отдельных мемуарах и, между прочим, в некоторых разделах предшествующих монографий, В дальнейшем, говоря о содержании «Теории движения», мы укажем на те этапы, которые должен был пройти Эйлер, прежде чем стать автором этого прославленного произведения, '"' Смз Л, С, Фдеатвая.
О петербургском принципе н принципе Даламбера.— «Труд»» Ия-та истории естествознания н техники», т. 19. 1957, с. 544 †5, особ, 558 †5. " Ь. Еи1«г. Бс1еп11а па»а11» веп Тгас1атпв Йе соп»1гпепйв ас йг1- кепйв пат1Ьпв, рагв ргюг, р. 1 — 444, рвгв ровгегюг, р. 1 — 534. РеггороИ, 1749. з' 1Х, Л. моисеев. Очерки развития теории устойчивости. 1949, с. 205 †2. Первые шесть разделов «Теории движения»" составляют «введение, которое содержит яеобходимые пояснения н дополнения о движении точек», Это переработка и дополнение вступительных разделов «Механики».
В них отражена эво:поция некоторых методологических взглядов Эйлера, но на этом мы здесь останавливаться не будем. В соответствии со взглндами, изложенными в упомянутой выше работе «Открытие нового принципа механики», универсальное значение отводится второму закону Ньютона, который дает дифференциальные уравнения движения в проекциях на оси неподвижной декартовой системы координат. Немало внимания уделено подбору системы единиц для измерения основных величин.
В этом вопросе, как и во многих других, находим существенные упрощения и дидактические усовершенствования по сравнению с «Механикой». Дальнейшие разделы содержат то, что мы теперь называем геометрией массы. Вначале даются определения центра масс или центра инерции твердого тела (Эйлер обращает внимание на то, что этим терминам надо отдать предпочтение перед термином <центр тяжести») и способы его определения. Потом излагается теория моментов инерции. Почти все, что тут изложено, является личным достижеяием Эйлера. Сооственно, мол«енты инерции относительно определенной оси встречаются до Эйлера, например у Гюйгепса при рассмотрении физического маятника и у Даламбера, но соответствующее понятие у предшественников Эйлера не выкристаллизовалось в нечто самостоятельное.
С другой стороны, единственное, что было добавлено в этой теории после Эйлера,— это геометрическая интерпретация Пуансо, эллипсоид инерции. Все остальное находим в «Теории движения твер. дых тел», например теорему, которую почему-то называют теоремой Штейнера — геометра Х1Х столетия! После применения общих формул для вычиоления моментов инерции в некоторых отдельных случаях (рассматриваются только однородные тела) получаем подробное решение задачи о вращении тела вокруг неподвижной оси по инерции и под действием силы тяжести.
В связи с этим доказывается существование свободных осей вращения твердого тела и вводится понятие главных " Русский перевод см. в кн, Эйлера «Основы динамики точки». 2 Механика и физика Хчцг а. 3З осей инерции. Последнее также является открытием Эплера. В основном мы находим эти понятия еще в «й1орской науке» (1749). Теперь Эйлер может перейти к рассмотрению движения свободного твердого тела.
Он разлагает это движение на двия ение (поступательное) с центром инерции и на движение вокруг центра инерции — вращение вокруг точки. Это вращение он представляет как вращение вокруг оси, проходящей через центр инерции, направление которой изменяется со временем. Перед ним встает задача дать кинематическое описание такого двия«ения и составить для него динамические уравнения. Бинематические формулы Эйлер вывел еще в работе «Открытие нового принципа механики», о которой мы уже неоднократно упоминали. Там есть выражение для компонентов скорости произвольной точки твердого тела, которое вращается вокруг неподвижной точки, дх ггу ' 'аг (а) — =- и = дх — гу — = и = гх — рх, — = ру — «7х лг лг лг (х, у, з — координаты точки, г — время р, д, г — угловые скорости тела относительно осей координат).
Дифференцируя эти выражения по времени, Эйлер находит формулы для компонентов ускорения, а также для моментов ускорения относительно координатных осей. Оси координат Эйлер считает неподвижными. Лишь на последнем этапе исследований он смог увидеть, какие упрощения можно получить при переходе к подвижной системе координат. В «Теории движения» исходя из соотношений (а) Эйлер ставит вопрос следующим образом: дана угловая скорость «о вращения твердого тела вокруг оси, проходящей через центр инерции тела (1) и образующей углы а, р, 7 с центральными главными осями инерции, которые приняты за оси координат; какими должны быть компоненты Х, У, х сил, приложенных к элементу тела массы аглл, которое аанимает положение, определенное точкой (х, у, з), чтобы за время ггг ось и угловая скорость вращения получили заданные изменения ггсг, ар, гг7, ага»? В связи с тем, что в соответствии с основнылги принципами механики (вторым'законом Ньютона) компоненты искомой силы после умножения на ггг и деления найт пропорциональны (а при соответствующем подборе едпниц измерения — равны) приращениям компонентов скоростей 34 —,...1Р Л'й — = аи,...1, остаетсн вычислить последние.
Переписав ~йя формулы (а) в виде и = в(гсояр — усоя7), и = в(хсоя7 — г соя а), и = в(у соя и — х соя р) и приняв во внимание, что Йа = ий = вй(г соя р — у соя 7), Ыу = пй = ..., Иг = шй = ..., находим аи = Йо (г соя р — у соя 7) — в (г я]п р а3 — у я[п 7 а7) + + в'й(у соя асов 3+ г сояасоя7 — хя]пга); Й = Йо(хсоя7 — гсояа) — в(хя1п707 — гя1пайг)+ +вгй(гсоя[3соя7+ хсоя[3сояй — у я[па[3); Йа = Йо(усояа — хсоя3) — в(уя1п ада — х я1п 3Н3) -1- -]- ва й (х соя 7 соя а -]- у соя 7 соя ~3 — г я1пг 7). Далее следует определение моментов ЙР, Щ оВ, приложенных к элементу аМ сил относительно главных центральных осей инерции.
П соответствии с приведенными выше формулами имеем г] Р = — (у Лю — гйг) = Йа [(у + г ) соя а — ху соя [3— Йи 2 2 й — ге соя 7 — в [(у~ + г') я]п а Иа — ху я[п р и†— я[п 7 о7] + О) й [(у — х ) соярсоя7 + хусоя 7 сояа— — уг ьбп'7 — гх соя а соя 3+ гу я1пг р], И~ = ° ° °, ЛВ.= ° Теперь, интегрируя по объему тела, Эйлер находит урав- нения Р = — [АЙо соса — вЛ Ыа я]па+ в' (С вЂ” В) й соя 3 соя 7], И (Ь) Д = — [ВдвсояЗ вЂ” вВс]Зя[пЗ+вг(Л вЂ” С)йсоя7сояа], й В = „—, [СЫв соя", — ~оСЛ7 я1п 7+ в'( — А) й соя а соя р], где Л, В, С вЂ” центральные моменты инерции тела. Последние уравнения позволяют дать ответ на вопрос, обратный приведенному выше: заданы силы, действующие на тело, вращающееся вокруг оси, проведенной через его центр инерции, с угловой скоростью ю; найти, как за время й изменятся положение оси вращения и угловая скорость тела.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
