Федерман А. О некоторых общих методах интегрирования уравнений с частными производными первого порядка (1123902)
Текст из файла
1911. АБХАЗИЯ йЕ Г1пйй1И' РО1У1ЕйП1ЦЦЕ Р1ЕР1 Е 1Е И~аий а Бс. Ре18гзЬоига. Иа1пйша11цпе, цЬУщпе, ас! епсеа па1пге11ея е1 апп11ппйеа, ИЗВМТ1Я Ц(16Ф5кцГЙ6щц60аГЙЯ1)и ~императора ~евра Великаго. й9И. годь. О~АЖЛ~ ~~~Н11~~, ~~~~~П1ЦН~Н1~ 11 1йаИ1П'ОйИ. Т о м ъ ХУ1. Вып. 1. Съ 1 тао.шцей. С.-П Е 'ГЕРБЕРГ 'Ь, 1911 ° О нЪкоторыхь общихь методахь интегрирован1я уравнен1й съ частными производными перваго порядка. А. Федермана. Предислов!е.
Анализь обладаеть рядомь методовь, дающихь возможность интегрировать как1я угодно уравнен!я съ частными производными перваго порядка. Этими методами однако теор1я указанныхь уравнен!й не можеть считаться исчерпаннои; наряду съ ними могуть быть указаны и иные, дающ1е возможность либо освЪтить друг1я стороны разсматрнваемаго вопроса, либо дать болЪе простое рЪшен1е его. Сомнительна, чтобы одинь методь могь обладать безусловнымь превосходствомь надь другпмь во всЪхь возможныхь случаяхь ихъ примЪнен1я; внимательное изучеше этого вопроса приводить наобороть къ убЪжден!ю, что выборь метода должень зависЪть отъ особенностей разсматриваемой задачи и только въ этомь случаЪ мы можемь разсчитывать дать рЪшен!е, свободное отъ излишнихь трудностей. Указанныя соображен1я позволяють думать, что пр1емы интегрирован!я, данные въ предлагаемой работЪ, быть можеть, также заслужившоть нЪкоторага вниман1я, какь примЪнимые во всЪхь случаяхь и приводящ1е весьма часто быстрЪе къ цЪлп, чимь методы, ставш1е классическими.
Работа распадается на двЪ части. Въ первой разсматривается вопрась объ интегрирован1и систсмь линейныхь уравнен1й, прн чемь въ конечномь ре- зультатЪ указывается, что нЪть никакой необходимости въ иъв. свз. затаи кт. зал., т. О. 98 преобразован1и заданной системы въ тождественно замкнутую, что на практикЪ обыкновенно требуеть крайне утомительныхь и часто безполезныхь вычислен)й, Заканчивается теор!я линейныхь уравнен1й рЪшен1емъ одного рода функц1ональныхь уравнен1й, къ которымь приводятся весьма мног1я задачи механики. Во второй части разсматривается вопрось объ интегрирован1и уразнен1й произвольнаго вида и здЪсь дается методь, отличный отъ метода Якоби. Основан1емь его являетсж разсмотрЪн1е извЪстнаго ряда функц1й, образующихь либо группу въ смыслЪ Софуса Ли, либо группу иного рода„ которой дано назван1е группы Вейлера.
Часть первая. Дана система уравнен1й: х,® — Մ— — + х„— + .. + х „- — — о, дт' дт" ду 1 «2 Ф гдЪ Хсо Х„„..., Х„,функц1иперемЪнныхь х„х„... х„. Всякаж функц!я 1, удовлетворяющая етой совокупности уравнен1й,, должна, кань извЪстно, удовлетворять и всЪмь уравнен1ямъ. х, !Х1® — х (х,.!1)) =о, гдЪ ь', д = 1, 2, 3..., )е, (Ъ ( и).
Если Жх®) — Х(Х Ю)=' "'Х (й+Х кеХ!й+" +!''"Х1~). ,гдЪ Л означають функц!и х„х„., х„, то указанную систему 99 ур-ш Клебшь называеть полной системой, а Коркинь 1) замкнутой. Если же Х,(ХВ) — Хг Ю)) = О,. при всЪхь указанныхь значентяхь г' и у', то такую систему Коркинь называеть тождественно-замкнутои; называють ее :еще нормальной системой. ПримЪчан1е.
Нслн въ уравнентяхь Х, (~) = О, Х, (1) = О,..., Хя(Г)=0 всЪ коэффиц!енты постоянныя величины, то такая система всегда будеть тождественно-замкнутой. Каждую замкнутую систему можно, какь показаль Клебшь г), преобразовать безчисленнымь множествомь способовь въ систему тождественно-замкнутую, но простЪйшимь нзъ зтнхь способовь будеть, конечно, рЪшен1е системы Х,(Д = О, Х,(1 ) = О,, Х (! ) = 0 относительно к какихь-нибудь изъ ряда производныхь, д7' д1' дб дв, ' дх~ ' ' ' ' дн„ что, какь извЪстно, всегда возможно; П.
Интегриронан1е тоткдеотненно-эамкнутыхь еи- отемь. Метедь Корвина. Пусть система уравнен1й '1 Коркинь, 0 совокупвыхь уравненпяхь сь частными пронаводными перваго порядка и невоторыхь вопросахь механики. '*) 01еЬас1ь 77еЬег сне егшп1саве 1вгецганоп1шеагег рагыс1!ег Х11Негевыа161егсвнвяеп.
Стене Т. 65 а. 257 — 268, можно привести къ интегрирован1ю тождественно-замкнутой системы Й вЂ” 1 уравнен1й съ и — 1 перемьнными. Поступая указаннымь способомь, мы получимь в — )г интегрзловь предложенной системы. Мы изложили вышеупомянутый общеизвйстный методь интегрирован1я системы лин уравнен)й съ целью освободить его отъ излншннхь затрудпен1й, съ которыми снязыва1оть часто его употреблен1е, какь зто сделано, напр.
вь курс% 6опгза1 '). Другой. методь интегрирован1и тождеатвеннозамкнутыхь еиетемь линейныхь уравнен. Способь интегрирован1я тождественно-замкнутой системы уравнен!й Х,(1) =О, Хг(~) =-О,..., А;()") =О, указанный въ предыдущемь параграфй, требуеть много лишнихь дъйств)11 и можеть быть упрощень. Съ етой цЪлью мы будемь постуиатз такь: Интегрируемь уравнен1е Х, (1')=О, интегралы его назовемь черезь уо и„, у„,; станемътеперь искать такую функц!ю перемънныхь у„у„, у„„ которая будеть удовлетворять уравнен1ю Хв(1) =О, для етого нужно будеть интегрировать уравнен1е О йопгваа у ерове впг 1чпеенгав1оп йев ечпаг1опв апх йег1геев раг ецев йп ргеппег огйе р.
53 — 54. 'б назовемь интегралы его черезь у,', у,',, д'„,; они будуть. выражаться въ функц1и д„д„, д„„а следовательно и въ функц!и жо х„... ж„и будуть удовлетворять уравнен(ямь Х,(О=о и Х,й=-о. ОпредФлимь теперь такую функц(ю перемЪнныхь д,', д,', д'„ „ которая удовлетворяеть уравнен(ю Х Я=О, получимь уравнен1е Хз(У~) д —,+Хз(да) '' +...+Х,(д„з)д-,— = О Легко показать, что Х.(У,) Х,(у,')...., Х,(д'„,) выражаются въ функц!и д,', у,', „д',; въ самомь дал% имЪемь тождества Х,(Х,(й) — Х,(Х,(~)) = О, Х,,(Х,()")) — Х,(Х,(й) = О, вставимь на макото ) функц!ю д',, где я=1,..., и — 2 тогда, т.
к. Х,(У,.') = Х, (д, ) = о, получимь Х,(Х,(д!)) =о, Х,(Х,(д))) =-о, следовательно Х, (д,.') будеть интеграломь кань уравнен!к Х, (Г) — О, такь и уравнен1я Х, (7) = О, а слъдовательно Х,(д',) должно выражаться въ функц1и д,', у.,',, д' Интегрируемт. уравнен1е Хэ(д,') —,.+ Хз (д.') —, + . +,Х,(д'. з),д, = О.
~м — 2 1ОЗ интегралы его у,", д,", .'., у"„, будуть интегралами уравттенй) х,в=о, х,(г) =о, х,(д) =-о. ОпредЪлимь теперь такую функц(ю перемЪнныхь д,", д,",, д"„„которая удовлетворяеть уравнен1ю ыолучимь Легко показать, что ~4(У ) ~4(У2 ) ' ' ' ~4 (У 3) будуть функц)ями перемЪнныхъд,",д,",, у"„,; въ самомь )ГЬлЪ мы имйемь Х,(х,(г)) — Х,(Х,(1)) = о, Х ( Х4® Х4( Х~( )) 0> 3(~4в) Х4( 3(й. 01 ! вставивь вмажете Г въ эти равенствад,", гдв з.=1, 2, ° ., ж — 3 и замътивь, что Х, (д,.") =Х,(у,") =-Х,(д, ) =О, получимь Х, (Х,(У,.")) = О, Х, (Х,(у,."))=О, Х,(х,(д.') = О, откуда видимь, что Х, (д,.") будеть интеграломь совокупности уравнен1й Х,(~)= О, Х,(~) = О, Х,(1),= О, а слЬдовательно будеть выражаться въ функц1и д,", у"„, и т. д. Указаннымь путемь мы прндемь къ функн(ямь а-о о;-и и-о у, ~ у, ' у„ , которыя будуть интегралами совокупности уравнен1й Х,()') = О, Х,Ю = — О,..., Х, (У) = О.
гзргг.иврь. Интегрируемь указаннымь способомь тождественно замкнутую систему уравиен1й: Х,(~) =; —,— +(зх,з+х,) — — =О, дб з д)' Эта система дана у 6опгза1 '). Поступаемь по указанному правичу. Хз(1) — — +(, х, + х,) — — О, дг ! з Ихз ИХ, Ю, дя, 1 О О зхзз+ хз у, =х„у, = х„у, = х '+х х — х, дб дг дг дг У ()') = — — х — = — — — у — - = О. дуз ' дуз дуз ' ду, дуз '~уз , муз Г О уз Уз'+2уз Хз + 2х,'+2хзхз 2хз Г 1))=, + (2х,— 2х,) — —,= — — ', = О. ду', ' ' ду', ду,' гз "= дну ') =-.
ф(( " + 2х '" + 2х х — 2х ), гдв ф — произвольная; функц1я. Указанное рв|пен[е проще приведеннаго у 6оцгза3, который рвшаеть систему по способу Майера, считая его простЪйшимь. ') Ооззззаа Ье~опа его,'.. р, '63. 1У. Интегрирован1е замкнутыхь сиетемь. Въ предыдущемь мы показали, кань интегрировать тождественно-замкнутую систему уравнев1й, всякая же замкнутая система можсть быть преобразована въ тождественно-замкнутую. Мы хотимь теперь показать, что такое преобразован1е является излишннмь. Пусть уравнен1я Х,(О.= Хп --„— -+ Մ— +...
+ Х, „— = О, дг д1' д~ образують замкнутую систему. Интсгрируемь уравнеп(е М2 Ю и иусть д„д„, д„, будуть его интегралы. Станемь теперь разсматрнвать 1' какь искомую функц1ю перемвнныхь д„д„, д „тогда уравнен1е Х, (1) = О обратится въ елвдующее: въ настоящемь случаЪ не будуть, вообще говоря, функц(ями однйхь перемънныхь у„у„., у„„въ самомь дЪлЪ х(х(О>-х(ХЮ = >,оохв+ >,оо х(~>+.. +~ о Х,.В, полагая въ этомь равенствъ (=д,, гдв >' — 1, 2..., и — 1, получимь, принимая во вниман1е, что Х, (у,.) =о, равенство Х,(Х(д.>1 — 1.,"'Х (д>+) '"Х.„(у.)+ ..
Характеристики
Тип файла DJVU
Этот формат был создан для хранения отсканированных страниц книг в большом количестве. DJVU отлично справился с поставленной задачей, но увеличение места на всех устройствах позволили использовать вместо этого формата всё тот же PDF, хоть PDF занимает заметно больше места.
Даже здесь на студизбе мы конвертируем все файлы DJVU в PDF, чтобы Вам не пришлось думать о том, какой программой открыть ту или иную книгу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
