Федерман А. О некоторых общих методах интегрирования уравнений с частными производными первого порядка (1123902), страница 3
Текст из файла (страница 3)
получаются изь уравнен1й У", Я=О,, У (1) = О вводя новыя перемЪнныя и выведен1емь изь полученныхь уже уравнен1й перемЪнныхь ур, у'„„, у'„, сь помощью уравнен1й. дд„' ду'„' '"' у ' ду", Число г" совершенно неопредЪленно. Сь полученной системой опять поступаемь указаннымь образомь. 'Изь всего сказаннаго ясно, что мы всегда придемь окончательно къ системЪ й уравнен1й вида — = о, которыя буд~ ду дуть слЪдств1емь данной системы Х, (1') =-О,, Х, О) =- О. Мо2кеть показаться, что предлагаемый способь интегрирован1я замкнутыхь системь неудобень, такь какь надо нЪ- сколько разь вводить вмйсто прежнихь перемЪнныхь новыя и выражать прежн)я черезь новыя, но на самомь дЪлЪ такую замЪну перемЪнныхь обыкновенно достаточно сдЪлать одинь разь, что впрочемь ясно и изь теоретическихь соображен1й, если разсмотрЪть предложенный способь внимательнЪй. 118 Интегрирован1е какихь угодно еиетемь.
Въ предыдущемь параграфЪ мы показали, какь интегрируется замкнутая система уравнен!й х, (~)=о,, х;, Л=о, прп чемь выяснилось, что нЪть никакой надобности преобразовывать эту систему въ тождественно-замкнутую. Мы хотимь теперь показать, что для примЪпен1я вышеуказаннаго метода не надо, чтобы система была замкнутой, она можеть быть совершенно производпной и состоять даже изъ нераеличныхь уравнен1й (т. е.
одно илн нЪсколько ураввнен1й могуть быть слЪдств!емъ другихь). Введя въ произвольную систему уравнен!й Х, (() -.- о, ..., Х, (~) = о новыя перемЪнныя у„у„..., у„, ! у„, гдЪ у„у„, у„, суть интегралы уравнен1я Х, ® =. о, а у„взято произвольно, лишь бы имЪло мЪсто неравенство П (ун ° уи-~ ! уа) Л (х„., х„~, т„) мы преобразуемь указанную систему въ слЪдующую: —. = — о, д( ду„ ~ы (~) ~а Ы д +'"+Х2 (Ув — т) д Уг ~ — 1 ду„ 1; У)=х, (д,) —,'-+...+х„(у„,) „' =о, гдЪ Х,, (у,),, Х,, (у,), вообще говоря, будуть зависЪть отъ всЪхь перемЪнныхь у~ у2 - ~ у ~ ~ у . 119 Изъ уравнен(й У, (~) = О, ...
У„® = О ВЫВЕДЕН1ЕМЪ ПЕРЕМЪнной р„съ помощью уравнен!я — = О„ (3~' дк„ ыы составляемь рядь уравнен)й У, (О=О. У, (('д=о, ..., У, й=о, которыя, вообще говоря, не бучуть слЪдств(емъ уравнен)й У, (~)=о..., у„Ю ==о ( аковыми онЪ будуть, если разсматриваемая система замкнута). Мы получаемь систему — =О, У, Я вЂ” О, ..., У (~) — О. У Д вЂ” О, ..., У ® — О, съ которой поступаемь такь, какь это было указано въ 9 У!. Мы всегда придемь къ нЪкоторой системЪ, состоящей изъ р уравнен1и вида — =О и уравнений ду' ду У ое (~) — О У ~ У' (~) — О У'," (~) = О, ..., У," (~) = о. гдЪ т число неопредЪленное.
Ясли р †.= и, то мы заключимь, что система допускаеть одинь очевидный интеграль — сопвФ, если р < п и выражен)я у,о' ((), -., у," ж. у," В, - у„" В обращаются тождественно въ нуль, то всЪ интегралы въ числЪ и — р опредЪляются изъ системы р уравнен!й вида д! д, Пояснимь сказанное примЪрами. — 23 120 Ъ'111. Х, (~) = 2х, — — + х, ' — — = О, д~ ду Х, ®=х,' — — 2х„, д + (х,'х, — 2хе) д-- — 2х,х,— =О ('у ~! " Ю~2 дхз 4 дх1 дх, дх, Их, дх, О О О 2х, х,' х е — — 2х — — -)-(х ех — 2х ) — + (2х 'х — 2х 'х ) — = О- ду е ду 1 ~ ~ ду, ~ 4 1 ~ ду у, у — — 2у.. — — + (у + у., — иу ) — = О, у1 ду, ду, Выводимь систему др -,-,- уе У (т') = — — — 2 -- — + — ' — — ' —.=О, д1' у, д~ у, + у,' — 2у, дт' ду, у,з ду„ у,' дуе У, ® = — — -+(у,„— 1) — =О, — д1 Ф ду, '" ду, У, (1)= д =О, откуда Ф д~ д1 д1 следовательно ~ = Ф (у ) = Ф (х,'х~ — 'х ') где ) произвольная функц1я, Х (1) = х " — + х х ' — — х - '— + х х — — — х х '- — = О д~, д1,ду е М,д1 дг, ' 5 дх, ~ дхз 1 е дх 1 е дх~ Х, Я =Х~Х~Х,' — — Х,Х~Х,, д +(Х,Хе+ Х~) Хе — + ' Ю~ Ъ2 Э +ххх ' — +хх.' — = О д1, д1' 1 ~ ~ дх 1 е дх ') Оеегеай.
те~еле ейс. р. 69. 121 дхв а~, Х В Х»ХВЗ— дх4 11х» Х1ХВ Х1ХЗ дхз х» в гдЪ вЂ” — — У /(- — '- — '-+1)+ув (у — У.) (' У„ У» (У», У») Приходимь къ системЪ: дд — =О д У» — — 1 — у +1) — =О, »вд дУ У У,, У, 1 дт дУ, вз дУ 1 2 ' 'в /дУ» — д Гвз д~ д~ Т, У')= — "- — -+ув — =О, 1 д д в ду» откуда дт" ду дт ду ду, ' ду ' ду, ' дуз слЪдовательио: у= ф (у ) = ф (Х з + Х в) Хв (~')=Хзхв,~ -Х,хзхв — „— Х»Хв, =О.
'зх (1) — (1+х,) х,х,— — +х,х,х,х,—— 1 »в вдх, — х х 'х — - — х х (1+х — ж ) — = О дУ дт" з 4 двд 1 в з 1 дх » хз 4" хз ихв хз хвх» О х,х,х, х,в; у, = х„у, = х,'-* + х,', у, = х,'х, + х,' ~ у, = х,. — 25 у, =х,' — 2х„у, =х, +х„у,=хв — х„у,=х,'+х,.' ! у,=х, 2Х»хз (1+ Х») д + (хзх, + х»хв+Х») д — — — 2х,хз У1 дуз — у, (у,.' — у,) -, =-О. дт" 122 пелучаемь систему д! — =о ду, Г, И= д — + 2У, д -+ (2+У,') — = О, ду! дУз ' з дУ, У, (~) = 2У4 ~- = о, изъ которой выводимь д~ —,-=о, Ув — -=о дг' ду, д!" дт — + 2У,— —.=О, ду, ' дУв откуда ~=ф (у,— у,') =-ф (х,з — х,'+х,в) 4. Х, (0)=2х, — — х, — +хв — =-О, д~ д/' дг 'дх, здх, вдх, Х Я = 2х,х ' — + х 'х — з- х 'хв —.
= О в д1 з д!' з д!' дх, в ! дх, з " дх Х, (Π— х,х,' — +хзхвхз — + х,х,х„— =О ) «х! «хв охв «хв «хв О 2х, О х, х, пслучаемь систему дз Уз ~з Ф Ув + У Уз + Уз Ув — — О дз" дд( д/' 1 з (!') Ув д + 2УвУзУв ду + 2УзУзув ду'= О Находимь интегралы уравнен(я х", (~) = о, «У! Уз Ув У! Уз О Ув'Уз Уз'У! ' ! з! з ! 3 3! 3 у в 3' з) Ооехваа ! едоаа еве.
р. 60. — 26 128 Предыдущая система обращается теперь въ слЪдуюшую: д~ д1' елЪдовательно ~ = Ф 1дз ', У, ') = Ф ~Х,Х,' — Х,Х,', ~~~'-) Х (1) =х х — + х х — +х.х — — хх — +хх — = О дг' дт д)' дг' дг" 3 4 дх з 4 дх 3 4 дх 3 з дх„ 3 4 дх Хз (~) = хзхзхз — хз хз 41 хзхзх. д + +гхзхзхз дх +хзхз 1х = Ог 3 дт, д1 дг Х (~) = х. х х — — х 'х — - — хзх х — -+ 3'34'д,,4дх334дх + хзх,з — — + х,х,хз - — = О, 3 3 дх 3 4 ' дх 3 д1" дГ 3 д~ Х <)') = х х ' — — — — х х х — — — х х ' — -+ дхззздх,зздхз ' 1 дГ Ф +хз'хз д, +хзхзХ3 д — О. Хз Хз Нанодимь интегралы уравнения Х, ® = о, Отсюда пол учаемь х, =у, + у, — д,, х,' =д,+у,', х,=у„х,'=у,— у-„-, хз = уз — уз Первоначальная система обращается теперь въ слЪдующую: — — —.= о, Уз .'4'3 ® = уз -д — + (2дз — У,) д — — 2 д~ дг' дуз ду, +2 (д,— д,)" — — '""' (Уз Уз) + у, — 2узз д1' уз дуз д1 — -=О д Нх, г1хз 41х, дх, 41х, ХЗХ4 ХЗХ4 ХЗХ4 ХЗХЗ ХЗХ4 У! 3 зг УЗ вЂ” ХЗ Хз, УЗ 'Хз +Х4 У4 ХЗ 3 ) Уз 3' Уз Ф =Уз д4~ (2У4 У4) ' дУ, У, Ч) =(У4 — У,) У, д„— +94 — У,) дб ' дз 2уь (у4 2у2уь у4 ) д ) у4 (у4 + д4' дУ4 У, ((')= — „4-=0.
дГ д- --О, У4 (2У4 — У ) — —— д~ дУ, 2У,У4 — У, ) - =- О д~ ду, Уравнен)е У, Я=о мы выводимь иеъ уравнен)й — =Он У4 Я=О. д~ дУ4 Предыдущая система переходить вь слЪдующую: д~ — =о д У4 д~ — — =о, ду, д~ — =о ду д( — — — — — =о, дУ, ду, откуда Г = Ф (у, + У.) = У (а,'+ х,'). 1Х. ' Обь одномь роди аункц1ональныхь уравне- н1й и приложении ихь кь механики. симости: з4е4 ='44 (зо з4 "~ з4)~ Предложимь себь опредьлнть функц(ю 1' (а„а„, з:„) удовлетворяющую уравнен(ю гдЪ е (з„з,, з„) есть заданная функц!я величинь з„з„, з„ и между величинами з„з4,, з„, з„даны слЪдуюпия зави- 12о зя+я ~я (з! зх '"! зя) з„=я„, (з„з„.„, з,).
Бели х„х„, х„, х„+, суть нЪкоторыя физическ1я величины и равенствомь х„+,=1 (х„хх, Х„) выражается зависимость х„, отъ х„х„..., х„, то функция .~(х„х„-, х,) удовлетворяеть уравнен1ю указаннаго вида. Положимь тогда (у!! уя! - ! ух " ! у„) = !я (3„! зя, ..., зя) !' (х!! хя, ...! х„) Изъ етого равенства выводимь з — — =я!- — (2=1 2 ... и) д1 дя' ду дх ' ду ду дяя,! ду ' дяя дх — х.+ — — х ду.
!' дуя+ я+! дя,. ' ' ' ду„я дя. дя. Гд'и |=1, 2, ой. Изъ двухь предыдупйхь рйвенствь выводимь х д1' !! дзя+! дУ х дЯ„ ! дху яя+! дя ° Я+! дхя ! ' ' ' я дя я дх дя. .Введемь теперь обозначен(я: )я1 =х, 1да — ф! 1ях= 1, 1п з = х Предыдущее уравнен1е представится тогда въ слЪдующемь вндЪ: дт д'я+! д-; дя!! дяю дф 29 Введемь е»це обозначен)я Для определен«я функц1и й (11, й„, 1„) получимь систему уравненй1 д.; д;. »,й+1 д, ' "' «а д1 дд дв дч + й,«й«да + "+ й,а дй й З«»-1 а дч дч дч дЗ« й, й — 1 да«+, ' й да„ Для рЪшен1я этой системы положимь х=М«+ейс.+ -+ф$й+»Р (111 1, «). Функц1я Ф удовлетворяеть тождественно-замкнутой системе: дФ дФ дФ дз« + 1 йй« д$й+1+"' 1» да й дФ дФ, дФ дФ дФ дФ дзй + й й+1 д1«й« '" й" д$„ РЪ»пая эту систему по способу, указанному въ ф 1П, найдемь ея л — й ннтеграловь , — а»1~ — а„ й+» !, й+» и «-)-1 й "' й йй»Д й« гдз» г= ), 2, ..., и — й'; но 1«+» 01 й+» 11 аз 11 "' ой + 1« 1дхй «О» ) 1йх« — ай 1, 1й х ---..
— — О, . 1н»в =1 й+» х,'1 й+» х,'й й+» х 'й, й+» — 30 дай+1 — — =а. да. «З 1' дф да« да„ й+1' "' да л « д1 д да„ слФдовательно будеть также интеграломь указанной системы и мы можемт положить. Ф=1д6 ~, —,,"»' —.— —,...,—, 9 = Ф~ 1~ + Ф« '«+ "+ Ф«««+%1«~1э '' т «„)т отсюда получаемь 10У=Ф,1кж, +Ф, 1Я х,+' ". Ф«1Кх + 1К6 х«»-« х„ Т. к. функц1я ~ не должна зависнуть оть зх в„, з„, то дФ Ф,.= — ' =т,:, (г=1, 2,, х) где всь буквы т со значками суть постоянныя величины Изъ предыдущнхь равенствь выв6димь Ф = я«, «, + .
+ т, ~«+ и «+« = х«~ «»-~ ~~ + '" +»а««+~ а«+«и«»-и 31 "«»-» х,*» «М х,'«. «»- х'««+~ « гдв 6 произвольная функц1я. Мы вывели равенство Ж„ «« ~« ~'-'~ «« 1 д«„ — = 'и«,« «« себв решить, но уже белие простой, т. к. число перемънныхь теперь п — к, Для дальнъйшаго рЪшен1я нужно знать тв соотношен1я„ которыя существують между величинами М, „, ЗХ,,, подобныя соотношен1ямь между з„з„, з и м. Для нась важень тоть случай, когда предыдущее уравнен1е обращается тогда въ тождество и функц1я 6 становится пронзволвной.
Замътнмь еще, что при !с= — я функц)я т) обращается въ постоянную величину и мы нмЪемь тогда Изъ сказаннаго вытекаеть слъдуюшая Теорема. Функц1я 1' (х„х„... х.) можеть удовлетворять уравнен1ю Г(з1х" ззхз'зх)а(зрзр'з)~(х1х'х) гдв о(з„з„.'., з„) заданная функц1я величинь з., з„,зз н ел ~а "~(з~ з~ " ~ зл) ! зы з — з (з з " зз) только въ томь случаь, если: М ч з.3 ~ еа з„~ т~,у,.~.~ е+~ а+1 ~ ' ' г ' " зд М зза~~ ем~~ ю~~~ иэв. сРВ, политеха.
яви., т. О. гдв функц1я Ы определяется изъ уравнен)я В(М~+,4 " М„'ч„)=МВИ..г" ч„) положивь. х„ М =М .=„=Ъ| =М=1 то «+1 ь+з Если функц1я !! становится произвольной. Если 1'=и, то функц1я 6 обращается въ постоянную продолжен!е. Перейдемь теперь къ прнложен1ю теоремы, указанной въ предыдущемь параграф, кь зздачамь механики, при чемь для краткости мы ограничимся нйоколькими примерами, не разбирая вопроса во всей полнота, что также не представило бы никакихь затруднен!н. Назовемь буквами 1, 1, г, ьа соответственно длину, время, скорость и ускорен!е, положимь далее, что въ некоторой задачь требуется выразить одну изъ этихь величинь въ функц!и остальныхь. Пусть, напр,, требуется выразить Е въ функц1и 8, о и тл,, т. е, найти такую функц!ю г" (1, е, ы), чтобы ! = г" (1, о, ы).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
