Федерман А. О некоторых общих методах интегрирования уравнений с частными производными первого порядка (1123902), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Возьмемь за единицу длины и времени единицы въ Х н т разь меньше, чвмь раньше, тогда предыдущая формула. — 34 где буквы М и пг-со значками означають постоянныя величиныы. Если предыдущ)я услов1я выполнены, то обратится въ слЪдующую: л л л ( =- л ~г 1, --.
г', —, г))) л ), ~(;г, — ' е,-',— х) = ЛДг,е,)гб, Введемь обозначени г=х„е=х„ л го=-х Э л :,з — ам тогда мы заключимь отсюда, чта ег=~,(ео 8~)=8, зг — 1' ~' (зг ея) з1 ез )(~з На основан(и выведенной теоремы палучаемь Ж~ '~1 ~В~ гдЪ 6 произвольная функц)я. Искомая зависимость выражается слЪдовательно формулой ( =- г е ( — '„-) . Точно также мы выведемь формулы Ыы потребуемь теперь, чтобы видь искомой формулы не зависЪль отъ выбора единиць длины и времени. Для того, чтобы это услов)е было выполнена, должно нмЪть мЪсто слЪ- дующее уравнен)е.
Видь функп1и 8 въ каждомь отдЪльномь случаЪ оцредЪляетея характероьгь задачи. Задача А ТЪло падаеть безь начальной скорости съ высоты ? на землю, опредЪлить скорость г, которую оно пр1обрЪтеть, доетигнувь земли, Ускорен1е оилы тяжести гз постоянно, сопротивлен1емь воздуха пренебрегаемь. о=1(Е, М Х . Е !. — о = T ( > Е, -„'- гз) .== — ' 1 !?, гз) х,=Е, х,=го. з! ! з2 т! а(з„з,) =--=1'з, з„1(х! х,) =.С!ух,х,. слЪдовательно г = С Е/Я.
Для опредЪлен1я С нужно произвести наблюден!е. Задача 2. Въ соеудЪ, наполненномь жидкостью, на глубинЪ Е сдЪ- лано отверст1е въ стЪнкЪ. ОпредЪлнть скорость о истечен1я жидкости, предполагая, что о завиенть только отъ Е н ускорен1я силы тяжести ко Эта задача тождественна еъ предыдущей и мы получаемь формулу Торричелли е = С р Его. Задача д.
Въ жидкости движется поступательно съ постоянною скоростью о тЪло, имЪющее форму шара рад!уса г, ОпредЪ- лить сопротивлен1е движение жидкости т', предполагая, что Р зависить только е и г, К= 1(г, о) Искомая зависимость выражается слЪдующей формулой Р= Сг' о'. Если опытныя изслвдован1я окажутся несогласными съ выведенной формулой, то отсюда мы заключнмь, что Г зависить не только отъ т и о, но еще н оть другихь величинь.
Зп)ача 4. ~(во х„, х) =т,,'ж,'0( — ~ — ',), Р = Р'Р. гдв Предположимь теперь, что функц!я О, можеть быть разло- жена вь рядь по возрастающимь и убывающнмь степенямь аргумента, тогда Р й з Предположимь въ задачи 3-ей сопротивлен!е жидкости Х зависящнмь еще отъ силы трен1я между жидкостшо и поверхностью шара. Пусть Р будеть эта сила, разсчитанная на единицу поверхности. р' = ~'~т, о, Р) л4 ~ л ла 1 л4 — Е =- (' ( Л т — о — Р~ = — ' — ) (т, е Р). с* (, 1 т ~ т~ ) — тя А1 т~ а2 о~ ~з Р л л 8 =Л 8 = —, 8.= —— з ~ ь — ~а м (81 зз) 81 за зз + Ь, -"-+ Ь, -'-'г+ Ь, ", + .„.
) ЛГ=а,Гггз+азкзр,с+а Ггр г + а 3.з, з 1 хз хг + Ь, гз --- + Ь, г' -; +.... Р1 Если 23=О, то Г конечно не= оо, откуда заключаемь, что а, = а„=.... = О, положимь теперь р =$' р=о (жидкость идеальна), тогда прн конечномь е сопротивлен1е жидкости 'Р не= оо, откуда заключаемь, что Ь, =- Ь,=Ь,=...=О, окончательно прикодимь къ формуле У' = ао Гз Оз + а, Гг р1 О + а, Г' рг 3. Задача б. Два шара рад1усовь г1 н т, движутся въ идеальной жидкости со скоростями е1 и иг. Определить силу Г взанмодьй- ств1Я межДУ ними, пРеДПолаган, что она завнсить отъ хо г„ оо с, и В, гдгв В разстоян1е между центрами шаровь.
Р=1" (31, гх В, о„332) Лз Л Л Л 1,4 †., Р = ~ ) Л 3 и Л Г„ЛР, — — 33„— Ог ) = — ', ~ (Г„г „В, 33„Г,). 11оложимь х, — -г„сх, =хо х,=г„х,=о„хо=В Л . Л тогда г .з Л' з З1 Зз 3 З13 З4 23 3 З1 хг ' хг ''хз!' 186 +а — з(тз+ 2)ц+ — 2(!+з)дз+'"' + -зее + -зтзез+ -з „з,,з з~з з 3 1 3 Прн В=- ее, У=О, слЪдовательно а — — а=а=а.=...=о з з з з Ь,=Ь,=Ь,=-Ь,= ... =О При 'т, =О, У= О, отсюда а =а =а =...=О.
-1 — 2 3 Т. к. функц(я У симметрична относительно е, и о„то 1 =А'. зЗ 'у' Поступая съ последней суммой такь же, какь и съ первой, получимь з'з Гз з Вз 3 зз'з,' з1 з Зз з 'з)з' з ззз На возможность рЪшен1я задачь механики способомь, подобиымь указанному выше, есть краткое указан1е въ курой механики А р р е1ря '). Часть вторая.
Для того, чтобы интегрировать уравнен1е 1" (а:„ю„, а„, р„р„..., р„) =- О, ') АрреП, тзепе зе Мееаеззие Вепевееие Т. 1 р. ва — 96. — 40 где х„х„., х„независимыя перемънныя, а р,.= —, (» = д» =-1, 2... и), по способу Якоби, какь известно, надо найти и — 1 функц1й 1е ~„, Г'„, велнчинь х, х„, х„, р„ а(п — 1) р„, р,» удовлетворяющнхь слЪдующимь — —,— уравне- и(ямь: (~,Д =О, (1, 1',)= О, К,);)= О, (~, ~,) = О, (~,, ~,) = О, (~„(',) =- 0 Якоби показаль, какь надо поступать, чтобы выполнить услов(я первой, второй, третьей н т. д. строкь; мы будемь поступать иначе и выполннмь сначала услов1я перваго столбца, затвмь второго и т. д.
Для того, чтобы выполнить условия перваго столбца, интегрируемь уравнен1е. (1, е) = 0; ~> 9о 9ю - ~ пусть означають интегралы этого уравнен(я, образующ1е группу. Мы скажемь, что функщи ~,;„т„,, », образують группу если Ъс "„) '6,р К т~~ '~"и "~ т»)' 1., и=о, 1, а...,а и Положи мь ~, = »,. Составляемь затймт. уравнеи1е (н„в) = 0 и станемь искать интегралы этого уравнен1я, выражающ(еся въ функц1и г", т„.„, т,, для чего надо будеть интегри- ровать линейное уравнсн1е де +('"т') д ' ' (~'!!т!)З" 9! Ф! Интегралы этого уравнеи1я будуть (если не всв скобки равныя нул!о) г; ,т„е!,т!, ...,!! гдЪ ю Г 92»3с ' ' '~ ! — ! выражаются въ функц1и и суть интегралы системы уравнен1й (~, !!!) = О, (ср, е) ='О ,Функц1и 'е! 92 93' 7 -.Х образують группу, въ самомь дЪлФ,: У; т,) = О, (1, т'т) = О, (; „.р',) =- О, где Л=~, 3,, й — 1, что же касается скобокь Пуассрна (~'!, т',), где )„Н=г, З,, Ь.— 1, то„такь какь функц(я (т'„т'„) есть интеграль уравнен1я й! 92) д + (9!! р!) Ф + ° + (е! 9„) — — — О! эта функц1я перемвнныхь мы заключаемь, что (р'з, т'„) есть I~ Р Р! ~ 1~! ~ "'! 1!~ — !' Положимь теперь .
)", = К Приступнмь далъе къ интегрирован1ю линейнаго уравнен(я ( „т)=о и будемь искать интегралы его, выражающ1еся въ функц1и , е:, „для чего надо будеть интегрировать уравнен1е Его интегралы будуть (если не всв скобки равны нулю) р И Р1 72~ 1а 94 ~ 9л. Эти функц1и суть интегралы замкнутой системы уравнен1й (~, е) = — О, (ео т) = О, (т'„т) =О, другими словами, системы ((,,') = О, (1,, э) = О, ((е Р) = О и образують группу, что доказывается такь же, кань и раньше. Полагаемь В Далъе интегрнруемь уравнен1е (т"„ т) = о, . разсматривая т какь фуикц!ю перемвнныхь 1~ 917,2,3 1 т4 ~ ' ' Р, 7; ю т. е.
интегрируемь уравнен1е (Уз~",4) з, ° + ° ° +Ьэ~ 9з-е) з,« 94 "В-3 интегралы его будуть (если не всЪ скобки равны. нулю) (Я 1П ~И П 9о Ри 9з'* 74 ' 7ь 1 ° ., е 140 Эти функц1и образують группу и удовлетворяють уравнен1ямь (р, р) -о, ( „р)-о, (т, р)-о, (.р,, р) — о, другими словами система Полагаемь р, =т,"'. И т. д. Указаннымь путемь мы придемь къ ряду функшй (если ни разу не будеть им'хть мйсто исключительный слу- чай) и положимь Мы видимь, что для эшен)я задачи, въ общемь случаЪ, необходимо, чтобы й — ме 2~хг — 1 откуда но ' й не можеть быть больше 2 а — 2, слъдовательно, мы приходимь къ заклхочен(ю, что Й=2хг — 3, 2п — 2, т.
е., что для рьшен)я уравнен1я 1(й„~„, м, Р,> р„, р ) — 0 по указанному методу, въ общемь случаи, нужно знать все или всв безь одного интегралы уравнен1я 141 Дано уравнеше (~, т)=-о и пусть будуть его интегралы, образующего группу. Мы полагаемь )г=9~ Составляемь уравнен)е 0р„т) =о, и ищемь интегралы, выражаюппеся въ функции гр „Ф,, гр для чего надо будеть интегрировать уравнение (9гг тг) — +('тг тг) + ° ° ° +(тг 9 ) — Ог интегралы его назовемь черезь р1 ггггг а г ггргг ' г г)г р — Г Если бы 'оказалось, что (т„т,) =(т„т,) =,, =(т„т,) =о, то уравнен)е (<р„,р) = о ИМЪло бы интегралы тгг тгг ' ' г 7рг мы видимь, ч?о въ этомь исключительномь слу 1аЪ уравне И1е (т„т) = о имйеть однимь интеграломь больше (выра'кзющемся въ функц1и т,;„т„...г; ), ч4 мь въ общемь 2 ""«,9 случаи.
142 11олагаемь въ общемь случаЪ 1з из~ а въ нсключительномь (з 9з Составляемь уравнен1е (т„;) =о, н ищемь' интегралы его, Выражающ1еся въ функц1и 13,1~,'зч тзз ° Рр и получаемь уравненте Если не всъ скобки равны нулю, то назовемь интегралы черееь з Въ исключительномь случат,, когда (тз', ез)=(тз', т,') =. =(тз',"',,)=О, интегралы уравнен1я (ез', ф =о будуть 1* 9з 9з Т» ° ° '7'в „ т. е. число ихъ будеть на единицу больше, чань въ общемь случае. Въ общемь случаЪ мы положнмь а въ нсключительномь 1з ='Рз'. И т. д. Навовемь группу функц!й нормальной, если (ъ„т )=О, гдъ ~, Н =О, 1, 2,, и и ~„=~. Изъ группы 3-хъ функций мы получаемь указаннымь путемь въ общемь случаЪ нор- мальную группу 2-хъ функц1и въ исключительномь нормальную группу 3-хъ функции '9 тз Изъ группы 4-хъ функций 9~~ тя 7н 94 получаемь въ общемь случая нормальную группу 3-хъ функций Р~ тя а въ нсключительномь 4-хъ функций.
И т. д. Положимь теперь, что дана группа функц1й ~~ '~1 'Ум 9в . ° ~ 'Ррт спрашивается, сколько функций будеть содержать въ общемь случай нормальная группа, полученная указаннымь путемь изъ данной? Здесь надо различать два случая: первый, когда р четное число, и второй, когда р нечетное число. Преобразован1е данной группы въ нормальную въ общемь. случаь можно схематически изобразить тактя Если у =2 Ф+ 2, то изъ данной группы мы получимь нормальную въ которой число функц!и будеть 2+2 = — + 2 = — 1-+1.' 2 2 Если р = 2 й + 3, то изъ данной группы мы получимь въ общемь случаЪ нормальную группу „га<-о въ которой число функц!й будеть Эти двЪ формулы можно соединить въ одну.
Окончательно получаемь, что изъ группы р+1 функц!й 7п 9~ можно получить въ общемт, 'случаЪ нормальную группу, въ которой число функц!й будеть Подь Е (х) мы понимаемь наибольшее цЪлое число, заключенное въ х. Въ исключительномь случаЪ число функц!й въ нормальной группЪ, полученной нзь данной, можеть дойтн до р+1 (зтоть случай представится. когда данная группа уже была нормальной).
Изъ сказаннаго вытекаеть слЪдующая Теорема.. Иаъ группы функц1й »'» '";» т»» ° °" » 7 Р можно всегда получить нормальную группу »'» '»'» Ф»» Ф» гдЪ » р~т~Е~ — —, т й+11 и гдъ въ общемь случая 2 ) Пусть требуется интегрировать уравнен1е 1'1жс в»... к,, р„р,,, р,1 =О, составляемь для этого уравиеи1е К;;) =о .и. находнмь его интегралы въ нъкоторомь чяслЪ р 1 1» образующ1е группу '»» затырь выводимь изъ этой группы нормальную группу, со- держащую т+1 функц1й 1;;и Ф„Ф„. ', Ф„, тогда мы можемь положить т'=о, ~,=т„1;=Ф„..., ~»=Ф„» то и»». спв.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
