Федерман А. О некоторых общих методах интегрирования уравнений с частными производными первого порядка (1123902), страница 2
Текст из файла (страница 2)
+1,'„'Х„(у.>, где правая часть, вообще говоря., не будеть равна нулю. Предположимь теперь, что Х„. (у,) —,'.-о; это предположен1е мы всегда въ правь сделать, т. к. если бы мы им%ли х,.(у,) =х,(д,) = .. =- х,.(д„,)= о, то уравнеше Х, (1)=О могло бы отличаться отъ уравнен1я Х, ()".>=-о только нвкоторымь множнтелемь. Мы имЪемь Х, (Х, (д,)> = 1.,ое Х,(д,) + ),ое Х,(д,) +, . + 1,оо Х„(у,>; разсмотримь теперь выражен1е числитель дроби въ правой части равенства х,(у,>х,(х,(д,.>) — х,.(д >х,(х,(д,)) = = >,оо (х(д,)х,.
(д,.> — х,(д,.>х.(д,ц + + >.,'в1, (Х(у,) Х, (д,) — Х,. (у,.) Х.,(д,>) + + ) ~"~„(х,(д,)х,~,(у > — х, (д )х+, (д,и + + л'„"' (х,.(у,)х„(у,.) — х,(д,.)х, (уд, ч — з — " ~ — 1 '~'--1 " 'а то этоть числитель всегда будеть равень нулю, другими — 10 ТОТ словами, если Х,(Хг(О) — Хв(Х,(1)) .= а,оо Х, % + 1,"о Х,.(0, -'"') =о т. е. ~' ' выражается въ функщи уг у„...,д Мы пришли кь теоремь Вейлера '), которой дали иное доказательство п бояне общую формулировку. Теорема Если вь замкнутой системФ уравнен1й Х, (1) = О. Х, (г) = О, ..., Л:, ®= О...,.Хв 11) =О, уравнен(я Х, (О=о и Х, (~)=0 тоже образують замкнутую систему, если далЪе Уп 1гв, -, У„ , суть интегралы уравнен1я Х, О') = О, то Х6 (У1) ~ („') ° гд'й !'=2, 8, ..., и — 1 н Х (д,):ьо, будеть интегра(р1 ломь уравнен!я Х, ()".)=.
О. Продолжен 1е. Дана замкнутая система уравнен1й х,у) =о, х,(1)=о, х, д)=о. Находимь интегралы уравнен1я Х, (г) =О, пусть они будуть у„у„..., уе г Вмйсто прежнихь перемвнныхь хо к„..., та введемь новыя рп у„..., р„, ) о„, гдЪ функц1я уа выбрана произ- ') г!ге11ег. ПеЪег п1е Хпсеатаиоп дог го!!вФапапнеп Зуавов раг Ме11ег т11Кегепс!а1И!е1сЬппнеп гоп 1п1еагег Уоггп. Ее11всЬг1гв Ьаг МаСЬешаГ1Ь ппг! РЬув1Ь 'Х. 20. 8.
83. 108 вольно, но такь чтобы дд(у у " у~~-! ! у ) !!! 0; В (ж!, х„..., х„!, з„) д1 , — =О, ' ду„ Х, (У!) у- + ... + Х, (У„!) д — + Х, (У ) — = О, ! ду, ду„ В (У!) д ' "'+Ха (У!! — !) ду + ~! (У!!) д = О. дб дб, д! ду, з !!-! ду И Откуда выводимь систему У! (!) = ~ — — О, ду У, (~) = Х, (у,),„'-+ ...+Х, (у„,) дУ д — — =О, У вЂ” ! У,У)=Х! (У,) д — +...+Х! (У„,) д— дб дб у(у) Х (у) ~1+ +Х(у ) дк О Гдв (= 2! 8, ..., к. Если система, уравненРХ Х, (()=О, Х, Д)=0 то",кдественио замкнута, то Х! (у,)! Х, (у,), "., Х,.
(у„,) выразятся въ функц(и однЪхь величинь у„у„..., у 13 въ такомь случаЪ можно а„х„..., ж„выразить въ функц(и у! уз! у„. Данная система обратится теперь въ слЪдующую Пусть система уравнен)й Х, (1) =о, Х,. ®=о будеть замкнута. Въ ряду функц1й Х (у~) Х; (у ) -. Хс (у„ ) найдется по крайней мЪрЪ одна не обращающаяся въ нуль, такь какь въ противномь случаЪ уравнен1я Х, (1)=о и Х,. ((') = о, имЪя тЪ же интегралы, не были бы различны.
,Пусть Х, (У) )=о, гдЪ )'=1, 2, ..., ж — 1; раздЪлимь обЪ части уравнен!я ~ (У1) ду + "'+ ~ (Уд) ду. +"'+ 1 (У"-1) ду дГ д)' дт' ду, В '~й-1 на Х,. (у)), получимь уравнен(е Х,(У,) д~ Х,.(У,,) Х; (Уу) ду( " Х;(Уд) дУ,, ду. Х((у.+~) д~ Х~ (У, 1) дй Х;(у ) ду,+, -' Х,.
(У,) ду„, гдЪ всЪ коэффиц1енты, на основан1и теоремы, доказанной въ предыдущемь параграфЪ, будуть функц1ями у„у„..., у„,. Можеть наконець представиться трет1й случай, когда уравнения х, (1) = о, х,. у) = о не образу|отъзамкнутой системы, тогда то жеможно сказать и про уравнен1я -„~-=о. у, (1) =о Поступаемь тогда слЪдующимь образомь: раздЪлимь обЪ части уравнен|я У, ()')=0 на У; (у|), получимь 1 д| ' дй дГ У,.
(~) =- — -+ У~~.~ — +:..+ У, | — + |(~' ) ' у . у~+~ "' ду„ ~-' ду 1ду, гдв У,, „..., функщямн не Бели зтн У„„У,,„..., У, будуть, вообще говоря ТОЛЬКО До Д, „., Д НО И У, козффиц1енты зависать отъ 1|„, то изъ урав- нен1й У,В= ~ =о ду„ — У| а=о 1 Х,|у|) выводимь уравнен1е У' 6~ ) У' ~)) Х .) У ~У' О)! дУ, д| дУ| | д)' + "+ ' '+ дую ду1 ду„ду| 3+1 д) дУ ' дУ ду. дуд+, - ду„ду„— которое должно быть слздств)емь уравнен1й У, В = о, ..., У, (д = о. Положимь У,(,— ',—,, У, В) — —; — ', У, СУ, СО = У, В = | 1 д ' д +'"" ~-|д , д), В. "-'ду, | Уравнен1е У ~~) = О будеть слвдств1емь уравнен1й У; (~) =-О, -, У, (~) =О и не будеть содержать по крайней мЪрЪ одной нзъ производныхь —. д)' ду ' Если всЪ коеффиц|енты У,', У,', ...", У„,' не содержать переменной у„, то наша |Гель достигнута, въ противномь 111 случаЪ раздЪлнмь обЪ части уравнен1я 1 (1) = 0 на У" „гдЪ 1'=1, 2, ..., и — 1, предполагая,что У',, -~0, если коэффн- 1 ц1енты уравнен1я у — У, 11) = 0 не зависять отъ у„, то наша 1'т цЪль достигнута.
Въ противномь случаЪ составимь уравнен)е 1 У,~-,-,-У,'а,) — —; —,У, ~У, а=У," СЛ= =У вЂ” +...+ У , д~ „д~ ~ ду, -' -ду„, уравнеше У; 11)=о будеть слЪдств1емь уравнен1й У, 1;) =О. У, 11)==О,, У„11)=О и не будеть содержать по крайней мЪрЪ двухь изъ производныхь дт. ду' Если коэффиц1енты У,", У,', ..., У"„, не содержать перемЪнной у„, то паша цЪль достигнута, въ противномь слу- чаЪ дЪлимь обЪ части уравнен)я У (1) = О на У;„", гдЪ 1'" = 1, 2, ..., и — 1 и 1;," †-О, если и въ такомь случаЪ 1 коэффиц1енты уравнешя --1=у У,' (1) =-0 не будуть функц)ями однЪхь д„у„..., у „то составляемь уравнен)е У,(-„-,У."В) — — — ',, У," СУ, а)=У,'" в=О, 1 1г которое будеть слЪдств1емь уравнен1й .У,Ю вЂ” О, У,И вЂ” О,", У„Л вЂ” О н не будеть содержать по крайней мЪрЪ трехь изъ производныхь д~ ду ' И т.
д. Поступая указаннымь способомь, мы непремЪнно придемь. къ уравнентю ду, ' Ул-1 которое является слЪдств1емь уравнен1й У,(У)=0, -, У Ф=О, У~"~, гдЪу~ =1 2, ..., и — 1 н У) фо. ле ' дее ' ПримЪчан1е. Указанный способь часто приводить кь уравнен1ю вида уо> д1 ду гдЪ о=1, 2, ..., я — 1 и ~У~ содержить или не содержить д„, отсюда мы, конечно, выводимь, что д~ у, Мы показали, какь,имЪя замкнутую систему уравнен)й У; ®= — =О, ду„ У) Х2 (д2) д + "' Г ~2 (д — 1) дб 1 д~ — — =0 дг у У, У) = Х,.
(д,) —,' + ... + Х, (д„,) —,— '-= О, ду, ду„ , У„(1) =-Х, (д,) д- + ... +Х (д„,) Ъ дт — — =о д у -1 Вь которой козффиц1енты уравнен1я У;. (1".)=0 содержать .16 не содержить по крайней мЪрЪ т изъ производныхь — и д/ ду козффиц1енты котораго будуть или функц1ями однЪхь д„ д„..., д „или стануть таковыми послЪ раздЪлен1яобЪихь частей уравнен1я У~'(1)=0 на 113 д, можно изъ уравиен1й У (~) — — О и У.д) О, ду„ вывести уравнен1е, козффиц1енты котораго не содержать д„, что для краткости мы въ дальнЪйшемь будемь называть выводомь изъ уравнен1й --- =0 и У, (Й=.О уравне- дГ Уи н1й свободнаго отъ д„.
Продолжен1в. Покажемь теперь, какь интегрируется замкнутая система уравиен1й: Х, 11)=0, Х, (1')=-О, ..., Х, (~) = О. Найдемь интегралы д„д„..., д„, уравнен)я Х, 11) = он введемь новыя независимыя перемЪнныя д„д,. -,д„,)ды, где д„есть произвольная функц1я, удовлетворяющая условно Э 1у„у. З (у„хе,, т.„о х„) Изъ разсматриваемой системы мы выведемь теперь новую: дà — = — О, Ув 1,(П-Х, (д,) -+...+Х, (и,) — О, 1а ® Хл(д,) ду-+" +Хе (д, 1) — ду — -+О, ду, ду„ иву. слв пивал*и.
изх,, т. О. 114 Уравнен1я получаются изъ уравнен1й Г,К1 = О, ..., 1; (~)=О выведен1емь. у, при помощи уравнен1я — = О. д1' Число г совершенно неопредйленно, ВсЪ уравнен!я вышеуказанной системы суть слЪдств)я уравнентй Х, 11 ) = О, Х, (1') = О, .., .Х, 1Г) = О Ясли нзъ составленной системы й + г уравнен1й ---=О, г, 11) — О, ..., У 1Г) — О, У,К вЂ” О, ..., г«(1) — О мы выведемь, 1какь слЪдств1е, что й изъ производныхь.
— равны нулю, то интегрирован!е предложенной системы дй ду будеть закончено. Въ самомь дЪлЪ, пусть мы получимь, что гдЪ 1„1„..., Л,, означають нЪкоторыя й — 1 чиссль изт ряда 1, 2, ..., и — 1, тогда вышеуказанная система, состоящая изъ й различныхь уравнен1й, будеть слЪдств1емь замкнутой системы Х, (1)'=О, Х, Д)=О, ..., Х, К =-О, отсюда мы заключаемь, что интегралы предложенной системы. въ числЪ и — к, получатся изь ряда функц1й1 у„у„ 116 У, (Г)=х«(у,) — д",+...+~, (у„,),— —,' — =о, ду1 « — р — 1 ду' У, ® — Х«(у1) д — —,+- +Х, (у» 1) д,— — -- — — о, дГ дГ »-р -1- »,1ду1' «р-1 Уравнешя У,' (Г') = О, ..., У'«, (Г) е«О получаются изъ уравпешй У, (Г) = О, ..., У (Г) =- о введен1емь новыхь перемЪнныхь и упрощен1емь пхъ съ помощью уравнен!й дГ дГ' дГ дУ„' дУ'„1 '.
"' дУ'„ а также выведен1емь изъ полученныхь уже уравнеши перемЪнныхь у«, у'« „, у'», съ помощью вышеуказанныхь уравнен1й. Число р' совершенно неопредЪленно. Можеть случиться, что полученная система уравнен1й поддается снова указанному упрощенно, тогда зто слЪдуеть сдЪлать и мы можемь придти къ ВЪшен1ю системы, найдя дГ я производныхь — обращающихся въ нуль.
ду Въ противномь случаЪ беремь одно изъ. уравнен)й преобразованной системы, козффиц1енты котораго не содержать перемЪнныхь у», у'» „, у'„, (одно такое уравнен1е, по крайней мЪрЪ, существуеть, такь какь такимь является, напр., уравнен1е У"„(Г) = о) и интегрируемь его; пусть интегралы его будуть и У1 У1 " У подбирая теперь произвольну|о функц1ю у"„ „ удовлетворяющую неравенству Ф 111 ° " / «Г У11 '''~ У" — р — 1 ~ ~У вЂ” р — в У» — р ''' У»-1' У»д -Г- О -11 (У1'~ Уэ "1 У»-1г У ) 117 введемь вмЪсто прежнихь перемЪнныхь новыя; получнмь систему (Й = 1", (у,"),—,„. +" + ~"', (у'„,,);„— „-- = о, ду,' р — '-' , Ю вЂ” у, (у,);-„-, ду др" д" -,— =о, у ! гдЪ уравнен1я +'"+ 2(У р — р — 2) ду1 Г' р р дР =О Ур — р — 2 ( у" д) В н-р-2 Д>Р 2-р-2 и-р-2 У," (()=о, ..., У"р Ф=о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
