Федерман А. О некоторых общих методах интегрирования уравнений с частными производными первого порядка (1123902), страница 5
Текст из файла (страница 5)
и»»»»»»». и»»»„т. О. Е~ У+ 1) Если г = и — 1, то интегрирован1е можеть быть' закончено общензвФстнымь способомь. Въ указанномь выше первенства положимь г=и — 1 тогда мы получимь ,, си+11 р=и — 1.= .Е ~ — ' откуда 3 и — 3 =-р--- и — 1. Изъ сказаннаго мы закл1очаемь, что для интегрирован1я уравнен(я 1'(х„х„, х„, р, р,„,р„)=0 указаннымь путемь нужно вь самомь благопр1ятномь слу- чу опредЪлнть и — '1 ннтеграловь (отличныхь отъ 1"), уравнен1я (~, -)=0, а въ самомь неблагопр1ятномь — всв безь одного, ь(ы пришли къ ел%дующему общему правилу интегрирован1я уравнен1я Ях„х„... хсе р„р,..., р ) =- О, Составляемь уразнен1е ((', т)=0, пусть Г> е~ ~~ Рр будуть его интегралы, образующ!е группу.. Если р =и — 1 и полученная группа нормальна.
то полагаемь /'=О, (, =т, =а, ~,=т,=а„..., ~„,=т„,=а„, и интегрирован!е можно считать законченнымь. Если у)а — 1, то полагаемь ~,=т,=-ао составляемь затронь уравнен(е (7, т)=О разсматривая -; какь накоторую функщю перемьнныхь пусть / ! 7о 92 Рз е47 будуть его интегралы (онн образують группу), Полагаемь Составляемь теперь уравнен1е (т',т) =О, разсматривая т какь некоторую функ1ню перемтнныхь / 9 7 1'3 94л пусть то 9р~ тз, т~~ будуть его интегралы (они образують группу). Полагаемь'"' ='.р =и з З з 148 Составляемь затЪмь уравнен1е ('Р» р) = о и т.
д. Такимь путемь мы придемь кь слвдующимь уравнен1ямь 1=О, 1,=а„1,=а„..., (,=а„; если окажется, что у= и — 1, то интегрирован1е моясно считать законченнымь, если же г(н — 1, то число интеграловь ~, то х„..., Е уравнен1я ф е) =о недоотаточно для интегрирован1я т'= о. Объ интегрирован1и уравнен1й, содержащих ь искомую еункц1ю Положимь Х~! ди Фе сЪ де 1 (и,о) = ~~~ др; Нх, Юх,. др;,) ' Ф д д ах, ' дз;+р'д По теорема Майера ') имвемь Пусть 1" (з, х„..., х„, р„..о )о„) означаеть некоторую заданную функц1ю перемьнныхь е, х„..., х„, р„..., р„. Составнмь уравнен1е 1) Мауса. Несех д!е ЮасоыесЬе Ведисноа есс, МааЬетаыесЬе Апаа1еа Т, 9. а 370. 149 и пусть Е„ е, означають два интеграла его; на основан1и теоремы Майера получимь т.
е. [в„т,1 не будеть ннтеграломь разсматриваемаго урав- нен[я. Положимь теперь, что [т„т,1 = сопят..-4= О, тогда изъ указаннаго выше равенства будеть слвдовать, что Ъ О= д [то тД, др т. к. — О, то [т„рД вЂ” О. дт Изъ сказаннаго получается Теорема 1. Если 1' есть нъкоторая функц1я перемЪнныхь а, ж„...' т„, р„..„р„и „та означають два интеграла уравнен1я [~, т! =-О то [т„е,) не будеть интеграломь разсматриваемаго уравнен1я и будеть равняться нли нЪкоторой функц[и перемвнныхь е, то ..., х„, р,, „, р„или нулю. Пусть теперь т„.„т, суть интегралы уравнен1я [т; т] =О и пусть [т„-,,1 ~ 0, тогда .г[ь т.1[ [ч ° в[И[~ а[1-[т т.1[й[т ° тй , ° . ~ ~ з '[ее т [1 [т -«,з[* Ф„, Ф' [',.
ч1 д, [т вз1 — [т тз1 д, [т .ч1 — О, [в тз] точно такь же докажемь, что Изь сказаинаго слйдуеть Теорема 2. Если т„т„т, представляють интегралы уравнен1я Х 2]=о и [т„т,]=- о, то ["" т*1 н [ — "-1] [т М [т~~ '","з1 будуть тоже интегралами разсматриваемаго уравнен1я. Последняя теорема принадлежить Вейлеру '), который не даль однако ей правильнаго доказательства. Положимь теперь, что мы нашли рядь интеграловь ~;;„т.-, т, [г', т]=о уравнен1я 1[я, х„х„., х„, р, р„, р„) =о, мы знаемь, что съ этой цЪлью нужно опредвлнть и фупкц1й ~„~„..., 1'„такь, чтобы были удовлетворены уравнен1я: [1'„1',[= О, [~, Я = О, [Г„Я = О, [~, Я = о, [1„1,] = о. [г.„~; о, [Т; Я =о, У„Я=-о, [~„]'„]=о,..., [т'„„г'„] =о.
') Чзе11ег. ЬйезтаЫоа авт рагЫе11еа В1иегвпна12!е1сЗшаява. ЕейесЬпй 61т МаФЪешаййс аш1 Рьуе12 т, 20. 8, 271 — 299. и пусть примвнен1е вышедоказанной теоремы Вейлера къ этимь интеграламь не даеть ннтеграловь новыхь, мы скажемь тогда, что эти фунац1и образують группу Вейлера. Пусть теперь требуется интегрировать уравнен1е Для нахожден]я этихь функц[й ~„~„...; !'„:мы будемь поступать аналогично тому, кань поступали раньше. Составляемь уравнен!е и находимь его интегралы вь нЪкоторомь числЪ у+1 1~ 9~ 7а ."' ~ 7~ обрззующ!е грушф Вейлера.
Положимь — т1 Составляемь теперь уравнен!е и станемь искать его интегралы,выражающ1еся въ функц1и К, р„т„..., т„, для этого надо будеть интегрировать урав-' иеше раздЪлимь обЪ его части на [тг т,], предполагая, что эта функц1я не равна нуля, въ противномь случаЪ мы раздЪ- лили бы обЪ части уравнешя на другой коэффиц1енть. Получимь дв [т» тз] дт [т~ т ] дт -~-+ — — +...+ — -- — ' = О, оь [т ° т,] дт, ''' [то т,] дт. коэффиц1енты этого уравнен1я, на основан1и сказаннаго, бу- дуть функц1ями величинь т.
— бо Назевемь интегралы черезь т 79 тз ° ° 'р они будуть функц1ями ~, т„..., ~„и будуть составлять группу Вейлера. Дйкажемь послФднее. Мы имъемь у, т,[=о, у;;,.[ = о, [р„р',.[ = о. где|= — 2, 3,...,р — 1. Разсмотримь теперь функц!ю [т ).~ т ~Д [т'',т;) ' ''*-' . ; Л, а, г,р-2, З,...,р — 1 гдв [~. „, т',[-~ о; т. к. т „т, т,',,т, суть функц[и величннь Л, т„т„, т,, то дт'„, дт' — — '[" т1 дт; дт. 3 [т', т 4 [т'„, т,[ д,, зт, Д, — ' — '' [тьМ У вЂ” ' — '' где |', 1' = о, 1, 2,..., р и т, =~. Равд%линь: числитель и знаменатель дроби, стояп1ей въ правой части равенства, на гдв |, и 1', означають. два.какихъ-нибудь числа изъ ряда 1, 2, ..., р, мы увидимь, принимая во вниман1е, что функц1и 7г 'я ' ' ~ 7р образують группу Вейлера, что зта дробь будеть выражаться въ функц1и г, е„..., ~, Изъ сказаннаго слЪдуеть, что дробь выражаемая въ функц1и ~, т, т„..., т, будеть интеграломь уравнен1я ~то т1 = О.
Слъдовательно должна выражаться въ функц1и Положимь теперь Составляемь далее уравнен1е Г9'а: 93=о и станемь искать его интегралы, выражающ1еся въ функ,ц1и Г, е„т'„т'„..., с' „получаемь уравнен1е раздвлимь объ части на ~с,> "..1, предполагая, что зтогь козффиц1енть не равень нулю, въ противномь случае мы разделили бы на другой; получимь ду 1т'„т,!1 дт ~т,', т 1 дт ~~':з' 1т~ аз 1 д~а '~тз ~ т з1 ать-2 ' 154 Козффнц1енты етого уравнен1я будуть выражаться въ фУнкЦ1и 1"., то т'„т'„, т',, назовемь его интегРалы черезь они выражаются въ функц1и ~, т„т'„..., е',, и образують группу Вейлера. ПослЪднее доказывается такь же, какь и раньше.
Пол агаемь И т. д. Поступая указаннымь способомь, мы придемь къ ряду функц1й ,д — з <.— > г — > ~', 9о 7а рз Рз ' ~ '"я та+~ ' тр- — ю и можемь положить Для того, чтобы иятегрирован1е уравнешя 1".(г, х„х„... х„, р,. р„..., р„).=о, могло быть, указаннымь способомь, доведено до конца, нужно, слЪдовательно, чтобы р — и+1.~ и:, т. е. р~2и — 1, Но р не можеть быть больше .2и.— 1; слЪдовательно ' р=2и — 1. Предыдущ1я разсужден1я мы вели, отбрасывая частные случаи, могущ1е упростить интегрирован1е, легко было бы дополнить ихъ, какь зто было сдЪлано въ й П. Мы пришли къ заключенно, что для интегрнрован1я уравнен1я у'(г, а„, а„, р„, р')=О, укаааннымь способомь нужно въ самомь благопр)ятномь случае найти п интеграловь уравнен1я а въ самомь неблагопр)ятномь всв интегралы.
.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
