Слёзкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1123892), страница 26
Текст из файла (страница 26)
27 Лзвленьье, определяемое по формуле (7.10), будет зависеть и от переменного г. Рис. 36. Но если предполагать скорость сравни- тельно малой, а радиус внутренней дуги Ь сравнительно большим, то слагаемым, содержащим интеграл от квадрата скорости, мольно булет пренебречь и считать прнближбнно давление неизменным по толщине слоя, Полученное выше решение может быть использовано для рассмотрения течения в канзле, границы которого составлены частично нз прямолинейных стенок, а частично из дуговых стенок, Например, канал, представленный нз рис. 36, состоит из прямолинейного учзстка АВ, дугового участка ВВ и прямолинойного горизонтального учзстка )ЗС, )(авлення у входа А и выхода из канала С считаются известными.
Тогда, используя (9А) и (9.5), получим следующие формулы для Рззностей давлений в точках перехода от прямолинейных участков к криволинейным, при одном и том же расходе: 6 101 плоско-паваллальнон гадиальное течкник вязкой жидкости 130 Полученная формуаа для расхола являетса приближенной, так как прн напи- сании (ягй) не учитывалось изменение давления на криволинейном участке по радиусу. й 10. Плоско-параллельное радиальное течение вязкой жидкости Предположим, что траектории всех частиц вязкой и несжимаемой жидкости при ев установившемся движении представляют собой прямые линии, расходящиеся от оси л, т.
е. о — О, о,=0. (104) Прн зтом предполоькегьии дифференциальные уравнения (7.1) в цилин- дрических координатах принимают вид до„ и дг ! др = — — — + р дг ! дог ! данг дто„ог Х + г+ г+'у г г дг 'га дта дха га)' др , 29 до„ дт (10.2) дя — (го,) = О. д гдг На основании последнего уравнения (10.2) мы заключаем, что произведение радиальной скорости ог на радиус г не будет зависеть от г. Положилп го„= и. (10,3) Будем предподагать движение плоско-параллельным, т. е, дог ~~ — — О. (!0.4) После интегрирования по аь второго уравнения (10,2) получим: р = — а+у(г), (10.3) Так как левая часть (10.6) не зависит от г, а правая часть зависит только от г, то обе части должны быть равны одной и той же Подставляя значения ог из (! О 3) и р из(10 5) в первое уравнение (10 2), получим: на+ 4ьи+ т — = — га — . дал ! аУ дта — р д ' (10.6) 140 точнов интвгриэованив травнзний тстлновившвгося движения (гл.
1ч постоянной величине, т. е. гэ иг — — =А, р иг Отсюда находим выражение для функции 7: Ар 2 э+ 2гэ Таким образом, давление в рассматриваемом радиальном течении будет представляться в зиле (1 0.7) Дифференциальное уравнение для функции и будет иметь вид а"зи э — + 4тц+цз = А, итэ ии Умвожнм обе части этого уравнения на — и проинтегрируем; пои! лучнм; (10,8) 2 и +2 иэ+ 3 цэ 4и+Сг 2 хиту нли — ) = — — иэ — 4иэ+ — и+С = — — Р(и), (10.9) (,)= ии'1э 2 э 2А 2 где Р(и) представляет собой многочлен третьей степени Р(и) = из+ бэиэ — 3Аи + С.
(10.10) Извлекая квадратный корень из левой и правой части (10.9) и разлеляя переменные, получим формальное решение уравнения в виде эллиптического интеграла ~р= ~ +Е>. / 2 3 =" фl — — с (и) (! 0.11) О=2 ~ оггНу= 2 ~ иду. (!0А3) Решение (10.11) будет содержать три произвольных постоянных А, Си О, для определения которых необходимо задать граничные условия. Рассмотрим теперь конкретный случай радиального течения между плоскими сходящимися неподвижными стенками (рис. 37). Обозначий половину угла раствора через ре. В силу условия Рнс. 37. прилипания: при й = -.Те и —— О. (10.12) )хля расхода О будем иметь следующее выражение: то т $10] плоско-пАРАллальнов Ралилльнов тачянии вязкой жидкости 141 Булем различать два случая радиального течения: расходящееся и сходящееся.
Для расходящегося течения радиальная скорость положительна, а величина и убывает от оси к верхней стенке, т. е. о >О Г<0 0<9<90 а для сходящегося течения, наоборот, о,(0, — )О, 0(ф('Ре. Обозначим корни многочлена (10.10) через е, ея и е, т. е. положим: г'(и) = (и — е,)(и — ея)(и — е„). Сумма этих корней равна коэффициенту при квадрате в (!О.!0) с обратным знаком е,+ея+е„= — б, (10.14) Пусть все эти корни действительны и пусть е, ) ея ) ез. Тогда примерный график этого многочлена будет представляться кривой, подходящей к оси абсцисс и с отрицательной стороны оси ординат н пересекающей ось абсцисс три раза (рис.
38). Так как много- Рнс. 38, член входит в правую часть (10.9) с отрицательным иножителем, а левая часть существенно положительна, то области графика, где многочлен будет положительным, должны исключаться из рассмотрения (этн области покрыты штриховкой). В силу граничного условия (10.12) начало абсцисс (и = 0) должно вхолнть в области, где Г(и)(0. Но левее точки и = ля начало осн абсцисс не может быть, ибо тогда все корни оказались бы положительными, а это исключено соотношением (10.!4). Следовательно, начало оси абсцисс должно располагаться где-то межлу г, и ез и оно будет разбивать область возможного радиального течения на две отдельные области. Для области справа от начала мы будем иметь: 0 (и (е,, еэеэ) О. (10.15) 142 точнов интвгвитовлнив хтлвнвний хстлновившвгося лвижвния [гл.
ш (10. РУ) 0 (и (ео евез)О. Таким образом, длв чисто расходящегося течения ив (!0.9) н (10.13) имеелн ии Г» 2 3 — = — 1/ — у'(е — и) [ив — (е + ез) и+ е,ез), 3» и ии »Ц = — 2и»(в = — 2 — ~Г 2 )г(гч — и) [ед — (а, + ел) и + е,ез[ (10.18) (10.19) Проводя интегрирование по переменному и в пределах от ел до нуля, а по в от нуля до вз и используя (10.!4), получим: ч, ~/2, ( 3» З У~(ел — и) [ил+(6»+ел) и+лез) ~ У(ел — и) [ил+ (6»+ ел) и+ елее) езез ) О, е,+ез+езив — бч.
(10.22) Полученные соотношения (10.20), (!0.2!) и (10.22) позволяют определить значения трах корней е,, е., ез по заданным значениям вз, С~ и . Практически же, конечно, удобнее поступать в обратном Этой области будет отвечать чисто расходящееся радиальное течение. Для области же слева от начала будут иметь место неравенства ев ( и ( О, елез О, (10.16) т. е. этой области будет отвечать чисто сходящееся течение.
Так как корни многочлена г'(и) отвечают экстремальным вначеняям функции и (в), то в первом случае величина ел будет представлять собой максимальное значение и, имеющее ггцх место на линии симметрии (в =0), Л а во втором случае ея будет представлять минимальное значение и, ц имевшее место также при в=О. Если же многочлен Р(и) будет l иметь только олин лействительный корень е,, то графин этого много- члена будет примерно представлятьсв кривой на рис.
39. Область, располоРнс. 39. жениав справа от е,, где г" (и) ) О, дол>хна исключаться из рассмотрения. Начало оси абсцисс лолжво располагаться тогда слева от е,. Области, расположенной межлу началом и е,, будет отиечать чисто расходящееся течение, для которого имеют место неравенства 10) плоско-паг*ллвльнов гади*льнов твчвние вязкой жидкости 143 правая часть (10,20) с множителем е, будет больше правой части (!0.21). Следовательно, будем иметь неравенство 1 Ре'г) 2!С (10.28) Смысл этого неравенства очевилен: произведение половины угла раствора плоского диффуэора на радиус и на максимальную скорость, имеющую место на линии симметрии, конечно, будет превышать значение половины общего расхода. Далее, так как е >О и все слагаемые в квадратной скобке под знаком корня в (10.20) положительны, то, отбрасывая в этой скобке слагаемые из и е.е, мы уменьшим знаменатель под интегралом и, следовательно, увеличим всз подинтегральное выражение, т.
е. будем иметь: ч, (' 2 ( чаи —;,<( 3" ' ч' г'(бч -)- е )и (е, — и) (10.29) порядке, т. е. эалазать два значения из трах е,, е, ез и определять отвечающие им эначениз ч7з и 1;). Дла чисто схолЯщегоса течениЯ из (10 9) будем нметвп ии Г2 „— = 17 — р'(ез — и)(иа+(6ч+ез) и+е,ез), (10.23) ла — У 3. Ф;ч = 2и с(т = 2 . (10.24) 2 у'(еэ — и) [из+(бч+еа) и+егеэ) Для определения же значений е, ея и ез должны быть использованы следующие соотношения: е 2 ац (10.25) I )'(ее — и) (из+(вч+ез) и+еаеа) о 1 / 2 1 иди — — ) — — — —, (10.26) 2 г Зч ) У.( ц)(цзЧ (6, !,а)и+, „) ' ч, еаеэ<0, е +е +ез= — бч.
(10.27) На основании соотношений (10.20), (10.21) и (10.22) можно пока- зать, что чисто расходящееся течение будет возможно только при сравнительно малых углах раствора плоского диффузора. Чтобы показать это, установим два неравенства. Если правую и левую части (10.20) умножить на е,, то в силу того, что и <е, 144 точное интагеиеовлнив теавввний зстановившагося движения (гл, гв Интеграл, вхолящий в правую часть (10.29), имеет следующее значение: = агс з)п ~ — — я.
,~ ) (.,— ) е, а ееа — — (и — — ) ~ь Следовательно, неравенство (10.29) представляется в виде 7а < 21г 1+ — ' (10.30) Таким образом, расходящееся течение в плоском диффузоре возможно при половинном угле раствора оа, удовлетворяющем неравенству (10.30), С увеличением расхода, т. е. увеличением е,, и с уменьшением кинематического коэффициента вязкости ч предельный угол раствора диффузора для чисто расходящегося течения будет уменьшаться.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
