Слёзкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1123892), страница 23
Текст из файла (страница 23)
ш установившемся прямолинейно-параллельном движении вязкой несжи- маемой жидкости в цилиндрическо8 трубе той же формы надо лишь положить! рл 1 др 2пдх' ~ (2 7) Рассмотрим теперь задачу о кручении призматического бруса, сечение которого представлено на рис. 25. Принимая по Сен-Венану г) компоненты упругих смещений в виде и = тр(у, г), тз = — тхр, где с — степень кручения, е — функция кручения Сен-Венана, на основании уравнений равновесия получим для р уравнение Лапласа — + — =о.
дат дат дуз длз Вводя сопряженную с р гармоническую функцию ф и удовлетворяя условию отсутствия поверхностных снл на боковой поверхности бруса, приходим к задаче Днрихле д— '~+Я=о; дуз на границе (2,8) (Р' ) ь»(Р' ) 2(Р + 1 умножить на постоянный множитель, равный 1 дрл 2р дх' Следует обратить особое внимание на последнюю аналогию рассматриваемой нами аздачи о прямолинейно-параллельном установившемся движении вязкой несжимаемой жидкости с задачей круче- г) Л ей бе неон Л.
С., Курс теории упругости, 1947, стр, 240. Сопоставляя задачу (2.8) с задачей (2,1) н (2,2) мы заключаем„ что для перехода к соответственной задаче о прямолинеИио-параллельном установившемся движении вяакоп нвшкнмаемой жидкости надо постоянное С в (2.8) считать равным нулю, а функцию ф, связанную с функцией напряжений кручения соотношением я 3) дзижаввз жидкости мюкдт двтмв пагаллзльнымн ставками 121 иия призматического бруса. Задачи о кручении призматического бруса решены к настоящему моменту для весьма разнообразных случаев поперечных сечений. Пользуясь указаииой аналогией, можно весьиа просто получить и решения соответствеивых задач о движении вязкой несжимаемой жидкости.
ф 3, Прямолинейно-параллельиое движение жидкости между двумя параллельными стенками Рзс. 26 при граничных условиях при у= — в и=0,, (3.3) при у=я п=()в. Так как правая часть (3.2) постояина, то общее решение дифферея- циальиого уравнения будет представляться в виде 1 др, в = — — у +С,у+С. (3.4) С и Сз определяются из граничных условий (3.3): 1 С = — „(У вЂ” У,), Сз =-,(и,+иИ вЂ” „," Д. Таким образом, решение рассматриваемой задачи, удовлетворяющее граничным условиям (3.3), будет иметь вид 1 дрх 1 у 1 2„д (йз — ут)+ 2 д ((l~ — ()~)+ 2 (У~+У~).
(3.6) В качестве простейшего примера задачи (1.8) прямолинейно- параллельного движения рассмотрим установившееся движение вязкой несжимаемой жилкости между двумя параллельными стенками, простирающимися в направлении осей х и з до бесконечности (рис. 26). Обоаначим расстояние между стен- У кани через 2Ь. Начало оспу возьмем на средней линии между стенками. Из предположения о плоско-параллельности движе- .т ел ния следует: †" = О, (3.1) дз Пусть нижняя стенка перемещается с постоянной скоростью Пм а верхняя — со скоростью Уз.
Тогда рассматриваемая задача (1.8) сведется к решению обыквовеииого дифференциального уравнения дзз 1 др„ (3.2) дуз я дх 122 тон~он нитнгвнтовлннв твлвианнй нстановнвщягооя движаиня [гл, гм Первое слагаемое правой части (3.5) представляет собой то параболическое распределение скоростей в сечении, которое обусловлено наличием одного лишь перепада данлений. Остальные слагаемые представляют собой линейное раскределекие скоростей, обусловленное движением самих стенок. Пользуясь гипотезой Ньютона ди 'С )В ду для силы вязкости будем иметш дрд 1 = — „"у+ — — (и,— и). дх 2,Л (3.6) (3,7) Подставляя в правую часть (3,7) значение и нз (3.5) и выполняя интегрирование, получим следующее выражение для расхода: .2дрл а д= — '— „"- йз+й(и,+и).
(3.8) Таким образом, прн течении, обусловленном одним перепадом давлений, расход пропорционален перепаду давлений и кубу расстояния между стенками и обратно пропорционален коэффициенту вязкости. Прн течении же, обусловленном движением стенок, расход пропорционален алгебраической сумме скоростей и половине расстояния между стенками.
Деля расход на расстояние между стенками 2Ь, получим выражение для средней скорости О 1 дрд 1 и = — = — — — лаз[ (и [ и) 24 Зн дх 2 (3 З) Рассмотрим случай неподвижных стенок и,=о, из=о. Максимальная скорость в этом случае будет иметь место на средней линни, т. е. прн у = О 1 дрд 3 и = — — — аз= — и, 2н дх 2 (3.
10) Таким образом, параболическому распределению скоростей в сечении будет отвечзть линейное распределение силы вязкости, а линейному распределению скоростей †постоянн аначение силы вязкости. Обоаначни через О расход, т. е. тот объем жидкости, который проходит через каждое сечение за секунду: 'й 3) двнжвнии жидкости мкждт дврмя плвлллвльными станками !23 Максимальная скорость будет в полтора раза больше средней скорости. Максимального значения сила трения будет постигать на стенках; дл„ = — "й.
дх Зз козффициеиш соирошиелеиия плоской трубы примем отношение максимального значения силы трения к значению кинетической энергии единицы ОбЪЕма: 1,,! 2д (3.12) ! р р 2 вирр вирр дх Подставляя значение. перепада давлений из (3.10) дрл и,р -3 — = — зр — „, и и вводя число Рейнольдса и лр й=— Ор (3.13) 3) соотношением 4) график коэффициента сопротивления на логарифмической диаграмме предст"вляет отоезок прямой с наклоном в 45', получим следующее выражение для коэффициента сопротивления: Х = —. (3,14) Таким образом, при прямолинейно-параллельном установившемся течевии вязкой несжимаемой жидкости между параллельными неподвижнынн стенками коэффициент сопротивления обратно пропорционален числу Рейнольдса.
Если по оси абсцисс откладывать логарифмы чисел Рейнольдса, а по оси ординат †логариф значений коэффициента сопротивления, то график сопротивления будет. представляться прямой линией, отсекающей одинаковые отрезки от осей координат (рис. 27). Рассмотренное движение между парал- лели лельнымн стенками называется лахрина)риыхр. Таким образои, ламинарное движе- Рнс. 27. ние между неподвижными параллельными стенкаии характеризуется слелующнми необходимыми признаками: 1) прямолинейностью траекторий частиц, 2) параболическим профилем распределения скоростей по сечению 1 дрх и = — — — "(йв — уэ), 2и дх 3 имре = 2 ирр 124 точнов иитвггигования эглвнвний эстлнозившвгося взимания (гл.
ш Поскольку при выводе всех соотношений было использовано предположение о прямолинейности траекторий частиц, постольку эти соотношения могут оправдываться только тогда,' когда траектории всех частиц действительно будут прямолинейными. Прямолинейный характер траекторий частиц можно ожидать тем скорее, чем меньше будет расстояние между стенками и чем меньше будет средняя снорость частиц. Наблюдения с помощью окрашенной жидкости подтверждают такое заключение; действительно, прямолинейный характер траекторий частиц имеет место при определенных значениях числа Я, не превышающих некоторого предела, называемого иришичеслим числом Рейлольдса. ф 4.
Прямолинейно-параллельное движение вязкой жидкости при наличии свободной границы Рассмотрим установившееся прямолинейно-параллельное течение вязкой несжимаемой жидкости при наличии одной твердой плоской стенки и одной свободной границы. Так как на свободной границе ((7.10) гл. П) давление должно быть постоянным, то вдоль этой границы оно не будет зависеть от х, т. е.
др дх О. (4.1) Следовательно„ в этом случае перепада давления вдоль течения не может быть, и само течение может иметь место только при наличии наклона твврдой стенки к горизонту, т. е. под действием силы тяжести. Так как давление, строго говоря, нельзя в рассматриваемом случае представить в виде суммы (1.5), то для решения аадачи следует обратиться непосредственно к уравнениям (1.4).
Обозначим угол наклона твердой стенки (дна) к горизонту через и и выберем ось х параллельно направлению стенки (рнс. 28). Так как проекция силы веса единицы массы на ось х булет равна Р =Д51П и, то первое уравнение (1.4) при учете (4.1) и при предположении, что скорость и не зависит от координаты у, представится в виде аэи л — = — — пп а. иуа В силу условия прилипания при у=О и=О, (4.2) (4.3) Рнс.
28. и так как на свободной границе сила вязкости на единицу площади должна обращаться в нуль ((7,10) гл. П), то соответственное гранич- 6 41 двггквниз жидкости пти наличии сзогюдной ггвницы 125 нос условие для скорости будет представляться в виде: ду (4.4) при Общее решение дифференциального уравнения (4.2) имеет вид и = — — з!п аут+ С~у+ Св. 2» На основании граничных условий (4.3) и (4.4) получим: С, = — ыпа, ил » Сэ = О.
Таким образом, решение рассматриваемой задачи будет представляться в виде и = ~~ з!и «(2уй — у ). (4.5) Максимальная скорость имеет место на свободной границе йвз 2» (4.6) расход ь7 равен О= ~ ис!у = — з!и а. 1 ив7 =3 о (4.7) дрд х дх (4.8) Формула (4.8) получается из первого уравнения (1.6) при испольвованни условия (1.5). Следовательно, для рассматриваемого случая можно было задачу решать в другом порядке, а именно сначала воспользоваться уравнениями равновесия (1.6) и определить из них перепад статического давления, затем воспользоваться (1.5) и, требуя отсутствия перепада полного давления, определить соответственный перепад динамического давления.
После этого взять решение задачи между двумя параллельными неподвижными стенками, заменить в нем перепад динамического давления согласно (4.8) и рассматривать только течение между стенкой и средней линией, на которой сила вязкости обращается в нуль. Сопоставляя полученную формулу (4.7) для расхода с формулой (3.8) для случая течения между двумя неподвижными стенками, мы заключаем, что формулу (4.7) можно получить ив формулы (3.8), разделив правую ев часть на два и заменив перепад динамического давления через рдз!и а: 126 точнов интнггнговлнии тглвнзннй гстлновившзгося двнжвния 1гл.
!т $ 6. Прямолинейное движение вязкой жидкости в цилиндрической трубе Дифференциальное уравнение Пуассона (1.8) в полярных координатах г и е представляется в виде дзи 1 ди ! дзи ! дрд — + — — + — — = — — ' ° дгз г дг гз дтз И дх Будем предполагать, что установившееся прямолинейно-параллельное течение вязкой несжимаемой жидкости в круглой цилиндрической трубе обладает осевой симметрией, т. е. ди — вж О. дт При этом предположении уравнение (5,1) примет внд Лзи 1 ди 1 др„ х дгз г дг и дх ' (ог.3) Обозначая радиус трубы через а, записываем граничное условие: (о.2) при г = и и их О.
(5.4) Представляя дифференциальное уравнение (5.3) в виде и проволя последовательно два интегрирования, получим общее решение рассматриваемого уравнения ! др, и = — — гз+С!пг+С. дх Я' Так как определяемая скорость и должна быть конечной при всех вначениях г, а найденное общее решение обращается в бесконечность при г = О, т. е. на оси трубы, то мы должны положить: С, = О. Используя граничное условие (5.4), получим: 1 дрд С = — — — "аз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
