Слёзкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1123892), страница 22
Текст из файла (страница 22)
(4.13) л Для случая несжимаемой жидкости 8 = 0 и 77= — ~ ~ р(Ы+жу'+ий)~78+и ~ ~ — гЖ (4.!6) д, = сопя!. Граничное условие прилипания в этом случае (и 0) представится в виде при ~ух — — и н = О, оя = О. Так как условия (4.18) выполняются при постоянном значении координаты йы то их можно частным обрззом дифференпировать по второй координате дв, т. е. дЧа ' ддз Используя (4.18) и (4.19), из уравнения иесжимаемости (4,17) получим: при д = а — ' =- О. 34г (4.1 9) (4,20) Первое слагаемое представляет собой реаультирующее воздействие жидкости иа тело, обусловленное давлением, а второе — результирующее воздействие на тело сил вязкости. ( др двв Для плоско-параллельного течения 1н = О, — = О, — = 0) и дв ' да до„ лв для осесимметричного (н = О, ф = О, — * = 0) уравнение несжидт ' дг маемости (1.8) главы !! в кРиволинейных кооРдинатах дм дв, 4з бУ- дет представляться одинаково: — — (п,Н Нз)+ — ( И 7(х) = О, (4.!7) дег г Я з дев Допустим, что в потоке вязкой несжимаемой жидкости помещено неподвижное тело с поверхностью 5 и криволинейные координаты выбраны таким образом, что эта поверхность входит в семейство координатных поверхностей 1(4 овгдив свойства движвния вяакои жидкости [гл.
гн Ндй(!з, можно напнсатзс дгг 1 д дп Нздйг( з з+ Используя (4.18) и (4.20), будем иметь; (4,21) Главный вектор воздействия вязкой несжимаемой жилкости на неподвижное тело из (4.16) будет равен (4.22) Компонента из вектора вихря в криволинейных координатах на основании (8.8) главы ! представляется в виде 1 1д д мз —— — 1! — (о,Н) — — (о Н )1. 2НзНз |.доз з доз (4.23) Учитывая равенства (4.18) и (4.19), будем иметгк 1 д, (мз) 2Н, дйз' Подставляя значение — из (4.24) в (4.22), получим: доз де, (4.24) )ч =- ~ ~ ( — р! +2рмзгз)сЮ, (4,25). Таким образом, при плоско-параллеленом и при осесимметриеном обтеканиях неподвижного тела воздействие вязкой несжимаемой жидкости на зто тело зависит от распределения по его поверх.
ности давления и вихря. Обоаначая череа !з, 1з, и ! единичные векторы касательных к координатным линиям в рассматриваемой точке на поверхности 5 и учитываи, что линейный элемент нормали к этой поверхности будет равен ГЛАВА!у СЛУЧАИ ТОЧНОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ .ЖИДКОСТИ 1. Общая 'постановка задачи о прямолинейно-параллельном установившемся движении жидкости р = сопз! и движение предполагать установившимся дэ' !) главы Н будут представляться то дифференциальные уравнения (8. в виде ди ди ди и — +и — +ш — = дх ду дх ди ди ди и — +о — +ю — = дх ду дг дш дш дм и — +о — +тл — -= дх ду дх ди ди дм дх+ ду+ дх г" — — — +тби, 1 др р дх Р— — — +ибо, 1 др р ду (!.1) г",— — — +ч бю, 1 др О.
Рассмотрим случай, в котором траектории всех частиц будут строго прямолинейными н параллельными между собой, т. е. озмО, твемО. (1.2) В конце главы Н было укааано, что наиболее простым способом решения дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости является способ, в основе которого лежит заранее принимаемое пред* положение о форме траекторий всех частиц жидкости. В данной главе, следуя этому способу, рассмотрим отдельные примеры установившихся движений вязкой и несжимаемой жидкости.
Если жидкость считать несжииаемой 116 точнов ннтяггиговлнив тглвняний ястлновившвгося движения !гл. нг При этом предположении из уравнения несжимаемости будем иметь: (1.3) Таким обрааом, единственная проекция вектора скорости и вдоль всей траектории будет оставаться постоянной и может иаменяться только в поперечном к траекториям направлении.. При использовании (1.2) и (!.3) дифференциальные уравнения (1.!) еще более упростятся: — О, ду — О.
дл (1.4) Обратим внимание на то обстоятельство, что благодаря предположениям (1,2) и следствию из них (1.3) квадратичные члены инерции совершенно выпали из полных уравнений (1.2). Представим давление в аиде суммы двух сяагаемых, из которых одно будет представлять стаглическое давление, обусловленное действием массовых сял, а второе — динамическое давление, непосредственно свяаанное с движением жидкости, т, е. Р = Рс+ Рл.
(1 Л) Статическое давление определяется из уравнений равновесия (1.6) Подставляя (1.5) в уравнениа (1.4) и используя уравнения (!.6) и выражение для кинематического коэффициента вязкости 8 Р (1."г) Р е 1 гч я р 1 Р Ф г получим следушщие уравнения: др„ ду дрл — = О. дл 1 др„. г дх 1 др, г ду 1 дрь р дл ф 11 пгямолинвйно-пьтллляльиов установившаяся движвнив 117 Ка основании последних двух уравнений (1,7) заключаем, что динамическое давление не булет зависеть от у и х. Так как правая часть первого уравнения (1.7) аависит от у и л, а левая часть может зависеть только от х, то левая и правая чзсти етого уравнения должны быть равны одной и той же постоянной величине, т, е, дрл — = сопа1, дх Таким образом, лля прямолинейно-параллельного установившегося движения вяакой несжимаемой жидкости перепад давления на единицу длины в направлении движения постоянен, Задача об изучении прямолинейно-параллельного установившегося движения вязкой несжимаемой жидкости сводится н решению дифференциального уравнении Пуассона дзи дги 1 дрд дуз дез и дх ' —.+ — = — — ', (1.8) правая часть которого представляет собой постоянную величину.
Если движение частиц жидкости считается прямолинейно-параллельиыи, то границы жидкости должны быть строго цилиндрическими поверхностями, образующие которых параллельны траекториям частиц. Так как скорость и частиц не зависит от координаты х, то достаточно рассмотреть лишь одно сечение границ течения в плоскости уОл. В простейших случаях границы течения в плоскости уОз могут состоять либо из одного, контура, либо из двух контуров, из которых один будет находиться внутри второго (рис.
24). В первом случае область будет односвязной, а во втором — двусвяаной, Чтобы удовлетворять условиям прямо- Рис. 24. линейности траекторий частиц и стз ционариости движения, границы теченкя должны 1) либо быть неподвижными, 2) либо перемещаться параллельно самим себе с постоянной скоростью. Принимая в качестве граничного условия условие прилипания, будем иметь в первом случае на неподвижной границе и=0, (1. 9) а во втором случае на подвижной границе и = У = сопя1. (1.1О) Таким образом, задача изучения прямолинейно-параллельных установившихся течений вязкой несжимаемой жидкости сводится к решению уравнения Пуассона (1.8Р пои гоаничных условиях (1.9) и (1.10), 118 точнов инткгвитовлник тзлвнкний тстлиовившкгося движкния [гл.
ш Так как правая часть уравнения (1.8) является постоянной, то его можно свести к уравнению Лапласа следующей заменой: 1 дРл и = ф+ — — '(уз+аз). 4Н дх (!.11) При такой аамене рассматриваемая задача о прямолинейно-параллельном движении вязкой несжимаемой жидкости будет сводиться к решению уравнения Лапласа для функции ф дьт два ,—,,+ д„=б при граничных условиях: на неподвижной стенке 1 дРл Ф=- — — "(у +за), 4н дх на подвижной стенке (1.!3) 1 др (у л(з! 4Н дх (1.14) й 2. Аналогия задачи о прямолинейно-параллельном движении вязкой жидкости с задачами вращения идеальной жидкости и с задачей кручения призматического бруса при граничном условии 1 дрд ф = — — — "(у'+") (2.2) 4р дх 1 дрд где коэффициент ††" является постоянным.
дх Представим себе, что цилиндрический сосуд, сечение которого совпадает с сечением трубы (рис. 25), наполненный идеальной и Поставленная в предшествующем параграфе задача об установившемся прямолинейно-параллельном течении вяакой несжимаемой жидкости в математическом отношении сходна с некоторыми задачами о движенки идеальной жидкости и с задачей о кручении приаматнческого бруса. ,~' Рассмотрим случай односзязной области ,Г в плоскости уОя в предположении, что ограничивающий контур представляет собой неподвижную тверлую стенку. Задача об Рнс.
25. изучении установившегося прямолинейно- параллельного течения вязкой несжимаемой жидкости в трубе постбянного сечения с произвольным очертанием (рнс. 25) сводится к решению уравнения Лапласа (2,1) дуз 8 2) аналогия задачи о пвямолииайно-плялллвльиом двнжвнии 119 яесжимаемой жидкостью, вращается с угловой скоростью и зси к. Предполагая движение идеальной жидкости внутри беззнхревым, задачу можно свести для функции тока ф к кирилле ') вокруг сосуда задаче д~+дь) О.
дуз дкз (2.3) на контуре Ф= — 2м(у'+ ')+С 1 (2,4) Таким образом, от решения рассмотренной задачи вращения идеальзой жидкости можно перейти к решению соответственной аадачи з прямолинейно-параллельном движении вязкой жидкости с помощью адней только замены угловой скорости через перепад давления 1 ~Рл 2и дк Постоянное С в (2.4) следует тогда положить равным нулю. Предаоложим теперь, что неподвижный цилинлрическнй сосуд с сечением, представленным на рнс. 25, заполнен илеальной несжимаемой жидкостью, но находящейся в вихревом движении.
Если частицы идеальной жидкости перемещаются только в плоскости уОг, то уравнение несжимаемости будет представляться з виде дп дм — + — =О, ду дк а вихрь вектора скорости будет равен дуз дка — + — = — 2м при граничном условии (2.5) (2.6) ф = с. Сопоставляя эту задачу с аадачей (1.8), (1.9), мы приходим к тому заключению, что для формального перехода от решения аадачи о вихревом плоско-параллельном лвижении идеальной несжимаемой жилкости с постоянной интенсивностью вихря к решению задачи об г) См.
Кочин, К ив ель к Розе, Теоретическая гндромеханика, а. 1, 1948, сгр. 288. Так как граничный контур является линией тока, то на границе функция тока будет равна постоянной величине. Если положить интенсивность вихря во всей области постоянной, то тогда задача изучения движения идеальной несжимаемой жидкости сведйтся к решению уравнения Пуассона 120 точнов интзггнговлнив ттлвнвниИ тстлновившвгося двнжвния (гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
