Слёзкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1123892), страница 21
Текст из файла (страница 21)
е. Е = 4РЕ =бра'. 12,! 7) Умножая левую и правую части (2.12) на элемент Объема дс и проводя интегрирование по всему объйиу, получим количество иеханической энергии, рассеиваемой за единицу времени в конечном объйме т. ~ Ег)г= 4и ~ ( ~ (е'з +а,'-' ) аг),)т 4 ~' ~ ('(до да ди да ды ди да ди ди де ди дп) дг ду да дх дх дх дх ду ду дх) Если границы объема т будут представлять собой неподвижные твйрдые стенки, на которых в силу условия прилипания проеицни вектора скорости булут обращаться в нуль, то после интегрирования по частям булем иметь: 1 )да да [да ю — с05 (п, я) — й- с05 (п, а) е)5 — = О, и аналогично с другимн слагаемыми в правой части (2.13). Следовательно, при движении несжимаемой жидкости, заключанной в неподвижном объеме, полное количество рассеиваемой механической энергии за секунду будет зависеть только от интенсивности вихрей внутри объема и будет представляться в виде )ое овщиз свойство движвния вязкой жидкости [гл.
щ й 3. Подобие течений вязкой несжимаемой жидкости Лифференциальные уравнения (8.!) главы П движения вязкой несжимаемой жидкости преобразуем к безразмерным величинам. Для этого все входящие в эти уравнения величины выразим через величины той же размерности, но являюгциеся характерными для рассматриваемого те<ения. Так, например, прн движении жидкости в круглой цилиндрической трубе за характерный геометрический размер можно взять диаметр трубок а за характерную скорость — срелнюю скорость по течению. При обтекании жидкостью шара за характерный размер можно взять диаметр шара, за характерную снорость — скорость потока на бесконечности и за характерное давление †давлен на бесконечности.
Аналогично обстоит дело и в других случаях течений. Введам следующие обозначения для характерных величин: )э в линейный РазмеР, )г — скоРость, Ро — лавленне, То — вРемЯ, Ло — сила, приходящаяся на единицу массы. Эти характерные величины можно рассматривать как своего рода масштабы соответственных величин рассматриваемого течения. Все переменные размерные величины будут представляться в виде пронзвелений характерных масштабов на безразмерные величины. Таким образом, мы будем иметь: х — йох» и = 1'ол», Гх = зарх, У'=тоУ» с= Тот * о= !»ооы Р =йорг го=»Тогу ~ !8 !) х =. ход,; ш = )гож,; Т» -- КО"ч Подставляя эти выражения в дифференциальные уравнения движения вязкой и несжимаемой жидкости и разделяя первые три полученные "о уравнения на множитель —, стоящий при квадратичных членах ьо инерции, получим следующие уравнения; ьо ди» ди, ди~ ди» вЂ” — + л — + о — + тв — =- То!Го дГ» ' дх, ' ду, ' дх, Го до, до, дп, дш — — — — +и,— +о — +ш То!го дт» т дх»» ду» т дх» ро г о ьо доо, дм» дш» дш» — — +л — +о — +ш —.
= Тот»о дтт» дх, ' ду» т дх, И»Е»» ро др» Ь'„у!1оз дог й»о» о ди» до» дш~ — + — + — =О, дхт ду, дх, й 31 подавив ташний вязкой насжимлемой жидкости 107 — ' —., =Е. Рь Ьь" ь (3,3) Число, содержащее ускорение силы тяжести, называется числом гдруда (1870 г.) 1г — ' — Е. (3.4) аль Число, содержащее характерное время, именуется числом Струхаля (1878 г.) — == 8 (3.5) Наконец, число, содержащее кинематический коэффициент вязкосги, называется числом Реапольдги (1883 г.) — =й.
1. У ч (3.6) Решения лифферепциальных уравнений (3.2) для безразмерных скоростей и,, о, и ш, и давления р, будут зависеть от четырех характеристических чисел Е, Г, 8 и (с. Следовательно, некоторые качественные особенности течений вязкой несжимаемой жидкости будут предопределяться знзчениями этих характеркстических чисел. Особенное значение приобретают эти характеристические числа при рассмотрении вопроса о подобии течений вязкой несжимаемой жидкости. Многие вопросы гидромеханики, необходимые для техники, решаются при помощи экспериментоз с уменьшенными моделями.
При проведении таких эксперииелтов возникает вопрос о выборе размеров моделей, значений характерных скоростей и прочих характерных величин. Возникает также вопрос о возможности перенесения результатов экспериментов на натуру. На все эти вопросы даат ответ теория подобия течений жидкости. Условия механического подобия двух течений вязкой несжимаемой жидкости включают в себя условия: а) геометрического подобия, б) кикематичгского подобия и в) динамического подобия. Лля выполнения условий геометрического подобия двух сравниваемых течений необходимо не только подобие самих границ, но и подобие их взаимного расположения.
При выполнении этого условия можно Все слагаемые в уравнениях (3.2) будут безразмерными величинами, поэтому будут безразмерными и входящие в эти уравнения множители, составленные из характерных размерных величин, Этн безразмерные множители называются характеристическими числамл течений вязкой несжимаельой жилкости. Каждое из этих чисел принято называть по имени того автора, который впервые ввйл его в рассмотрение, и обозначать его начальной буквой фамилии этого автора, Число, содержащее давление, есть число Эйлера (1745 г.) 108 овщив свойства движения вязкой жидкости (гл. ш говорить о соответственных точках рассматриваемых двух течений и соответственных отрезках, причем отношение двух любых соответственных отрезков будет равно постоянному числу, т. е.
(х)п (у)п (л)п (Ео)и (х), (у), (а)! (Ео) (3.7) где )лл — коэффициент геометричесного подобия двух рассллатриваемых течений. При выполнении условия геометрического подобия двух течений вязкой несжимаемой жидкости можно говорить о кннематическом подобии этих течений. Если выбран коэффициент пересчета времени, т, е. гп (То)ц (То)! (3.8) то кинеллатическое подобие булет иметь место тогда, когла отношение проекций векторов скоростей в любых соответственных точках будет постоянным, т.
е. (и)п (и)п (ил)н ((со)п (и)! (и)! (ил)! (Ло)! (3.9) гдле )лг — коэффициент кинеллатического подобия. Наконец, о динамическом подобии двух течений вязкой несжимаемой жидкости можно говорить лишь тогда, когда отношении: а) проекций векторов массовых сил, б) величин давления и в) компонент вязких напряжений з любых соответственных точках будут постоянными, т, е. (('и)п (Ро)п (Ело)» (Рх)! (Ри)! Пил)! (Ро)! (3.10) (3.11) (Р и Р)п (Роо гР)н (Рол т Р)п (Рии+ Р)! (Рви+ Р)! (Р +Р)! (Рии)п (Рио)ц (Рли)п (Рии)! (Рио)! (Р )! При выполнении всех условий (3.7), (3.8), (3,9), (3.10),(3.! 1) и (3.12) два сравниваемых течения вязкой несжимаемой жидкости с постоянным коэффициентом вязкости будут по самому определению механически подобными.
Подставляя в равенства (3.7), (3.8), (3.9), (3.10), (3.!1) и (3.12) значения соответственных величин из (3.!) для первого и второго 9 3! подовив твчвиий вязкой кясжимлзмой жидкости 109 течения вязкой и несжимаемой жидкости, получим: (хг)п (х,), ( г)п (Уг)п (М! (Уг)г ((г)п (гг)~ (вг) п (вг)~ (гк )и ("жг )~ оп (пА ("г)п (из)~ (р,) (Сп)1 (ыг)п (Ю~ (р*)п (Сч)( (3.13) Зп=8г, ~ Еп= Еы Гц= Гы йп= Яы (3.14) Таким образом, характеристические числа играют роль необходимых критериев подобия двух течений вязкой несжимаемой жилкости. Если рассматривать установившееся движение вязкой несжимаемой жидкости, то первый критерий подобия — равенство чисел Струхаля — будет отпадать. Если в качестве характерного давления выбрать так называемый скоростной напор, т. е, положить (3.15) то числа Эйлера для всех течений станут равными единице, и позтому критерий Эйлера выпадет из числа необходимых критериев подобия.
Основными критериями подобия двух течеиий вявкой несжимаемой жилкости без учета изменения температуры служат, таким образом, два критерия: критерий Фруг)а и критерий Рейнольдса. Таким образом, для двух подобных течений вязкой несжимаемой жидкости все безразмерные величины длин, времени, скоростей, л~зссовых сил и давлений будут совпадать.
Как уже было указано, решения дифференциальных уравнений (3.2) для каждого течения будут зависеть от своих четырЕх характеристических чисел. Следовательно, чтобы решения безразмерных уравнений (3.2), отвечающие двум подобным течениям вязкой несжимаемой жидкости, совпадали, необходимо, чтобы характеристические числа двух рассматриваемых течений были соответственно равны между собой: а 4! фогмьлы лля евзультитюощкго воздвйотвия жидкости 111 й 4.
Интегральные формулы для результирующего воздействия жидкости иа поступательно движущееся в ией тело Рассмотрим случай поступательного движения тела в вязкой жидкости (рис. 23). Напряжение на площалке д5 поверхности рассматриваемого тела представляется в виде Рч = Рх(+Рят+Ргл (4!) где 1, т, и суть направляющие косинусы внешней нормали к площалке д5. Следовательно, главный вектор и главный момент сил аозлействия окружающей жилкости на рас- л сматриваемое тело представятся в виде )7= — О(Рх1+рят+Р,п)дФ (4.2) 1. = Ц гЯРх1+Р т+Р„п) д8.
(4.3) Проекция вектора напряжения Р„на ось х на основании (4.1) будет представлена в виде Р„=Р 1+Р„„л +Р, и. (4.4) Рис. 23, Подставляя в правую часть (4.4) значения р „, р„и Р, из равенств (б.1) главы П, получим: Р -= ~-~~("-'д) Ф+р(~х~+д-;-+д-х )+ + 1ь (дх 1+ дх + д— и) . (4.5) Второе слагаемое в правой части (4.5) есть произволная по нормали от скорости и: ди ди ди ди дх ду дх дп' — 1+ — т+ — и = —, (4.б) а так как ди ди дм — =0 — — —— дх ду дх' то послелнее слагаемое в скобках в правой части (4.5) можно прел- ставить в Виде ди дп дм дп ди дм дж дх дх дх дх ду дх дх — 1+ — т+ — и = 15+ — т — — 1+ — л — — 1. (4.7) Перейдем теперь к новым осям координат (рис.
23), состоящим из нормали о в рассматриваемой точке поверхности тела и из лвух !12 овшие свойства движения вязкой жидкости [гл. ш касательных т, и т.. Производная от скорости о по координате х будет равна до до дп до дгч до дтз †= ††+ ††+ ††. дх дя дх дгчдх дтядх ' Аналогично запишутся и другие произволные, входящие в правую часть (4.7). Так как тело перемещается поступательно и в качестве граничного условия принимается условие прилипания, то вдоль всей поверхности тела компоненты скорости частиц жидкости будут постоянными величинами. Следовательно, производные от сиоростей частиц по направлениям касательных к поверхности тела будут обращаться в нуль, т.
е. до до ды дэ д — О, дт О, д — О, д — — О. (4. 8) Выражения дп дя дл дх ' дт ' д ,4.9) — направляющие косинусы нормали Используя (4.8) и (4.9), будем иметь: ди до „ дгл — 7+ — гл+ — л =- й!. дх дх +дх (4.10) — р+ (* + —,) О~ +, —, р+ (л'+ — ) О~ л+ р —. Ргм = [ (4.1 2) Умножая левые и правые части (4.11) и (4.!2) на единичные векторы осей координат соответственно и складывая, получим вектор напряжения на плошалие поверхности поступательно движущегося тела [ +( +3) 2(+ ~+ )+!д Таким образом, на основании (4.6) и (4.!0) напряжение р„иа поверхности поступательно движущегося тела в вязкой жидкости будет представляться в виде '.=[- +( )Ф По аналогии с (4.11) для других проекций вектора напряжения будем иметь: й 4) еогмхлы для еезтльтитяющвго воздействия жидкости 113 Подставляя аначение )з„из (4.13) в правые части (4.2) и (4.3), получим выражения для главного вектора и главного момента сил воздействия на тело, поступательно движущееся в вязкой жидкости: Ю = Я вЂ” р+(л'+ — ) 8) (74+ аз(+ пй)гтрк+ р у~ ~ 3 — г(5, (4.14) =-Б1 ~~- +("'+3)Ф!!+.+ )1'.+ з +р ~ ~ гХ а л'с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
