Слёзкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1123892), страница 25
Текст из файла (страница 25)
дг г г дт дг Рассмотрим теперь случай, когда траектории всех частиц представляют собой дуги концентрических окружностей, т, е. о„.= — О, ох = — О. (7,2) При этом предположении из последнего уравнения (7.1) — уравнения несжимаемости — получим: доэ — =О. де (7.3) Таким образом, скорость каждой частицы вдоль еа траектории будет оставаться неизменной; эта скорость может изменяться лишь при й 7! тстлновившввся кгтговов движвния жидкости 133 а т г 1 йр раг' 1 бр Гдап ! дп, дан, пт г дт+ ' 1 дга + г дг для гя)' др д (7.4) О= О= Заметим, что благодаря тождествам (7.2) и (7.3) квадратичные члены инерции из основного уравнения, относящегося к искомой скорости и, совершенно выпали, и задача о круговом движении вязкой несжимаемой жидкости сталз линейной.
Дифференцируя первое уравнение по х и учитывая последнее уравнение, получим: ппт — =О, лг т. е. круговое движение вязкой несжимаемой жидкости должно быть плоско-параллельным. Во втором уравнении (7.4) слагаемое с давлением перевесам налево и умножим обе части на г; левая часть зависит от р, а правая часть не должна зависеть от него, следовательно, обе части равны одной и той же постоянной величине, т. е.
~=С. (7.6) Равенство (7.6) означает, что перепад давления вдоль траектории постоянен. Второе уравнение (7.4) для определения скорости и при учета равенств (7.5) и (7.6) будет представляться в виде Лап 1 Кп и„ С (7.7) Лга г пг гз Пг или Лп и Л 1 Л С „—,( — „;+-„') =,—, ~-„—, (.,)~ =,—,. Проводя последовательно два интегрирования уравнения (7.8), получим его общее решение в виде и = — г11п г — — !+С,г+ —.
2п 1 2) (7.9) Для давления на основании равенства (7.6) и первого уравнения (7.4) будем иметь; (7.8) Г па р=С7+р ~ -Л. (г+С,. (7.10) переходе от одной частицы к другой„ т. е. в зависимости от переменных г и г. Дифференциальные уравнения (7.1) при использовании тождеств (7.2) и (7.3) принимают вид !34 точнов интвггиговлнин тглвнаний тстлновившвгося движения [гл.ш На основании формул (6.5) главы !! касательное напряжение силы вязкости для кругового движения представится в виде (7.1 1) Подставляя в правую часть (7.11) значение ет из (7.9), получим: (7.12) Таким образом, для установившегося плоско-параллельного кругового движения вязкой несжимаеиой жидкости ииеют место закономерности (7.9), (7.10) и (7.!2), содержащие четыре произвольные постоянные С, С,, Св и Сз.
9 8. Круговое движение между двумя вращающимися цилиндрами Схб+ Ь' — — вгЬ С, С,а+-Ьг =вва С (8,3) откуда Сз аг Ьа (8.4) Применим полученные в предшествующем параграфе результаты к случаю движения жидкости между двумя концентрическими цилиндрами (рис. ЗЗ). Пусть внутренний цилиндр имеет ралиус Ь и вращается с угловой скоростью в,, а внешний имеет радиус а и вращается с угловой скоростью вя. Граничные условия прилипания частиц жидкости к стенкам будут иметь вид при г =- Ь и = в,Ь, [ при г=а о =-ваа. [ г С4.а Ьщ т Обращаясь к формуле (7.10), мы видим, что гГтаг давление пРи изменении Угла в бУдет иногогг значной функцией, для устранения этой многозначности надо положить: С= О. (8.2) Используя граничные условия (8.1) и равенство (8.2), получим уравнения для определения постоянных С, и Ся 8 8! кттговов движаник мкждт двтмя вгащлющимися цилиндглмн 138 Полстааляя значения постоянных С, С, и С, в равенства (7.9),(7.!0) и (7.12), будем иметь следующие формулы для скорости, давления и силы вязкости: 1 Г, (в, — чв) атЬт) и = —.1ь(втав — в Ьз)г+ — ' ], ат Ьз( т га р =,, ~(в.
ат — втбт)т — + 2асбт(в — вя)(взат — вгбт) 1п г— (в, — ьч)азат Ргт 1 (аа — Ьт) гт (8.7) Подсчитаем момент всех сил вязкости, распределйнных по какой- либо окружности радиуса г, относительно осн симметрии. Обозначая этот момент через 7., будем иметь: — р„гэ аф о Подставляя выражение р„из (8.7), получим выражение момента сил вязкости в виде (вт — ,)а'Ьт (8.8) ат — Ьт Таким образом, момент сил вязкости, распределанных по любой окружности, относительно оси симметрии не зависит от радиуса этой окружности. Это значит, что если мы возьмйм слой, ограниченный двумя окружностями, то моменты сил вязкости, распределЕнных по этим окруююстям, булут равны по величине, но обратны по знаку (в силу разных направлений нормали), г. е.
для моментов сил вязкости будет выполняться уравнение равновесия. Впервые задачу о движении жнлкости между двумя вращающимися круговыми цилиндрами решил Ньютон' ). Прн решении этой задачи он впервые формулирует свою гипотезу о вязкости жилкостн, но уравнение для скорости ии было составлено неправильно. Ньютон исходил нз равновесия самих сил вязкости, а не их моментов. На зту ошибку указал Стокса), который дал правильное решение задачи. Более подробное решение рассматриваемой задачи с учетом граничных условий частичного торможения частиц зкндкости вдоль поверхностей цилиндров было дано в работе Н.
П, Петрова з). ') Ньютон И., Математические начала натуральной философии, перев. А. Н. Крылова, Собрание сочинений, т. ЧИ стр. 486. э) Я го вез О., Тгапз. Слане. РПП 8ос. 8, 28?, 1845. з) Петров Н. П., Трение з машинах н влияние на нега смазывающей жидкости, сборник «Гнлролннамвческая теория сназкнж изД. 1934. 136 точнов интвгеиеовкние тгьвнвний тстьновившвгося движения (гл. зч Рассмотрим частные случаи. Уменьшая значение радиуса внутреннего цилиндра Ь до нуля, получим из (8.5), (8.6), (8.7) и (8.8): от = маг 1 р = — ри-г-+ Сз, ь,а =. ь. Е = О.
(8.9) Полученные формулы (8З) представляют решение задачи о вращении кругового цилиндра, наполненного вязкой жидкостью. Таким образом, лри установившемся движении вязкая жидкость внутри цилиндра вращается как абсолютно львердое тело. Для поддержания равномерного вращения цилиндра с вязкой жидкостью не требуется момента внешних сил. Чтобы получить решение задачи о вращении круглого цилиндра в безграничной жидкости, необходимо в формулах (9.6), (8.6), (8.7) и (8,8) вначале положить; ьь =О, а затем радиус внешнего цилиндра а увеличивать до бесконечности.
В результате мы получим: изЬ о а Ьа ь=с,— "., 24ьизьа (8.10) б = — 4криада 4) Г аз чек Э., Вязкость жидкостей, ГТТИ, 1932, сгр, 47. Первая формула (8.10) показывает, что скорость частиц изменяется с расстоянием от оси так же, как если бы на оси цилиндра располагалась вихревая нить и жидкость была бы идеальной. Следовательно, движение частиц вне цилиндра в этом случае, как уже было указано в 5 1 главы Ш, будет потенциальным. Лля поддержанля равномерного движении цилиндра в неограниченной зкидкости необходимо приложить момент внешних сил, пропорциональный угловой скорости вращения цилиндра, коэффициенту вязкости и квадрату радиуса цилиндра. Полученное выражение (8.8) для момента сил вязкости используется в приборах с концентрическими цилиндрами '), предназначенных для экспериментального определения вязкости. Измеряя каким- либо способом момент сил вязкости, мы получаем возможность по этой формуле полсчитать значение коэффициента вязкости.
9 9) даижпнив жидкости мкжд! нскгиалйннымн сткиклми 137 9 9. Движение жидкости менгду искрнвлйниыми стенками Рассмотрим теперь случай, а котором частицы жидкости з своам даижении описывают не полные окружности, а лишь некоторые ил части.
Один нз примеров такого рода движений вязкой несжимаемой жидкости был рас- Н Ряс. 34. смотрен Н. Н. Жуковским !) а работе, посаящбнной гидро,тинамнчсскон теории трения. Н втой работе рассматривается аращающийся цилиндр, отазченный лишь частично пода!клинком, имеющим вырез Ьс, наполненный маслом (рнс. 34) Предполагалось, что траектории частиц а слое Ьс представляют собой дуги концентрических окружностей. Ь1ы же рассмотрим другой случай такого вида движений жидкости. Предположпм, что течение зязкон я несжимаемой жидкости происходит ' чу / между двумя неподаижиыми стенками, предстанляющими собой а сече., / нии дзе дуги окружностей с радяусами Ь н а и общим центром (рис. 35). Предполагая, что частицы жпдкостн перемещаются строго по дугам концентрических окружяостей, для скорости и булем иметь формулу (7.9).
На осноззнии этой формулы лля расхода О через сечение рассматриваемого кризолннейного канала получим слелующее аыражеиие: а С Газ Ьз ч ! а О= ~ о,аз=; — ! — -Оп а-и — — ()пе — 1)1+ — С (аз — Ьз)+С !— ур'1 2 2 ~ 2 — з Ь ь Из условия прнлнпання имеем: (9. 1) С 7 11 Ст С l С вЂ” а~!па — — )+Ст а+ — =О, — Ь!йтЬ вЂ” — 7!+С Ь+ — з =О, (92) откуда зьз С 1 аз1па — Ьа!пЬ С азЬз !и— При подстзноаке значений (9.3) формула (9.!) для расхода примет следующий аид: С Г 4аЗЬЗ Г а хтй () = — — !(ал — Ьт — — (!П вЂ” у! )!, Вр '( з — Ьз!, ьу )' (9.4) т) Ж у конский Н. Е., О гидродинамической теория трения хорошо смазанных тел, Собрание сочинений, т, 1П, !949. 138 точнов интвгтиговлнив твлвнаний устяновившвгося движения [гл.
ьч Входящее в зто выражение постоянное С представляет собой согласно (7.6) перепад давления, приходящийся нз один радиан угла Ч. Лля случая пряча. линейного движения вязкой жидкости между двумя неподвижными и параллельными стенками, огстояьцими друг от другана расстоянии д, из(8.8) можно получить следующую формулу для расхода; 1 дрд () = — — — л Ь". (9.5) 12р дх Полученное выражение (9.4) можно рассматривать как обобщение фор. мулы (95) на случай искривлбниых по лугам окружностей стенок. Правую часть формулы (9.5) можно получить из правой части (9.4), если положить: С= — ль, др дх а=д(1+ Ь), 12и( Ь',) Рг Р'ь =- Зл(У -'- латах Г а ) аз — Ьт —, - — -1)п-- аз — Ьз '1 Ь 12 р(з О Рз Рь= (9.6) Складывая левые и правые части равенств (9.6), получим окончательную формулу для расхола в рассматриваемом нами случае составного канала р,— Рь 1 аз — Ьк — — )о — ~ аз Ьз г а затем провести разложение по степеняи Ь отношения —, сохранив члены не выше Ь' третьей степени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
