Слёзкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1123892), страница 28
Текст из файла (страница 28)
йм Об одном слУчае интегРиРУемости полных дифференциальных уравнений движения вязкой жнлкостн, Учаные записки МГУ вып. 11, 1934. $121 случАЙ импульсного источника ! О! 1дх 1дг дг а правые части иа — — — и — —, а во второй раз левые части на — и 77 дб Р дб' дб дх дх дг Об ' —, а правые — на )7 — и — )7 — и склалывая, повучим лиффереициальные дг дР уравнения движения в сферичесннх координатах д (! '! Вф дф 1 др т д()ф дЬ'(, 2 / Дм з!па 0 дут' с дР )уа з!п 0 дб ' ~ (!2.4) !з д 7 ! ,'! 7)ф дф 1 др д()ф д0 12 ! )(гзззйзбдб 0 дб ып0 дутт ' г„е оператор Стокса имеет вид дз, з!пб д / 1 дт В- — —, — -~ — -).
д)ба Ю дб~а|пбдбу' (12.6) Компоненты скорости оп н оз будут представляться через функцию така в виде ! дф Г 1 д"1 1 дф 7 1 дг( 1 дф оп — — о Мпб+п спз0 — — — ( — — — !+ — — ! — — ! з г дх (, !Гдб) ' г дг 'АР дбг' )(гааза бдб ' 1 дф дх 1 дф дг 1 дф от=,ор сов 0 .озз!ив=†г дх дйз г дг дР Р з!п 0дР' (12.7) Наконец, полагая (12.8) сов б ч, будем иметь для функции тока уравнение в ниле дф д0ф дф д!Эф ~(1 дф ч д' ~ дт дйз дА' дт 1~~' дт 1 — чз д)7у — — — -27)ф!' — — '+ з — "'! = — ч(азу)7)ф, (!20) при атом дз 1 — тз дз (12.! 0) ! дф оп = !Озд» ' 1 дф (7 )г! чз д)г) (!2.1!) д !1, рч ч д0ф ()ф дф — — )гз+ — = — — — + д)7(,2 З ] 77з дт А»(1 чз) д)7 (12.12) Исключая из уравнений (!2И) с иамо цыо перекрестного лифференцирования давление, получим следую цпе дифференциальные уравнения для функции така: 1 дфд()ф дфдЕтф) 2()ф ('дф Мп Од(') )(из!п б д)7 дб дб дзр 7 Рзз!паб (д)7 ( ' ' )-,',( — — — — — — ( — ' соз 0 — — — ) = — чсасау!, (12.5) дбг 152 точнов иитвгвиеоваиив твавикний кстановнвшвгося движения (гл.
гч Решение дифференциального уравнения (129) будем искать в виде произведения произвольной функции от переменного т на радиус 77 ф = )гу (т), (12.13) Прн этом предположении будем иметь: 1 д= — — У'( ), )2 1 У(с) 77 тд( з 1 — Р 7),~ 77 д('1, р') ' т( . а 1 Ойг 12 а 7 дуз г(т )ат -(- рз-! -) = — — ' — И1-')уа) Ф-.хау, 0 12 а) )аз )7г (/з+ 1= — — ' г" + — Гау', Интегрируя последнее соотношение по т, получим для давления: (! 2.14) —,)шз+ —" = — ( — чу+ — Ужп-С). 2 у )г.(, 2 (12Л 5) то днффереицнадьное уравнение (12.!6) представится з виде г(э (1 — ! — ут — «(1 — тз)у' — 2тч,/~ = 0.
г(тз~ 2 (12.17) Проводя интегрирование, получим дифференциальное уравнение Риккати -уз — т(1 — сз)у' — 2шУ=С„! 'Сгч-Ь Сзчз. 2 (123 и) С яомошью подстановки У = — 2э (1 — чз)— ьг 01 у нч (! 2.19) уравнение (!2.!8) приводится к линейному уравнению второго порядка вчу С. + С,с + Сзтз — — —,— — у=о. (12.20) ,(,з 2,з (1 „з)а Если все постоянные Са, С, н Сз положить равными нулю, то получим реше.
пне уравнения (12.20) в виде у = А+Вч. дифференциальное трзвненве (12.9) для функции тока представится в виде — /т — 3,1 У = — ((1 — «з) Уг — 4 ту ) (12.16) Так как (-)"'- — '1 =(У) =(УУа, Уг)=УУ.-ГЗУгУ 2) П! — тз) у' -',— 2тг! = (1 — чз)у!ч — 4ту, 188 СЛУЧАИ ИМПУЛЬСНОГО ИСТОЧНИКА й 12) Отсюда будем иметь. у' В 1 у А+Вч С+, 1 — гз (!221) Простейшее решение дифференциального уравнения (12.18), представленное в виде (12.21), было получено Ландау!) н истолковано как решение, отвечаюгцее затопленной струе. Лругие случаи интегрирования уравнения Риккати (12.!8) рассмотрены в книге Седова з).
Чтобы истолковать гидродннамический смысл решения, отвечающего функцнн тока (12ЛЗ), обратил~си к выражениям (2.!1) главы П векторов, образующих тензор плотскости потока импульсов. В сферических координатах этн три вектора представятся в виде ез! — — вод р — рд, ээ у па р рч' а =)о)г — р, ! (12.22) где р-вектор скорости, а рл, р и р — век~ори напряжений по площад- 6 тм, перпенликулярным к коорлкнатиым линиям )2, 8 и Т. Лля рассматриваелшго нами случая осесимметричного движения для компонент тензора напряжения нз (69) главы П будем кметы у! доп до„о Т ()г дв д3~ )т' ) дол Рли = --Р+ Л" д)! ' о с!881 +, рд= 1 доат -В--д81 тч- г'ол р =- — Р-г-2р!— тч )2 (12.23) Род р =--р —;-2Н(— (,г аин до (упй рнд) КЯ = сопэ! .
(1224) !) Л а н да у Л. и Л и ф ш и ц Е., Механика сплошкых сред, Гостехиздат, 1984. з) Седов Л. И., Методы подобия п размерности в механике, Гостет. издат, 19Я. Так нак компоненты скорости нз (12.!4) обратно пропорциональны ралиусу, а давление нз (12,18) обратно пропорционально квадрату радиуса„ то наждый из трех векторов (12.22), представляющих тензор плотности потоКа импульсов, г/В будет обратно пропорционален квадрату сферического радиуса. Это значит, что если мы проведем из начала координат пучок направлений, образующих кругяый конус с небольшим углом раствора (рис. 42), то для всех сечений этого конуса про- рис. 42.
наведение каждой составляющей из трбх векторов а иа площадь сечения будет одним и тем же. В частности, буде~ одним и тем же поток вектора-импульса, направленного по нормали к сечению, т. е. !о4 точнов ннтвггиговлнин кгавняннй установившегося движения (гл.
ш ! 1 бон дт'ч озд с З вЂ”вЂ” , о!то — р(-- — + — — — ) а ' (,Р бб с)й й,) (12.25) и подставиьг значении он, о из (12.14), то получим: — = (ГУ- ч (! — тт!уш — 2 !) )уа рг! — ст Приравнивая квадратную скобку нул!о, получим уравнение Г У' — ° (! — чт)у" — 21Г = О. (12.26) После одного интегрирования получим д~фференцчальное уравнение вила уа ' — — ч (1 — тт)У' — 2 тУ = Са.
2 (! 2.27) Сравнивая уравнение (1227) с уравнеиаеь~ (12.18), л~ы видим, что левые части тождественно совпадают, э правые части отличаю~си на слагаемые, содержащие постоянные С, и Сз„Чтобы, наконец, перейтн к решению (!221), надо сщб н постоянное С„положить равным нулю. Единственное постоянное, входящее в решение (12.21), л~ожио определить, задавая, например, постоянную нотока импульса, вкодящтю в правую часть (!2,24). На атом основании кожно говорить, что решение (!228) представляет собой случал импульсного источника, т. е. такого течении, при котором поток радиальной компоненты вектора импульса через асв сечения элементарного конуса с вершиной в начале координат остается постоянным.
Случай Ландау представляет собой простейший импульсный источник, при котором единственная тангенцпальная состанляющая сзи венторов пч. пульсов обращается в нуль. В самом деве, если мы возьмем выражение ка. сатеаьиой составляющей ГЛАВА >У движение вязкой жидкости при мАлых ЧИСЛАХ РЕЙИОЛЬДСА. МЕТОД СТОКСА В 1, Приближйнные уравнения Стокса Как уже указывалось з в 8 главы П, основное затруьненве з решении дифференциальных уравнений дан>кения вязкой несжимаемой жидкости для конкретных задач заключается в наличии в левых частях этих уравнений квадратичных членов инерции. Эти квалратичиые члены инерции тождественно обращались в нуль, как зто мы знделн в первых параграфах предшествующей главы, лишь только тот,>а, когда жидкость считалась несжимаемой, а траектории частиц представляли собой либо параллельные прямые, либо концентрические окружности.
Последнее обстоятельство может служить основанием к ааключению о том, что лля лвижений вязкой несжимаемой жидкости, для которых траентории частиц будут мало отличаться либо от параллельных прямых, либо от концентрических окружностей, квадратичные члены инерции булут малы и ими с некоторым приближением можно пренебречь.
К такому же допущению можно полойтн и с другой точки зрения. В 3 3 главы Н! были установлены дифференциальные урашкния вязкой несжимаемой жидкости в безразмерных величинах. Первое изэтих уравнений (3.2) с использованием обозначений характеристических чисел представится в зиле 8гт — — , '(х>(>г> — +о> — +и — ) = — Р,, — Е>т — ытли . (!.1) ди>, г ди>, ди, дио Я др> дб ' (> 'дх, 'ду, 'де,) И дх> При квалратичных членах инерции в уравнении (!.!) находится множитель в виде одного числа Рейнольдса. Следовательно, если число Рейнольдса считать весьма малым, намного меньше единицы, лш «задратичнмми членами инерции в левых частях дифференииалькых уравнений движения вязкой несжимаемой жидкости можно пренебречь. Однако требование малости числа Рейнольдса по сравнению с единицей является достаточным, но отнюдь не необходимым требованием того, чтобы считать квадратичные члены инерции малыми величинами.
Квадратичные члены инерции могут быть малыми оОО АЬИоАЬИИЬ И!'И ИАЧЫХ ЧИШгАХ !'ЬИИОЛЬЛоА Ьл!ОЛ !никол !!Л Ч и в том случае, когда число Рейнольдса и немало, но траектории частиц близки к параллельным прямым или концентрическим окружностям. Для сохранения в уравнении (1.1) остальных слагаемых, солержаших множителем также число Рейнольдса, надо, очевидно, предположить, что по порядку величин имеют место неравенства оо)!, ) — )1, Е(с)1, (1.2) Обратим внимание на последнее неравенство (!.2). Так как Е представляет собой отношение давления к произведению плотности на квадрат характерной скорости, а число Й = — , то из этого нераСотго венства получим лля давления: (!.4) )оо ) )о — ° (!.3) Ьо Неравенство (1.3) означает, что при отбрасывании в уравнениях дан- '!кения квадратичных членов инерции давление булет находиться з прямой зависимости от коэффициента вязкости и харантерной ско- рости в первой степени.
Впервые уравнения движения вязкой жидкости с отброшенными кзздратичными членами инерции были широко использованы Стоксом. На этом основании эти уравнения и получили название ириблиркдн- нмх уртзкенил Стокса. В прямолинейных осях ноординат прибли- женные уравнения Стокса лля двиокения вязкой несжимаемой жидкости представлюотся в виде ди ! др — == Р.— — — +чаи, 1 др А рдх ди 1др дг и р ду др "" р дг — = ГΠ— — — + ЧАЮ, ди до дм — + — + — = О. дх ду дх Дифференцируя псрвпе уравнение по х, второе по у, третье по л, складывая рсзультаты и используя уравнение несжимаемости, полу- чим дифференциальное уравнение для давления дсь дси дооо б = ( —,:+ — „"+ — „').
(!.б) В тех случаях, когда можно либо пренебречь действием массовых сил, либо считать их постоянными, давление будет представлять а 2) плоско-плтлллвльнов установившиеся движения жидкости 1б7 собой гармоническую функцию, т. е. бр=О. (1.б) При отсутствии массовых сил с =О, Гя=О, )че=О с поиощью перекрестного дифференцирования уравнений (1,4) получим следующие дифференциальные уравнения для компонент вектора-вихря: дмм —.— = — ч амх, дг дм дг и' дч — =чу дг (1.7) 1(ифференциальные уравнении (1.7) совпадают по сноси форме с дифферснциальным уравнением процессов свободной теплопроводности и свободной диффузии. Следовательно, при отбрасывания квадратичных членов инерции вектор-вихрь будет распространятьси по законам свободной диффузии. й 2. Плоско-параллельное установившееся движение вязкой жидкости Считая вязкую жидкость несжимаемой ч = соп51 движение установившимся дУ ду — О и плоско-параллельным ди ш= — О, — — О, дх дп — = — О дл и пренебрегая действием массовых сил Р=О др -=йби, д ~.=, 'бо, ду дл дп дх ду — + — =- О, (2.1) и квадр,пчными членами инерции по Стоксу, получим из (1.4) следующие уравнения: 158 движкнив пеи мллнх числах гвйнольдсл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
