Слёзкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1123892), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Из неравенства (10.30) будем иметь: а из неравенства (10.28) получим: — ) —. е, ч 2 та' Следовательно, правая часть второго неравенства булет завеломо меньше правой части первого неравенства ~ < (' †" †- 12Т,). (10,31) Так как расход () имеет размерность произведения скорости на ллину, то отношение расхола к кинематическому коэффициенту вязкости можно взять за число Рейпольдса плоского диффузора, т. е.
Таким образом, чисто росходяиаееея течение в плоском диффузоре возможно только при тех значениях числа Репнольдси, которые удовлетворяют неривенству К < ( — — 12ча) к Например, при Т = — '=10' должно быть: (ч < 1б8. й !01 плоско-плглллвльнов елдилльнов тешник вязкой жилкости 145 Если число Рейнольдса немного превзойдвт предел, лопускаемый неравенством (1О 32), то в ядре вблизи линии симметрии течение будет расходящимся, а вблизи стенок теоретически оно должно было бы стать сходящимся, а практически будет происходить отрыв жидкости от стенок.
Таким обрааом, рассмотренная задача о радиальном течении в плоском диффузоре поучительна в том отношении, что решение еа указывает теоретически на возможность отрыва жидкости от стенок в расходящемся течении, что в действительности часто и происходит. Обратимся теперь к чисто сходвщемуся течению. Соотношение (10.25) мс кно также представить в виде н фо = 2,, )Г(е и)(и р,)(а е,) (10,33) Легко показать, что чисто сходящееся тещяие возможно при любых значениях числа Рейяольдса.
Для это~о будем уменынать значение коэффициента вязкости до нуля. Так как левая часть (10.33) имеет конечное значение, то уменьшение ч ло нуля лолжно сопровождаться увеличением до бесконечностя интеграла в правой части, что вполне возможно прл приближении значения ез к значению ез. Этим собственно и показывается то, что чисто сходящееся течение а конфуэоре возможно и при очень большлх числах Рейнольдса (при очень малых значениях ч). Учитывая это, и считая ч очень малым, можно положить в (10.23). э в е, ж — 2ез; тогда получим; а'и .
Г2 — = у 3 (е — и)У вЂ” и — 2е. де эч Проводя ннтегрированке, получим: 2 ии ('Р 'Рв)— д (и — еа) у — (и+ 2ее) 1 () 2+ т'3)()с — (2еа+и)+ У вЂ” 3ее) 1' — Зез (У 2 — 1'3) ()с — (йе, + и) — )с':Зез) ' или '" " = (5+ 2 У'б) '-;--- ..'+ )' .. ='='-"й~: и). (10.34) 1' — эе„— )' — ("еа+ и) Если кинематический коэффициент вязкости очень мал, то левая часть бУлет достаточно велика пРи любом з;ычении Угла чР, отличном от ч)в. 146 точнов интзггиговлнив хвлвнвний гстлновившвгося двнжвння (гл.
ш Чтобы при этом и правая часть (10.34) была также велика, необходимо и считать близким к ев Это означает, что в сходящемся течении в плоском конфузоре при больших числах Рейнольдса распределение скоростей по углу 3в будет почти равномерным, и лишь вблизи степки эта скорость будет быстро убывать до нуля (рнс.
40). Если бы жидкость считалась идеальной, то в случае стока на плоскости радиальнвя скорость представлялась бы в виде гг 24.. н, следовательно, и = го„= — — = сопа1 . (10.35) 2вв Ркс. 49. Сопоставляя этот результат с предше- ствующим заключением, мы приходим к выводу, что прн больших числах Рейнольдса вязкость проявляется лишь в тонком слое вблизи стенки. Рассматриваемое в этом параграфе плоское радиальное течение является простейшим частным случаем того точного решения дафференциальных уравнении лвижения вязкой жидкости, которое было впервые установлено Гамелем ') и затем обобщепо Озееном э) н Розенблаттоы с).
ф 11. Вращение безграничной плоскости В предшествующем параграфе данной главы рассматривались такие случаи движений, лля которых дифференциальные уравнения установившегося движения вязкой несжимаемой жидкости решались точно благодаря упрощающим предположениям о характере траекторий частиц жидкости, Но к использованию полных дифференциальных уравнений движения вязкой хгидкости можно подойти и с другой стороны, а именно лелать заранее предпол))женив не о характере траекторий частиц, а о характере тех функций, через которые представляются проекции вектора скорости и лавление.
Этим путем при удачном выборе характера функции для скоростеи н давлений можно в отдельных случаях от системы дифференциальных уравнений с частными производными перейти к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, которые можно решить, по крайней мере, численным способом. в) н в т е! 11., Вр~гз!!пгш12е Вепеднпяеп ваьег р!авв!2ке!1еп, явьгев- ЬЕГ!СЫ ПЕГ ПЕВМСЬЕП МВШЕт. УЕГВ1П12ВПВ 25, 1916. в) О в е е и С., Вхвще Ьвввпкеп Пег Ьугбелгп.
0жегелнв!2!е!сЬвпяеп, дгюв Гвг шв!епь звгг. осп 17ЫК, т. 20, Ы 14, 22, 1927. в) !(ов епь1в!! л., 5оьнюпв еввс!ев пев ачввиопв пи гпввчегпеп! дев !Чп!лев, ч~вчиеих, Мегв, дев 5свепсвв МшЬепь 72 1935. 1!! вглщзнив ьвзгвлничной плоскости !47 Слелуя Карману, примем лля скоростей и давления слелующие выражения: о, = гГ(з), о = гб(г), о, = Н(з), р =р(г). (11.2) При этих предположениях дифференциальные уравнения (!1.1) принимают следующий зид; лг' Гз+ Н вЂ” ' — О лл 2ГС+ ив лб лг йН Н— л'л 2Р+— лн == ч —, Лгб ллз ' Р+ч ! лл лаН = О.
(11,3) Таким образо благодаря прелположенням (1!.2) дифференциальные уравнения (11.1) с частными произволными оказались преобразованными в систему (! 1.3) четырвх нелинейных обыкновенньш уравнений второго порялка. Дальнейшее рассмотрение уравнений (11.3) проведвм применительно уже к конкретной задаче вращения безграничной плоскости Оху вокруг оси г с постоянной угловой скоростью ыз в жидкости, расположенной только по одну сторону от плоскости (рис. 41). Примем, что частицы жидкости прилипают к вращающейся стенке, т. е.
при з=.О о,=О, и =газ, о,=О, г) ка г и а и Т., ОЬег йе !ат!лаге илд $агьа!еп!е йе!Ьапа,улма! 1, и!2!. В качестве примера применения этого метола рассмотрим случай вращения безграничной плоскости, впервые исследованный в работе Кармана '). Если, помимо прелположений о несжимаемости жидкости, об установившемся характере движения и о возможности пренебрегать деиствием массовых сил, попустить еща, что распределение скоро- степ и давления не зависит от полярного угла ф, то дифференциаль.
ные уравнения (7.1) примут вид до, дп„~~ 1 дР (д и„! дп„дги„о„( гдг+ "дг г я дг+ хдгз+ г дг+ дал гз)' до дп ого г(мп 1 двт дгв е ! о — ~-(-о,— т+ — т =ъ ! — т+ — — т+ — т — —.~~, (1 1.1) г ! Π— '= — — — — + гдг+ "д» Гдл ' 'хдгя г да+дФ)' дог иг да, — "+ — '+ — ' = О. дг г дг 148 точнов интвгвиговлнив твлвнений тстлновившвгося движения [гл, ш а на бесконечности лишь две скорости о„и п„обращаются в нуль, так как радиальное растекание жидкости по плоскости возможно, только если считать и на бесконечности отличной от нулю при г -т со о,.-+ О, и -« О. Учитывая прелноложения (11.2) и сформулированные граничные условия, будем иметь лля искомых функций следующие граничные условия: при а = 0 Г(О) = О, 0(0) = — ме, Н(0) = О, при а = ж Г(со) = О, б(оэ) = О.
(11. 4) Дифференциальные уравнения (! 1.3) при граничных условиях (11.4) можно решать с помощью разложений искомых функций вблизи начала коорлинат (х = 0) и нх асимптотических разложений вблизи бесконечно удалвнной точки (з = со). Входяшие в эти разложения коэффициенты должны быть определены не только из граничных условий, но и из требований непрерывности самих функций Г, 0 и Н н пер- лг" лб вых производных — и — —. Так как шо ре- п'л ла ' шение является громоздким, то мы йассмотрим лишь приближенное решение этих уравнений в том случае, когда граничное условие на бесконечности заменено условием на конечном расстоянии от плоскости.
Примем. что на некотором неизвестном расстоянии е от плоскости аве скорости о„и о обращаются в нуль и обращается в нуль первая производная о по г. Иначе говори, второе граничное условие (11.4) заменим следующим: при з=а Г(3) =О, П(а) .=О, — =О. ЛО (1 1.5) са !.!елинейные слагаемые в первых двух дифференциальных уравнениях (11,3) заменим их средним значением по толщине слоя Л, т, е, положим: 149 ф 111 вглшаниа вввгглничной плоскости Решая уравнения (11.7), получим; В = 2 Алт+ Сна+ С, б = — Вге+ С, л+ С,. (! 1,3) (1 1.9) При зтих значениях искомые функции представятся приближенно в виде В = —,' А(яз — 5.), 6 =- о(л — 6)з, ! о =-. — А ( — — х (о) .
(11.10) Подставляя (11.10) в (!1.6) и выполняя интегрирование, получим уравнения для определения А и толщины слоя 8 Аош "'о опх 5х 2и~ Аочао аз 1О. Разрешая эти уравнения, получим: 2 о 15 ч (11.!1) 5 =3,501/ г ио Сила вязкости, приходящаяся на единицу вращающейся плоскости, будет представляться в виде (Рео)о=9'(д ) =)ог('3 ) = Умножая левую и правую части на 2ягвдг и проводя интегрирозанис На основании последнего уравнения (11.3) и (11.3) будем вметая Н= — 21 — Ага+ — С аз+ С я+С ), /1 1 Используя граничные условия (11.4) и (11.б), получим следующие значения постоянных: 1 С, = — — Ао, 2 С =но, Сз = 0, Со = О, 1 оч 2ео С = — — Во — — В=— 2 а' аз' 150 точное интегрировании уравнений Установившегося движения (гл.
ш по переменному г от нуля до некоторого значения )с, получим момент сил вязкости, распределенных до лиску ралиуса Й относительно осн вращения: и а й =- — 2и ~ (рта)о гас(г =- — ир)(гч 0 — — — 0,9)(ч тр р)рма ° (1 1. 12) о Таким образом, е рассматриваемом примере момент сил вязкости относительно оси вращения пропорпионален угловой скорости вращения в степени з/ .
9 12. Случай импульсного источника Следуя указанному в предшествующем параграфе обратному четоду, рассмотрим еща олин саучайт) точного интегрирования ураииений установившегося осесимметричного дяцжения вязкой несжимаемой жилко тн. В уравнениях (11.1) приз~ем поперечную скорость о равнга нулю и введем функцию тока ф, полагая 1дч 1дф г'г — — —, на — — —. г дз' "" «дг' Тогда первое и третье уравнения (11.1) можно представить е виде д (о~+па) 1 дф, 1 др ч д0ф дг~ 2 У гздг р дг г дл' д Уо,+~~) 1 дф, 1 др д()ф да(, 2 У гздг ' р дз г дг (12.2) тле 0 — оператор Стокса, разный да 1 д дз дгз и дй даз' (12.3) Перейдем теперь к сферическим координатам Р и 0 и положим: г = )г мн В, а — А соз 0. Отсюда будем иметь соотношения дг 1 дл дР— = з1п 0 да 1 дг — соз В дР )2 де' ог да Умножая в первый раз левые части (12.2) на — и — соответственно, дР д)р т) Слезкин Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
