Слёзкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1123892), страница 32
Текст из файла (страница 32)
е. на основе бигармонического уравде пения. Пусть иы имеем плоский диффузор (рис. 45). Движение жидкости в диффузоре буден предполагать установившинся и строго радиальным, т. е. о = — — им О. (6.1) дф дг Рнс. 45. Обозначим половину угла раствора днффувора через.ро. При указанных выше предположенияй рассматриваемая задача сводится 6! движинив жидкости в плоском диеетаога г решению бигармонического уравнения Ддф=О зри следующих граничных условиях: (6,2) и = — — =О, 1 дф г дт ф= О, при 9 — — 9о при о=О "рн т — 'те (6.3) 1 2 .де !) представляет собой величину расхода жидкости через каждое ;еченке диффувора.
На основании предположения (6.!) функция тока ф не будет зависеть от радиуса, поэтому Дф— 1 Фф гз Итз ' б Фф 2Фф 1лчф ддф= — —,— — — + — —. гз Лтз В дтз гз Л14 ' Гакнм образом, в рассматриваемом случае бигармоническое уравне- ние (6,2) сводится к следующему обыкновенному дифференциальному уравнению: А+С=О,  — 2Сяп 2фе+ 2В сов 2фо — — О, В+ 2С з!и 2фо+ 2В сов 2фо — — О, А +Вфо+ С сов 2фз+ О з!и 2фо —— — ф. 1 ° тсюда С=О, А=О, О -Е. 1 1 2 з!п 2тз — 2тз соз 2гз' 1 О 2соз21з 2 з!в 2гз — 2гз оз 2тз' (6А) дта дтз Общее решение дифференциального уравнения (6А) будет представляться в виде ф = А+Вэ+С сов 2ф+!) з1п 2ф.
Обращаясь к граничным условиям (6.3), получим для определения постоянных уравнения !76 движаниа пгн малых числах геннольдсл, мвтод стокса 1гл. т Таким образом, функция тока и радиальная скорость будут пред. ставляться в виде 1 эщ 24 — 2т ссе 2то ф 2 мп ЗГ4 2те соэ 2то' Е сов 2т — соз 2тэ г зщйте 2тасоа2то (б,о) Так как 4В . Г 4ГГ1 Ьф= — — мп 2р = 1гп ~ — 1, то на основании соотношения (2.9) получим для давления; (6.6) Полагая в этих формулах " = гТо у=гт получим: огне щз (пэ у )' зе (6.7) Первач иа формул (6.6) представляет собой скорость ламинарного движения жидкости между двумя параллельными неподвижными Сопоставляя полученные формулы (6,6) и (6.6) с формулами (1О.З) и (10.7) главы!У, мы заключаем, что как при сохранении квадратичных членов инерции, так н при их отбрасывании завнсньншти радиальной скорости и давления при движении жидкости в плоском диффузоре от расстояния г от вершины диффуэора остаются одними и теми же, меняются лишь завнскмости этих величин от полярного угла е.
Переход от чисто расходящегося течения к чисто сходящемуся в формулах (6.6) и (6.6) можно осуществить только изменением знака величины расхода Е. Таким образом, при приближенном решении задачи о плоско-параллельном радиальном течении вязкой жидкости принципиальные различия между райходящимся и схолящкмся течениями, которые были обнаружены при точном рассмотрении этой задачи в 6 1О главы 1Ч, обнаружить уже не удаатся, Считая угол вэ малым и проводя разложение сов2Т, соаэве с точностью до членов третьей степени включительно, получим для скорости и перепада давления следующие приближенные формулы: зе т~ — ч' 4г та ЗЛ ЗНЕ 1-йтз дг 2гэ 7 7) движении ШАРА в нвоггьничвнной жидкости 177 :генками.
Таким образом, при малых углах раствора плоского лиффуаора и при условии, что можно пренебрегать квадратичными члезами инерции, распределение радиальных скоростей по круговому сечению будет весьма близко к параболическому. Формула же (6.8) яля перепала давления укааывает на то, что при почти параболическом распределении радиальной скорости по круговоиу сечению в плоском диффузоре давление всв же будет изменяться не только зт сечения к сечению, как это имеет место при движении между параллельными стенками, но и вдоль самого сечения.
ф 7. Движение шара в неограниченной жидкости ВВ„=О, (7, 1) где  — оператор Стокса, представляемый з сферических координатах в виде (7.2) При зтих предположениях лавление будет определяться на основании (12,4) главы 1Ч из уравнений (7.3) а проекции вектора скорости будут представляться следующими ра- енствами: 1 дф ДРз1лз дз ду' о,= — — '-' — ° згз1л З д17' (7.4) Рассмотрим задачу о прямолинейном поступательном движении шара в неограниченной вязкой жидкости с постоянной скоростью К параллельной осн л (рис.
46). Прелполагая: 1) жидкость несжимаемой, 2) движение жилкости установившимся и осесимметричным, т. е. ду' р=сопз1, — =О, о О, де двп дв, — — О, — '=О, дт ' дт н 3) пренебрегая действием массовых Рис. 46. сил,и квалратичными членами инерции, получим нз (12.5) главы !Ч дифференциальное уравнение для функции тока 178 движения пеи малых числах езинольдсл.
метод стокса [гл, и При осесимметричном движении компоненты вихря на основании (8.12) главы 1 будут представляться в виде 7 дед а ми=О, и = — — [ — — — (йоз), мз — О, 2й[ аз ай Из этих выражений следует, что вихревые линии будут представлять собоп окружности с центрами на оси симметрии. Величина вихря через функцию тока будет представляться в виде 1 (7.5) При решении задачи о поступательном лвижении шара булем принимать условие прилипания к поверхности 1 дф йаз>па дз ! дв о,= —, — = — уз!по. йз>п З дй Кроме того, положим, что на бесконечности обе составляющие скорости обратятся в нуль: при й -+ со пв -+ О, о, -+ О.
(7.7) Вид граничных условий (7.6) указывает на возможность искать решения дифференциального уравнения (7.1) в виде ф = з!п> ВР(й). (7.8) У>итывая выражение (7.2) оператора Стокса, получим: Пф= з!пе В(Г" — — Г) = з!па 87(й). (7.9) Вычисляя еще раз оператор Стокса и обращаясь к дифференциальному уравнению (7.1), получим обыкновенное уравнение для функции 7 7" — — / = О. ! йз Проверкой можно убедиться, что обв>ее решение этого уравнения имеет вид 1= Айе+ —.
й' Подставляя значение 7' в (7.9), получим: уж — — Г= Айз+ —. (7.10) Составляя решение полученного дифференциального уравнения (7,10) лля Р из общего решения однородного уравнения и частных реше- 3 7! движение ш*тз в нвогганичвнной жидкости 179 ннй, отвечающих каждому слагаемому правой части (7.10), получим: Г(й) = — йз — — Вй+ Сйз+ —.
10 2 й ' Чтобы удовлетворить условиям (7.7) на бесконечности, необходимо положить; А=О, С=О. Используя граничные условия (7.0), получим уравнения В 2Р— — — = — У, а аз  Р— + — = — и, 2а аз Из этих уравнений будем иметь: В = — — Уа, Р= — — Уав. 3 1 2 ' 4 Подставляя найденные значения всех постоянных в (7.11), получим решения рассиатрнваемой задачи для функции тока и скоростей в виде 1 .
г аз! 6 = — У мпа 0 ~Зай — — ), — — тй) 1 /За аз! он —.— —, Усов 0~ — — — з), 2 '!й й)' 1 . /За аз! о,=-- — -из!по( — -) — ). '(й йз ) (7.12) Так как оператор Стокса от функции тока равен В а! па В й то из уравнения (7.3) будем иметь; др =- рВ(2 сов 0 — + ' ) = — рВН( — '). Следовательно, лла давления будет иметь место следующая формула: 3 созе зо )зз+ 2 аРУ у (7.13) Таким образом, для функции тока и компонент скорости будем иметь: ф = з1пз О1 — Ай! — — Вй+ Сйз+ — ), г 1 1 Р! 110 2 й) он= .
— = 2 сов 0 ~ — Айя — — +2С+ — ), (7,11) В Р ! йзз!п 0 да 110 2й йз ) 1 дт . /2 з В Р!. оз — — — — — з|п 01 — Айз — — + 2С вЂ” — ) ' йз!па дй (,5 2й йз) 180 движзнив пги мллых числах твйнольдсз. мвтод стокса (гл. ч Р» — ~ ~ ( — рсоз 0+1» — )йо, (7.14) где и» вЂ составляющ вектора скорости, параллельная оси симметрии. Для этой составляющей скорости н ев производной по радиусу К будем ивет»с 1 а») со»0 1 дь »в = опсоз 8 — о» ми 0 = — —.—.+ —— =д аз Мпз 17 а!7 2 1 .
1 со»0д ! агФ вЂ” ол соз О+ — о, з1п 0 — — — — (ог з!п 8) + — —. 17 г!аз аз 17 д!7» ' Учитывая граничные условия (7.6), получим: дв» Ъ 2!7 созга !7»1пгз со»0 ( -)- ( — 2(7 ып 8 соз О) + дФ) а а а ма 0 а а а На основании выражения (7.12) для функции тока будем иметь: ( — ).=--- — ) = — — (7 51пз О. дгф1, 1 дДг) 2 Следовательно, ( — ).= —. а»а 1 3 !7 — ) = — — — з!п'О. а»»») 2 а (7.16) Подинтегральное выражение (7.14) при использовании выражения для давления (7.!3) н для производной от осевой компоненты скорости (7.16) можно представить в виде ( ди» '1 3 1г — рсозО+р — ) = — — рзсозΠ— — р —.
(7.16) а!7). = 2 а' Результирующая от постоянного давления р по замкнутой поверх ности будет равна нулю, т. е. ) / соз865=0, Для определения результирующего сопротивления жидкости движению шара обратимся к общим формулам, установленным в 6 4. главы! И. В рассматриваемом нами случае интегральная формула для проекции Р, результирующего воздействия жидкости на шар представится в виде движвнив шзва в наогваничвнной жидкости 181 поэтому, подставляя выражение (7.16) в (7.14) н учитывая, что Цдо = 4 па', получим' (7.17) Рз = — бс!ьаК Равенство (7.17) представляет собой формулу Стокса для сопротивления шара при его движении в неограниченной вязкой жидкости. Согласно этой формуле сопротивление движению шара пропорционально коэффициент> вязкости, радиусу шара и скорости движения в иврвод степени.
Формула Стокса (7.!7) для сопротивлешш шара получена при условии озбрзсывания в уравнениях движения вязкой несжимаемой жидкости квадратичных членов инерции, поэтому она может считаться справедливой только при сравнительно малых значениях чисел Рейнольдса. Тем не менее, эта формула находит себе широкое применение. В частности, она широко используется в коллоидной химии, в молекулярной физике и метеорологии.
Польвуясь этой формулой, можно определять скорость осаждения мелких капель тумана, коллондных частиц, частиц нла и прочих мелких частиц. Приравнивая силу сопротивления шара (7.17) равнодействующей сил от гидростатического давления (архимедовой силе), получим следующую формулу для предельной скорости падения шарика малых размеров в вязкой жидкости; уш —.=-„-аэ г в и, (?.18) где р' представляет собой плотность вещества шарика, а р — плотность рассматриваемой жидкости. Формула Стокса используется также и для определения коэффициента вязкости сильно вязких жидкостей '). Вискозиметр, основанный на принципе падения тяжЕлого шарика, состоит из трубки с делениями.
Время падения шарика от одного фиксированного деления трубки до другого определяется секундомером. Найденное таким способом вначение скорости мозкно подставить в формулу (7.!8) и определить соответственное значение коэффициента вязкости. При более точном определении коэффициента вязкости на этом приборе необходимо учесть поправки на радиус трубки и на нестационарность движения шарика в жидкости. Если в рассматриваемой выше задаче о движении шара в неограниченной жидкости обратим движение, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
