Слёзкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1123892), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Главные оси поверхности напряжсний называю>ся главными осялги напряжений в рассматриваемой точке. 7(ля п.ющзлок, перпендвкулярных к главным осям напряжений, вектор напря>кений буде!. направлен строго по нормали к этим площадкам. Таким образом, па главных площадках развива>отса голько одни нормальные напряжения, которые назь>ваются главнылш нормпльными нплригкениями в точке. Касательнь>е напр»>кения на главных площадках обраща>отся в нуль.
На основании соотношения (!О.б) заключаем, что экстремальные значения нормальных напряжениИ будут нахощжься среди трах главных нормальных напряжений. Обозначая главное напряжение через Р„б>дем иметь длв его проекций следующие выражения: Р ~==Р(>ч Подставляя эти выражения в левую часть (!0.1) вместо р„ы и развбртывая сумму, получим следующую однородную систему уравнений: !Ры — -Р)1,+Р>з(в+Р>з)з--0 1 Ра>1>+ (Рщ Р,) 1з+РЫ(в = 0 (10.9) Рз>1! + Рзв(г+ (Рзг — Р,) 1з =- О бб скоеости дееогмлций члстины. компоненты нлпея»канин (гл, ! Так как направляющие косинусь! (г, йм 1» отличны от нуля, то опре- делитель этой системы должен обращаться в нуль, т.
е. Ры Р Рщ Рщ Р,,— Р, Рге Ргн (10. 10) Уравнением (10.10) определя!отса значения Р,, Рз и Рз трех главных напряжений в рассматриваемой точке. Раскрывая определитель в левой части (10.10), получим следу!он!ее кубическое уравнение: — Р',+Р,Р",+Ряр!„+Рз=-О, где коэффициенты Р,, Рз и Рз представляются в виде Р! = ай рая а=! ! = — РыРщ Р!. Рзз Рззры+ Рырм + РюРщ+ Рщры Ргэ Ргз~ )з= Рщ Рз! Рщ' Рщ Рзя Рзз ~ (1О.
Рй) Полученные выра!кения Р„Рз и Р. называются плзариантажи темзора мллрллгениа на том основании, что коэффициенты уравнения (10,11) не будут изменяться прн замене одной системы координат через другую с помощью поворота. Первый из этих инвариантов представляет собой сумму нормальных напряжений, Одна треть от этой суммы называется средним нормальныл напрялсениел в точке.
Если мы за оси коорлинат возьмвы направления, совпадающие с направлениями главных осей напра!кении в рассиатриваемой точке, то инварианты напрюкений будут представляться в вщье г ! =- Р ! + Рз + Р! Ря = Р»Рз Рзрз Р»Р! 3 ) !Р2Рз. П0.13) з=з Ря Х Ри)А е=! (1О. 14) Возьмем теперь вторую площадку, проходящую через ту же точку и имеющую нормаль и' с направляющими косинусами 1а (рис, 15), Применяя формулу (10.2) к тому случаю, когда за оси координат выбраны направления главных осей напряжений, получим: й !01 гл*яные н*пеяжения Проектируя вектор напряжения рп на напрзвление нормали и' ко второй площадке, получим: е=ь Рпп' = Хрь(ь(ь. е=т (10.
15) (10.!0) Рте =Рп и. Применяя это равенство к трем вааимно Рпс. 1Е. перпендикулярным площадкам, нормали к которым совпадают с направлениями произвольных осей координат, получим следующие соотношения взаимности или сопряженности касательных напряжений: (10.! 7) Ры =Рвы Рее = Рт Рт =Рщ. Возьмем элементарную площалку, нормаль к которой совпадает с направлением биссектрисы угла между двумя главными направлениями напряжений, т. е. имеет слелующие направляюиьие косинусы: у/2 у ь 2 '-' 2 ч Вектор напряькения нз этой площадке на основании (!О.!4) будет представляться в виде Р,= 2 (РА+Рэ(е).
)Р2 (!0.18) Проектируя этот вектор на нормаль т получим нормальное напря- жение 1 2 (Рь+Ря)' (10.! 9) Касательное же напряжение на этой площадке булет равно Р = )с Р, — Р'„„= 2 (Рь — Ре). 1 (10.20) Таким образом, разность двух главных нориальных напряжений равна улвоенному касательному напряжению на той площадке, нормаль к которой является биссектрисой угла между рассматриваемыми главными осями напряжений.
Касательные напряжения на площадках, нормалями к которым служат биссектрисы углов межлу направлениями Если же взять вектор напряжения р„, на второй площадке с нормалью п' и спроектировать его на на- Р правление нормали и к первой площадке, то получим то же выражение (10.15) в правой части. Таким образом, получаем теоРему Коши о езпимности напряжений на двух площадках, наклонЕнных друг к другу пол произвольным углои 58 скогости диеогмлций частицы. компонинты нлпгяжкний [гл. » славных осей иапряи<еинй, навываются глааныжи касатлельиыжи напряжениями. Таким образом, для главнь>х касательных напряжений будем иметь: з 2Р», =Р.
2Р»'»' = Рз — — Р„ (!0.21) где (1'), (2') и (3') обозначают направления указанных биссектрис. Так как из трлх главных нормальных напряжений одно будет иметь наименьшее значение, а другое — наибольшее значение, то разность этих двух будет представлять лтакгимпльное значение кпсптельиого иат»Рялсеиия в рассматриваемой точке. Иначе говоря, из трех главных касательных напра»кении одно будет представлять максимальное касательное напряжение. Девиа»порол» напряжений называется тепзор, составленный из теизора напряжений с помощью вычитания из диаго»»альйь»х его членов величины среднего нормального напряжения Р»т 1 ,»зз — — Р, 3 (10.22) Р* ! 1 3 11срвый линейный инвариант давид»ора напряжении 0»лет равен нулю.
Э»о обстоятельство будет означать, что девиашр напряжений своим действиеч нЕ может измен»пь объйм, а мо»кет изменить лишь внешнюю форму объема, занимаечого часпщачи. Второй квадратичный инвариант девиатора напряжений будет представляп,ся в виде 0Р.', = (Рц — р,„)» --(!».„— Рз,>т — !Р», — р, >е+ +0(Р,".,+вз+Р.'-„',). (!02»3) Иаидсч рс»»льтпр>т»»»»сс каы»»ельиое напряжение, т. е.
то касательное »»зираженне, которое имеет место на ило»палке, нормаль к ко»арон» составляет равные углы со всеми главнымп осями напряжений. Это резулыирующее касательное напряжение называется так»ке аилшнсавиос»иью иасашельных напряжен»»й. Йаправзяющ»»е косин>сы нормали к рассматриваемой площадке будут равны 1 )Р3 Рз=-= Рс==.
Рз Рз У3 т'3 (10.24) 1!з основании (10.1) проекции представляться в виде Р» Р»= —; )г:! ' вектора напряжения на зтай площадке будут 59 ововщвнная гипотеза ньютона Следовательно, модуль вектора напряжения будет равен Р = Г 3 (Р +Р-'+Р»' /1 (10.25) Умнгпкан левые и правые части (10.24) ва нвправляющпе косинусы нормали, 1 т. е. иа = , и складывая, получим величину нормаа ного напрявюнпя на )сз ' рассмагрпваемой нлщпадке в вале 1 Р» = (Рг+Рг-г Рх). 3 ( йййб) В таком сл)'чае касательное напряжение на агой плщдадке, вычисляемое по формуле (10.4), будет равно Р,. = УР,— Р„= 3 Г (Рт — Рз) +(Ра — Рх) +(Рв — Р,) . (1022) С другой стороны, второй инвариант девиатора напряжений (10.23) будет представляться через главные напряженна следующим образом: бр, '= (Р, — Ря)е 4 ( Рв — Рз)я+ (Р, — рх)".
(10.23) Сле овательно, ннгенспвность касательных напряжений и второй инвариант девнатора напряглешгй булуг связаны следующей завпснмостью; 3 Р = — р 2 (10.20) й !1. Обобщенная гипотеза Ньютона Если рассматрнвагь силу вязкости как касательное нанрюкенпе, а производи)чо ог скорости движения частицы по нормали к направлению скорое~и как удвоенную скорость деформации, сдвига, то г>нотеза Ньютона о силе вязкосги жидкости будет свалиться к тому заключенгно, чго касательное напрязкение пропорционально ссоростгг деформации сдвига. Такое заключение было сделано в 3 4 для случая прямолинейно-параллельного движения жидкости. Первое обобщение гипотезы Ньютона мы получим, если распространим это заключение и на общий случай движения жидкости, полагая, что каждая компонента касательного напряжения пропоряиональкп соответственной скорости дег)германии сдвига, т, е.
р, =2ре Ряз = 2Рет рвг — 2нет, где р — козффищкнт вязкости. Далее примем, что главные осн деформаций совппдают с главными осями нппряжвний в каждой точке областгг, занятой 60 скогости дяеоемлций члстицы. компоненты нкпгяжгний (гл. > жидкостью. Жидкость, для которой это положение буде~ справедливым, называется иоотропной.
В изотропной жидкости нет каких-либо исключительных направлений по отношению к леформацням и напряжениям. Выберем за оси координат трн направления главных осей деформаций и главных осей напряжений и применим формулы (! 1,1) к главным касательным напряжениям (й 10) и главным скоростям деформации сдвига Я 7); рг = 2ре> з, р> г — 2',ыз'з' рз > — 2раз и. Заменяя главные касательные напряжения через главные нормальные напряжения по формулам (!0.21) и главные скорости деформации сдвига через главные скорости удлинений по формулам (7.8), получим: р> — Р> Р.> Рз Рг р> з> — зг зз — зз зг — з> (11.2) Таким обрааом, лля изотропной жидкости отношения разностей главных нормальных напряженна к рааностям соответственных главных скоростей удлинений равны между собой и равны удвоенному значению коэффициента вязкости.
Из соотношения (11.2) можно определить разности компонент главных нормальных напрлжений, но не каждую компоншлу нормаль, ного напряжения в отдельности. Следовательно, первого обобщенна гипотезы Ньютона, представленного соотношениями (11.1), еща недостаточно для установления связи между состоянием напря>кении и состоянием скоростей деформаций в каждой то>ке области, запятой жидкостью. Из трех соотношений (11.2) независимыми явля>отса только два.
Следовательно, для опрелеления трех компонент р„, р и рз недостает лишь одного соотношения, связывающего нормальные главные напряжения с главными скоростями удлинений. Такое дополнительное соотношение мы получим, если в качестве второго обобщения гипотезы Ньютона примем, что среднее нормальное напряжение, в каждой точке состоит из давления, непосредственно не заеисшцего от скоростей деформаций, и дополнительного напряжения, пропорционального скорости обьемноа деформации т. е. З (Л + рг+ рз) р+ )' 1> Ф где й' — -второй козффацигнт вязкости.
Первь>й коэффициент вязкости был непосредственно связан со скоростью деформации сдвига, второй >ке коэффициеш вязкости связан со скоростью объемной деформации частицы. 11! Озозцганнья Гипотеза ньютОнА 61 Решая совместно соотношения (11.2) и (11.3), получим следующие равенства для главных нормальных напряжений. р = — р+2йе +1Л 3 ) 6 2Р1 р., == — р+2ие. + ! Л вЂ” —,) !1, 2ит д) р! =' р+ййег+ ~Л з ) 6' /., 2н1 (1 ! .4) р, = — р+ а,е, + авва+ агеа.
(11.5) Рнс. 16. Покажем, что из трех коэффициентов а,, аг и ав независимыми будут только два. гз)ля этого перейдем к новым осям к<кърдииат х', х,'„х', получаемых из первых с помощью поворота вокруг оси х, (рис. 16) на угол в 90'. По отношению к этим осям (!1.5) представится в виде г р, = — р + аге! + аяе, + авег. (11.6) Но вследствие х, ==х,, ! х =- ! х!ч, хь = — — хе будем иметь: ! до, ! дх, до, — =г,, дх ! е! о, =О,, д,' дх., диг = г дхг ! ое = г/г, до. дхе оч = — оеч ! ее = Таким образои, глввныс нормальимв нипряженик составляются из дивления, из иипряжскин, пропорционального соотвстсгпвснной гливиой скорости удлинения, и кшцгнжеиил, пропорционального скорости о!!единой деформации. Соотношения !11.4) могут быть по- .т лучены и иным путЕм, а именно: внача.че принимаем, что главные оси напряжений совпадают с осями главных скоростей деформаций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
