Слёзкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1123892), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Затем полагаем, что алгебраические разности между главными нормальными напряженияии и давлением будут линейными функциями главных скоростей удлинений, т, е. Следовательно, равенство (11.6) примет вил р, =- — р+ а,з, + аззз+ аззз. (11.7) Приравнивая правые части (11.5) и (1!.7), получим; Б таком случае (!1.5) представится в виде р, =- — р+(а,-- аз) з, + аз(з, -+ за+ з,). Обозначая а,— аз=28, аз=)., из (11.8) получим; р, = — р+ 2йз, + ).!ь (1!.8) (!!сй) Правая часть (11.0) будет совладать с правой частью первого соотношения (! 1,4), если положить: (1!. !О) Уравнения (11.4) связывают главные нормальные напряжения с главными скоростями уллинений. Чтобы получить соответственные соотношения для нормальнь|х напряжений по трем взаимно перпендикулярным площадкам с произвольной их ориентацией по отношению к главным осям, вослольауемся формулой П0.14), имеющей зил з=з Рл = Х )гз)ззз г — 1 Подставляя в правую часть значения рл из (11.4), получим г,=з л=з р„=- гу — р+(), — — )0~ д„)зал+20 ~~~~~ зз!Д.
(11.11) 2/ 3 ) /с=.1 г' =1 Сумма, вхолящая множителем в первое слагаемое в правой части, представляет собой единичный вектор нормали к рассматриваемой площадке, т. е. г —.з ~Р~ (л)л = з, л=г вторая же сумма согласно формуле (7.14), а затем формуле (6.10) может быть представлена в виде ь=з з~.=з а=з Х. '-, =Х (ром)лзе %ч за!лза =, =,~а,,~~ ° ь)ьз ... =г л=г где !» — направляющие косинусы нормали по отношению к осям коорлинат, не совпадающим с направлениями главных осей напряжений и деформаций в рассматриваемой точке. 62 скогости двеогмтций частицы.
компоненты нлпгяжений )гл. з $ 11] осовщвннлн гипотаэл ньютона Таким образом, вектор напряжения на площадке с нормалью и будет представляться в виде ~ =За=э Р мв~ Р+(' З )6)1+ 2р,~ ~~~~1 ежл)азж П1 12) л-1 11 =1 Проектируя левую н правую части (1!.12) на нормаль, т. е, умножая скалярно на слиничный вектор норма.ти ч=з 1'= ~~2~ 1„,1„„ » —.
1 получим вырз1кение длн нормального напряжения в виде Ф=з ч= рнл =-.= — р+ (л' — — '") 6+ 2и ~) ~~1 зля/11„,. 111.13) 1=1ж=1 Скорость относительного удлинения отрезка, совпадаю1него с нормалью п, мы получим из формулы (6.5), если поделим левую и правую части этой формулы на Ь и заменим эхь — = 11 зз за Итак, нормальное напряжение на площадке с произвольным направ- лением нормали и представляется слелуюшим образом: 211 1 Рч = — Р+(' э ) 6+ 2йзьчн (11,15) Применяя эту формулу к площадкам, нормали к которым будут совпадать с положительными направлениями осей коорлинат х,, хз и хж пол)'чим: Ры — Р+ л — — ) О+ 261,1, /,, 2111 р = — р+11 — н)6+21 2н (11.16) Полученные соотношения (!!.1) и (11.!6) связывают между собой все шесть компонент напряжений и все шесть компонент скоростей Следовательно, скорость зн„ относительного удлинения отрезка будет представляться я виде м=з л=з (! 1.14) м=1 Л=1 64 скотости дкеотмлций частицы.
компоненты нлпеяжвний [гл, г деформации частицы. Их можно объединить в виде следующей зави- симости тензора напряжений от тензора скоростей деформаций: ..~-- ( —,) Рг г Ры Ргз1 1 О 01 е е еьз[ /., 2н! Рзт Рзе Раз~[=~[ Р+(л — и ~0~10 ! 0[+28 еш ет езз~ [Рш Р.„Р.„[ [О О ! 1 (11.! 7) Тензор, у которого элементы по диагонали равны елинице, а все остальные равны нулю, называется единичным тентором. Это соотношение показывает, что теизор напряжений является линейной неоднородной функцией от, тентора скоростей деформаций частицы, Если мы учтйм выражения компонент скоростей леформзцип частицы через компоненты скоростей движения ей центра, то соотношения (11.!) и (11.16) прелставятся в зиле р = — р+2о +[2' — — [О, до, /., 2п!, гг— доз Г, 2н1 р == — р+2р — "+~а — — '[01, зз р.
= — р -[ — 28 — з+. [ Д' — —,' ! О; (11.18) Дезиатор напряжений (10.22) через глазные нормальные нзпряження представляется в виде 1 [ Рь Рз — (Рз — Рз) 0 о (!)л) = — О рз — р, — (р, — рз) О з~ О 0 Рз — Рг (Рз — Рз) Девнатор скоростей деформаций (7.9), представленный через главные ско. рости удлинений, имеет зид О 0 ьз — ез — (ц ьз) 0 0 ез — еь — (ьз — ьз) 1 М вЂ” 'з — ('ь и) (с),) = — О з Равенства (11.18) представляют собой в окончательном виде обоби!йнную гипотезу Ньютона, устинаеливаюигую дифференциальную связь между компонентами напрнжений и скоростями движений частиц жидкости. ф 11) ОБОЯЦЕННАЯ ГИПОТЕЗА НЬЮТОНА 05 Если значения разностей главных нор»»альных напряжэний в (()я) заменим согласно (11 2) через разности главных скоростей удлинений, то мы получим: (Тз ) =2н(В,). (11.19) Таким образом, обобщение гипотезы Ньютона, прелставлеиное соотношениями (1!.1) или (11.2), по своему существу означает, что девиатар напряжений пропорционален девиатару скоростей деформации, причем козффицнеит пропорционзльности равен удвоенному козффициенгу вязкости.
Заметим, что соотношение (!1Л) есть не что нное, как линейное соотношение между линейным инвариантом тензора напряжений (РН и линейным инзарпантом тензора скоростей деформаций (Е,), т. е. Р, —.— — Зр+ ЗА'Еи (! 1.20) Аналогично обстоит дело н с соотношениями (11.2). Если мы возьмбм квадратичный инвариант девиатора напряжений (10.28), заменим в пбм разности напряжений нз (11.2) и учтем выражение (7.!2) для квадратичного ннвариаита тепзора скоростей деформации, то получим: (11.21) Таким образом, обобщенная гипотеза Ньютона сводится к линейному соотношению (11.20) аинейных инвариантов тензоров напряжений и скоростей деформации и к линейно»»у соотношению (1!.21) квадратичных инварпаитов девнаторов напряжюшй и скоростей деформаций. Это обстоятельство указывает па то, что обобщенная гипотеза Ньютона обладает свойством инвариантности, т, е.
онз не зависит от выбора системы координат. Наконец, подставляя в (11.2!) Значения Р„из (Н129) и зиачения Е„из (7.13), получим: Р,» = 2Н»» (!!.22) Таю»и образом, обобщение гипотезы Ньюгова, представленное соотношениями (11.1) нлп (!1.2), сводится к тому, что интенсивность касательных напряжений пропорциональна интенсивности скоростей деформаций сдвига.
На освозаннп (10.2б) нормальное напряжение на площадке результирующего сдвига сводится лишь к среднему нормальному напряжению. Следовательно, соотношение (1!.3) можно представить также в анде р „=- — Р+ 1'э. (11.23) Таким образом, второе обобщение гипщезы Ньютона свод~»тся к устаиовяению линейного неоднородного соотношения между нормальным напряжением на плоитадке результирующего сдвига п скоростью объемной деформации. Уравнен»гя (1!.18), представляющие гипотезу Ньютона в окончательном виде, содержат два коэффициента вязкости р и ) '. Эти два коэффициента вязкости след>.ет рассматривать как физические постоянные, зависящие прежде всего от температуры и, может быть, ог давления, Так как в процессе движения жидкости температура, вообще говори, не будет оставаться постоянной, то и введЕнные коэффициенты вязкости, вообще говоря, тоже должны рассматриватвся как переменные величины, зависящие через температуру от времени и координат рассматриваемой частицы.
Зависимость значения первого коэффициента вязкости от давления начинает проявляться бб сковости дьвогмаций частицы. компонвнты напгяжвний (гл. ! при сравнительно больших давлениях, причем по исследованиям Бриджмена ') вязкость многих жидкостей увеличивается до давлений 2000 — 3000 пгл приблизительно по линейному закону, а затем это увеличение проходит по более резко подымающейся кривой.
Можно считать оба коэффициента вязкости строго постоянными лишь в том случае, когда можно пренебречь изменениями температуры при движении жидкости и когда нет внешних источников изменения температуры и давления внутри области, занятой жидкостью. Первый коэффициент вязкости р является основным. Для его определения существует множество различных способов, основанных на применении тех конечных формул, которые могут быть получены в рез> льтате интегрирования соответственных дифференциальных уравнений с использованием соотношений (11.18) для частных случаев движения жидкости. О некоторых из этих способов мы будем говорить ниже.
Что же касается второго коэффициента вязкости, необходимость учета которого монсет возникать только при рассмотрении того движения жилкости или газа, в котором явно проявляется свойство их сжимаемости, то до последнего времени его совершенно не учить!вали. И только в связи с исследованиями Л. И. Мандельштама и М.
А. Леонтовичах) влияния внутренних процессов с большим временем релаксации на распространение звука в жидкости было указано на необходимость учета второго коэффициента вязкости. В отдельных случаях значение второго коэффициента вязкости может намного превышать значение основного коэффициента вязкости. Но приборов по определению второго коэффициента вязкости пока не предложено. В 12. Различные виды сред В предшествующем параграфе напряжения были поставлены в зависи. мость только от скоростей деформации частиц, причем зта зависимость была принята в простейшей своей форме, т. е, в виде линейного соотношения (11.20) между первыми иивариантами тепторов напряжений п скоростей деформаций н линейного соотвошевия (11.19) между самими девнаторамп напряжений и скоростей деФормации.
Будем жидкость называть вяткой, если для неа будут приняты соотношения (11.19) и (!1.20). Полагая оба козффицнента вязкости равными вулю: 9=0, 17=0, получим жидкость, я которой напряженное состояние в каждой точке харак. тернзуется одним лишь давлением, не зависящил~ явно от скоростей деформации частиц. Такая жидкость называется идеальной. Понятия идеальной и вязкой жидкости отражают лишь приближенно объективно существующие свойства реаг ьных и.идкостей и газов. Лишь некоторые из них могут с достаточной степенью точвости изучаться либо с помощью гипотезы идеальной жидкости, либо с помощью гипотезы вязкой гкидкости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
