Слёзкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1123892), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Через переднюю грань, проходящую через точку О с координатами д,, дг и дв, войдат за промежуток времени б( масса, равная (ро ЛгЛг) о>7 о>)абб Череа противоположную грань, проходящую через точку с координатачи д>+Ьд>, д, д, из параллелепипеда выйдет за тот же промежуток времени масса, равная (Рог>ЛгЛД ьг йдз одг бт = д = '[(ри>НгНг) + — (ро>НгЛз) од>+...
~ одг ода Ы. Следовательно, внутри параллелепипеда задержится масса, равная (ро>НгЛ ) одг од од> Ы— д (1.4) дд, ' Точками в правой части отмечены те слагаемые, которые имеют, по'крайней мере, один лишний множитель од,. Если мы возьмем две грани, перпендикулярные к касательным к коорлннатной линии дг, а затеи и перпендикулярные к касательным линиям дв, и проводам аналогичные рассуждения, то для количеств массы. задержавшихся внутри параллелепипеда, получим следующие выра>кения> д — — (Р гнгН>) д>6дгодгб( —...,1 ддг д — — (РовН>Л)од, од, одаб( —... Складывая выражения (1.4) и (1.5), получим то приращение массы внутри параллелепипеда, которое будет иметь место за счет входа и выхола массы через его границы за промежуток времени бт> — ~ — (Ро>ЛгНг)+ — ((о ЛзН>)+ — — (РпаН> Лг))Рд>одгод>Ь( — —...
(1.6) [дд> ' г дд, - а Ь), Предполагаем, что внутри параллелепипеда источников нет; тогда изменение массы за счЕт изменения плотности, представленное выражением (1.3), и изменение массы (1.6) за счет входа и выхода ед через границы лолжны быть равны между собой, т. е. др Г д дг Н>НгНвбтдд> ода о>уз+... = — [ ~ (ди>НвНг)+ 'с д д д + (рогНгН>) + (ровН>Нв) од> одг одз бт ' ( 1 7) ддг дд„ т8 тгавнзнив нвтлзрывности Это уравнение представляет собой уравнение изменения массы в эле- ментарном фиксированном параллелепипеде. Делим обе части равен. ства (!.7) на произведение Н>НзНз ир щ > 0(>з й>гз и переходим к пределу, стягивая параллелепипед в точку (о>)> -> О, 3>)з -ь О, 8>)а -т 0), а промежуток времени ЛГ к нулю.
Тогда все бесконечно палые слагаемые высшего порядка обратятся в нуль, и иы получим уравнение изменения масс в фиксированной точке пространства в криволинеиных координатах — + — (Рп>НэН>)+д— (РозНзН>)+ д ((РюзН,На)Э = О, (1.8) Ч! =х, Ча=-у, >)з=л' г>> ==- и, тх =.и, па=-.сш Н,=1, Н,=-1, На=1, и >равнение неразрывности (1.8) примет вид — — — = о. др, д (ри) д (ри) д (рю) дг дх ду да (1.9) Если жидкость нес>кимаема (р = сопя(), то уравнение неразрывности (1.9) примет вид (1.!О) Уравнение (1.!0) обычно называется уравнением несжимаемости, Левая часть этого уравнения представляет собой дизергекаию вен>лора ско)юсюи (1.!1) — + — + — =д!ч У ди ди дз> дх ду дх Так как ливергенция вектора скорости прелставляет собой прелел отношения потока несжимаемой жидкости через бесконечно малую аамкнутую поверхность к величине объвма, охватываемого втой поверхностью, то в криволинейных координатах эта дивергенция булет представляться выражением (1.6) с обрзтным знаком, полелан- которое называется также уравнением неразрывное>пи.
Уравнение неразрывности связывзет локальное н конвективное изменения плотности жидкости с изменениями скоростей при перехоле от одноб фиксированной ~очки к другая. рассмотрим случай, когда положение фиксировапнон точки пространства опрелеляется с помощью обычных декартовых координат х, у и г. В этом случае мы будем иметь: 74 дня ьятенциальные теавнення дан>кения вязкой жидкости [гл. и ным на об.ьем и сокращенным на плотность. Таким образом, для дивергенция вектора скорости в криволинейных координатах получим следующее выражение: 41ч У = >у О >т д (о>Оз)тз)'+ д (оэ>ьгзгт>) + д (озгт>гтг)1.
( 2) Если существует потенциал скоростей >э, то 1 с>Ч 1 дт 1 дт В этом случае дивергенция вектора скорости будет равна дифференциальному оператору Лапласа от потенциала скоростей, т. е. дэу д Ч , дгт д>э Ъ' —. — — ь+ — + — —, = Ьр, дкэ дуг дег по аналогии Формула (1.!4) предстзвляет оператор Лапласа в криволинейных координатах. Произведение плотности р на вектор скорости частиц называется вектором плотности потока массы.
В таком случае уравнение неразрывности (1.8) связывает локальное изменение плотности с дивергенцией вектора плотности потока массы. В 2. Уравнение переноса количества движения Теорему об изменении количества дан>кения в фиксированном обьеме можно сформулировать следующим образом: Количество движения в фиксированном объеме изменяется за счет: 1) входа и выхода масс через гранины объема, 2) действия импульса внешних массова>х сил и 3) действия импульса поверхностных сил напряжений.
Провезем подсчет изь>енеций количества дви- жения в фиксированном параллелепипеде с дли- )'о нами ребер аз>, эвэ и озз (рис. 18). да," ---.даг Обозначим через Р вектор силы, отнесЕнный к единице массы жидкости, а чеРез Р,, Р ., Р з— векторы напряжений на площадках, перпендикулярных к касзтельным к коорлинатным линиям >)>, Рпс. 1В. и дан проходящих через точку О(ро >уг,>)а).Вязки минусы в индексах означают, что нормали к этим площадкам направлены против положительных направлений координатных линий.
В этом случае можно положить; Р.= — )з />-э = Рэ 75 о 2) гелвнение паеаносл количкствл движения В момент Г л>асса, заключенная в параллелепипеде, имеет вектор количества движения, равный (рЪг) Н Н Нэ од Ъд одл, в момент же (+Же вектор количества лвижения в рассматриваемом параллелепипеде булет равен д(>у) (ЧЮс,лл Н>ИеНэод>одеддэ+Ъг)г+ д> бт+. ~ Н>Н>НлоЧ, одоЗдэ.
Слеловательно, приращение вектора количества движения в фиксированном параллелепипеде будет равно д(рь) дт Н>И Нэа г>дл од од + (2.1) (2.2) Теперь проконтролируем изменение количества движения аа счет входа и выхола масс. Через грань, перпендикулярную к касательной к координатной линии дл,' входащаа масса Ро>НэйэбдеЪдэ бт внесет с собой в паРал. лелепипед вектор количеств движения (рол ЪгНеН,) Ъдз одэ Ы.
Через противоположную грань иэ параллелепипеда выйдет масса со слелующим вектором количеств движения: (рт> УН Нэ) > од,. од Ь( = д ;...= (р,ЪИ,Нл), + — ((. ~)УНлИэ)од,-(-.. ~) дд,дд,~. дд, Следовательно, внутри параллелепипеда задержится вектор количеств движения, равный д — — (оо )гнэнэ)ОЧ>одльдэм— Проводя аналогичные рассуждения по отно>нению к граням, перпенликулярным к касательным к координатным линиям д и дэ получим: д — — — (рт>лЪ'НэН,) од, ддэод,.))в (ррзЪ Н>Нэ) о>1> одэ од дг дд, ' ' ' э Складывая выражения (2.2) н (2.3), получим приращение вектора количеств дан>кения за счЕт входа и 'выхода массы через границы параллелепипеда д д — — (Ри УНаН,)+ д — ((РвэЪ'НэН>)+ + — (ро,)ГН>Нэ)) Ъдл одэ одэб( —...
(2А) д 76 дифовганцилльныв эглвнвния движвния вязкой жидкости [гл. и рРИ,НэНздд,од. од ц(, (2.5) На грань, перпендикулярную к касательной к координатной линии д,, действует импульс от вектора напряжения, равный Р дНэНв ода одэ оа = — (РгНэНзГ ода одэ п(. На противоположну16 грань с нормалью, направленной в положительную сторону координатной линни, будет действовать импульс, равнь1й (Р,Н,Н,),, йдаодви(+ЦнзНв), + — (Р,Н,Нв)дд,+...~ддзадвйд д Следовательно, результирующий импульс от этих двух импульсов будет равен — (р„Н Нэ)дд,од одэл(-[ д (2.6) дд, Проводя анзлогнчные рассуждения по отношению к граням, перпендикулярным к касательным к координатным линиям д.
и д,, получим: д — (раН Нг) од, од„одзлг [-..., ~ д (2, 7) Складывая выражения (2.6) и (2,7), получим то приращение количества движения внутри фиксированного параллелепипеда, которое обусловлено действием векторов напряжений по граням: д д д — (рдг(эНз)+ — (раНэН,)+ — (р„Н,Нэ)[од, ода ода л(+... (2,8) дд, дд, два Других источников изменения количеств движения внутри фиксированного параллелепипеда нет. Поэтому изменение количества движения, представленное выражением (2Д), мы должны приравнять сумме отдельных приращений (2А), (2.5) и (2.8): д (рУ) Н НзНаодг ддэддзйс+, ..
=- оРг(гг( Нзод, ода одаб(†— [д — (Ро,[гНзгуа)+ (РоэьНаН,)-[-д— (РоаУНтНо)]од,ддэодвгг( — „+ Гд д д Гд д д .+ '[ (РтНаНз) + (Ра7(вНг) + (РзНтН )~ ддг одз ЙУа ЛГ+... (2.9) [дд, ода Подсчитаем изменение количества движения за с йт действия сил. Приращение количества движения массы в параллелепипеде за счйт действия объймной силы Р будет рвано элементарному. импульсу этой силы, т. е. телвнание пкевносл количестве движения 71 Уравнение (2.9) представляет собой уравнение изменения количества движения в элементарном (биксирозанном параллелепипеде, Обе части равенства (2.9) разделим на Н,Н Н эц,'деог) бс и перейдем к пределу, стягивая параллелепипед в точку (э>7> -« О, ь>)в-+ О, 6>)з -« О), а пРомежУток вРемени бс УменьшаЯ до нУлЯ.
Тогла невыписанные члены высшего порядка малости, отмеченные точками, обратятся в нуль, и мы получим уравнение изменения количества движения в фиксированной точке пространства д ,1 (РУ)+~~ НН ~д— (рп>Уг(аНзН-д (риаУ™а >Н вЂ” (Рт>аУН> я)~— 1 Гд д, д .— РР+ ННН ~д— (Р>НеН!)+ д) (РеНчН,)+д (Рзг(>На)~. (2.10) и =рпаУ вЂ” р, ~ и .— рпУ вЂ” Р. (2.11) Эти три вектора образуют тензор, который называется тензором плотности потоки импульсов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
