Слёзкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1123892), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Но в некоторых случаях не только гипотеза идеальной жидкости, но н гипотеза вязкой жидкости может оказаться недостаточной. Так, например, для масзя- т) Бриджмеп П. В., Физика высоких давлений, ОНТЫ, !935. з) Леонтович М. А., и Мандельпгтал~ Л. И., Журн, зкспер. и теор. физики, т. НП, 1937. 121 глзличныв вилы свил иг 2их : !О + 2иги, 3) 2н х — )О+ 2ре г, 3) 281 — ) О -~- 2игзь 3) ри=(1. рщ=()у— ри = ('~— (12.! ) ртз = 2йгтг рю = 2йгж, рщ = 2ргж Лри таком предположении среднее нормальное напряжение строго пропорционально скорости объемной деформации, т.
е, — (ртт+ргз+рш) =)'О. ! 3 (12.2) Соотношения (!2.1) и (12.2) по своему формальному лиду совпадают с соот. ношениями длн упру~ой среды, подчиняющейся обобщйнному закону рука, г той лишь разницей, что вместо самих деформаций для упругой среды в рассматриваемом случзе входят скорости деформаций. На етом основании гипотеюшескую среду, для которой принимаются соотношения (12.1), можно именовать чисшо вязкой средой. В чисто вязкой среде напряжения возникают лишь тогда, когда возникают скорости деформаций частиц. Дифференциальные уравнения движения такой среды впервые были предложены ещб Коши в 1828 г., а затем в 1877 г.
Бочером г) В качестве приыера такой чисто вязкой среды Бочер привбл канадский бальзам. Другая возможность уравнять отношения Напряжений и скоростей деформаций будет заключаться в том, чтобы и касательное напряжение связать со скоростью деформации сдвига также неоднородным соотношением. Например, соотношения (11.22) и (11,23) иы пажем заменить иовыьпг, пиеющими вид р,г=б —;2иги, (123) ') Ви1сйег, Ргос. вопд. Ыа!Уь 5ос., чо1. (ГП!, 1877.
ных красок, для различных суспензий, Лля смазочных масел при низких температурах гипотеза о вязкости в форме соотношения (11.19) оказалась недостаточной, н потребовалось ее изменение в сторону прибавления допол. нительного слагаемого, представляющего собой так называемое предельное иапряжгиие сдвига. Вой сказанное выше дает основание к тех~у, чтобы, помимо гипотез об идеальности или вязкости жидкости, рассмотреть и некоторые другие гипотЕзы, устанавливающие иные связи между состояипвм напряжений и состоянием деформаций в каждой точке. Сопоставляя соотношения (11.1) и (!1.16), мы андии, что нормальные и касательные напряжения находятся не в одинаковом отношении к соответственным скоростям деформаций.
В то время как касательные напряжения обращаются в нуль вместе со скоростями деформаций сдвига, нормальные напряжения пе обращзются в нуль при обращении в нуль соответственных скоростей деформаций удлинений, Следовательно, можно ставгпь вйирос о точ, чтобы уравнять отношения напрюкеннй к скоростям деформаций.
Это можно сделать, если положить в соотношениях (11.16) или (!!.4) давле- инЕ равиыи нулю. Тогда получим следующие соотношения, связывающие напряжения со скоростяии деформаций: 68 скогости дпеовмаций частицы. компонвнты напгяжвннй (гл. г где слагаемое 6 следует именовать предельным напряжением сдвига. Срелу, для которой принимаются соотношения (12.3), можно иззывать плястпческггзязкой средои. Впервые такую пластически-вязкую среду ввсл в рассмотрение Бочера), а ззтем и Бингам з).
В своих исследованиях Бинтам показал, что примераип пластически-вязкой среды могут служить масляные краски и некоторые виды суспензий. М. П. Воларовнча) рассматривал смазочные масла при низких температурах также как пластически-вязкие среды. Им же разработаны и некоторые приборы для определения величины предельного напряжения сдвига. Второе соотношение (!2В) с заменой р.,-, и г,,- через максимальные компоненты было использовано А. А. Ильюшиным 4) з созтанной ии теории пластически-вязких дефориаций некоторых металлов. До сих пор состояние деформаций характеризовалось одним только тензором скоростей деформаций. Если для характеристики состояния деформаций в каждой точке среды привлечь, помимо тензора скоростей деформаций, еще и тензор самик деформаций, то можно получнгь и другие соотношения, отвечающие другим видам сред с различными механическими свойстваии.
Скорость деформации представляет собой величину деформации, образованную за единицу времени. Следовательно, чтобы получить величину деформации, образованную за конечный промежуток времени, надо скорость этой деформации умножить па дифференциал времени и проинтегрировать, например, от нуля до произвольного момента времени г. Таким образом, величины объбмной деформации н девиатора самих дефоР- мзцпй потуг быль представлены в виде (12.4) (!2.5) Примем, что первый инвариант тензорз напряжений линейно зависит от первых пнвариакгов тензоров деформаций и скоростей деформаций, т. е.
с 1 —, ( р + рз + рз) = — р+ 1. 0 .+ ). ~ 6 31, (! 2.6) з Кроме того, положим, что и девиатор напряжений также линейно представляется через девнаторы деформаций и скоростей деформаций, т. е. (О г ) =- ())э) + 2Н (О,) + 20 ~ (Рг) ЛГ, (12.7) где (()э) — постоянный девнатор. Соотношения (126) и (!2.7) обоб;цают со. отношения (11.3) н (11.19) в сторону учета дополнительных слагаемых в правых частях, пропорциональных самки деформациям. Поэтому онн в себе будут содержать уже как частные случаи, и те соотношения, которые имеют место лля вязкой среды, для упругой среды н упруго-пластической среды. Этн соотношения включают в себя гзкже и случай среды с последеастаигж.
г) См. сноску на стр. 67. з) В 1п 6 й а ш, Г)нщйу апб Р1азнсцу, (4еж-хогй, 1922. з) Вола р он и ч М. П., Вязкость смазочных масел, Изд. АН СССР, 1944. г) И лью ш и н Л. Л., ученыс записки Мру, вып. 39, !940. 9 12! 69 РАЗЛИЧНЫН ВИДЫ СРЕД В самом деле, положим в последнем соотношении (12.7) постоянный девнатор равным нулю. Прнменяа зто соотношение к одной нз компонент сдвига, будем иметь. Рта =2рвсз+ 2П ~ асал!. о Полагая напряжение равным нулю, а Р и П не ззвнсящнмп от врененн, после дифференцирования будем нмсть: ссзгз П вЂ” + — т,з =О. пе После Интегрирования зтого уравнения получим: н — г агл = (гсз)з е (12.9) ссра+Рз ~ рлпс-рсйг~ агап! =О, (12.1!) т) Ке)ч(п, Марш апб Рйуз, Рарегз, г.
3, Сашйгщйе, 1890. з) Чо!81, Апп. Рйуз. Спенс (97(ебешап), т. 47, 1892. з) М а хтв е11 3. С., РМ(. Май. (4), 35, 1868. Скорость деформацпп сдвига будет убывать после обращения в нуль соот. ветственного напряжения по закону показательной функцлн, а как рзз стим свойством н характеризуется срела с простейшим видом последейстаня. Идея учета вязкости ддя твбрдых упругих тел была впервые выдвинуса Кельвином с) в 1878 г., но формальные соотношенпя вндз (12.8) были введены в рассмотрение позднее Фогтоьсз) а 1892 г, В соотношеннн П26) первый инвариант тснзора скоростей лсформацнй входит однц раз явно и второй раз под знаком интеграла, тогда как первын инвариант тензора напряжений входпг только явно, Аналогичное положение имеет место н в соотношеннн (12.7) по отношению к девизторам. Следовательно, соотношення (!2.6) н (127) можно н далее обобщить, ползгая, что напряжения будут в новых соотношениях представлены гак жс, кзк и скорости деформаций.
В таком случае полу шм: г Ч"„СЬЬ Ч С,-'т)и, се З - Аь*,( -,1 > (12.! О) с й и Ссьс Ь(с пс И сис сч(сис .=./ з а ! Соотношеннл (1230), солержащне !О коэффициентов, будут представлять среду, в которой состояння нзпряженпй н деформаций будут находиться в достаточно слоскноус завпснмости друг от друга. Частный случай среды е релаксацией напряжений, введенный Максвеллом ч) в !868 г., мы получим, еслц положим: йз = о, йз = О. В самом деле, применяя второе соотношенне (!2.10) к компоненте напряжения сдвига, получнм: ?О скогости дееотмлцнй частицы. компоненты нлпвяженнй (гл,г Положим, что коэффициенты йт и,эа не зависят от времени, тогда после дифференцирования (12.11) яолучнм: д~ — + йарш+ дрш = б дргь (12.12) Соотношение (12.12) как раз и представляет собой то соотношение, которое было принято Максвеллом.
Полагая скорость деформации сдвига е,в равной нулю в проводя интегрирование, получим: — т Рть = (Рть)ее т. е. вапряжение после обращения скорости деформации в нуль будет убывать по закону показательной функции. Отношение — называется нериодож ()1 (12 оелаксации напряжения, ГЛАВА !! ДИффВРВНЦИАЛЬНЫВ УРАВНВНИЯ ДВИжвния вязкой жидкости В 1. Уравнение неразрывности Положение фиксированной точки пространства в области, занятой жидкостью, будем определять с помощью криволинейвых ортогональных координат д,, д, и да, Череа зту точку провалам три линейных элемента координатных линий Ьо ьл, еаз, равные йаь = Н, йдн Вая = На ада, ьха =. На еда.
(1.1) Рассмотрим параллелепипед, построенный на зтих трех линейных элементах !рис. 17). Компоненты вектора скорости частиц булут представляться в зиле о, = Н, —,, оа =-. На — ', иа = ̈́—. !1.2) Рис. 17. Проконтролируем изменение массы в фиксированном параллелепипеде двуия способами: 1) способом непосредственного подсчЕта изменения масс и 2) способом учета входа и выхода масс через границы.
В момент Г масса в фиксированном параллелепипеде !!),Н,Н,Н, йд! 3д,йда. В момент Г+Ь1 лг (р)гчюН,НяНаьд, Вдаьда = ~®,+А! Л г+ ~ НьНтНайдтйдзйдз. Следовательно, приращение массы в рассматриваемом параллелепипеде за промемсуток времени АГ будет равно $Н,Н Н бтьд,йд 3да+... (1.3) Точками в правой части (1.3) отмечены слагаемые, имеющие более высокий порядок малости за сит лишнего множителя АГ в разных степенях. 72 диооагвнцнгльные хглвнення движения вязкой жидкости [гл. и Теперь проконтролируем вход н выход массы через грани, перпендикулярные к касательным к координатной линии д,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
