Слёзкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1123892), страница 10
Текст из файла (страница 10)
е. 43 ГЛАВНЫЕ СКОРОСТИ УДЛИНЕНИИ и 71 Определяя отсюда 3х и подставляя в формулу (6.5) для скорости абсолютного удлинения отрезка ОМ, получимг м=а ь=в (7,1) м=1 а=г Длину отрезка ОК будем выбирать так, чтобы левая часть (7.1) была постоянной и равной елннице, т. е. (7.2) яв 1'ом а Правая часть (7.2) представляет собой величину, обратную относительной скорости удлинения отрезка ОМ. Используя (7.2), получим из (7.1) урзвнение геометрического места точек К квалрат расстояний которых ло центра частицы О обратно пропорционален относительной скорости удлинения отрезка, совпадающего с направлением ОК т.
е. 2Ф = ~З ~~а~ е„и1Д„= 1. (7.3) Ы=.1 Л=1 Полученная поверхность второго порядка представляет собой поверхность деформаций в точке О. Направляющие косинусы нормали к этой поверхности будут пропорциональны частным производным от левой части (7.3) по соответственным координатам, которые будут представляться в виде и.=з дФ 'кч 17 кч — = ~ вма(м — — „лтд гмь йхм, (7.4) 1А:= 1 Сопоставляя правую часть (7.4) с правой частью (5.10) лля вектора скорости перемещения, обусловленного только деформацией частицы, мы видим, что направляющие косинусы нормали к поверхности (7.3) пропорциональны про- Ряс. 6.
екциям вектора (Уом), . Слеловательно, вектор скорости перемещения, обусловленного деформацией частицы, будет направлен параллельно нормали к поверхности деформаций в точке пересечения этой поверхности с продолжением отрезка ОМ (рис. 6). Оси, для точек которых векторы скоростей перемещений, обусловленных деформацией частицы, будут направлены в точности по самим отрезкам ОМ, называются главными ося.ки дгформаций в точке О.
Обозначая скорость деформации относительного удлинения 44 скогости двеогмлций частицы. компоненты ньпгяжвний (гл. г ега е — е сс (7.6) е еаа — а езз аз„ еэз еш — е Из этого уравнения мы получим трн значения е: а,, аз и а . Эти скорости деформаций относительных удлинений отрезков, направленных в точке О по главным осям деформации, называются глазными скоростями удлинений а точке О. Главные оси деформаций ортогональны межлу собой. Так как в результате деформации частицы точки на главных осях смешаются только вдоль самих осей, то скорости деформаций сдвига по отношению к этим осяи будут обращаться в нуль, т. е.
взаимно ортогональные направления главных осей деформации не будут испытывать скошений прямого угла между ними. На основании соотношения (7.2) н свойств центральной поверхности второго порядка можно заключить, что минимальное и максимальное значения скоростей относительных удлинений отрезков будут находиться среди главных скоростей удлинений. развертывая определитель в левой части (7.6) по степеням а, получим: — аз+ Е аз+ Еаа+Ез — О, где Е, Еэ и Ез представляются в виде в=а Е = ~~~~ еаа, (7.7) а=а Е„= — еые а — е, еаа — е„ем+ еж+ее +азы (7.8) еы еы аз~ Ез= е е еш.
ам азэ езв отрезка, направленного по главной оси, через е, для скорости абсолютного удлинения и ее проекций из (5.6) и (5.1) будем иметь: ()сом)„, = е эз, еь 3 Эха (~апн)хее (~Он)хеа З Ха 7а ам Хег » =ц Перенося в одну сторону и раскрывая сумму, получим: (аы — а) ах, + е . Зха+ еп ах. == О, Еаг ехс + (ЕЗ а) эха+ Ещ Ьха — О, е, Зх, + е ., эха + (езз — а) ахз = О. Так как все аха не равны нулю, то определитель системы должен обращаться в нуль, т. е. ГЛАВНЫЕ СКОРОСТИ УДЛИНЕНИЙ 45 Так как корни уравнения (7.7), опрелеляющэго значения главных скоростей леформйций относительных уллинений, не должны меняться с изменением осей координат с началом в точке О, то и коэффициенты этого УРавнениЯ Е„сэ и Оа не должны менЯтьсЯ с поворотом осей координат.
Этн коэффициенты, прелстааленные через составляющие тензора скоростей деформаций соотношениями (7.8), называются икеариактами тензора скоростей деформации. Первый из этих инвариангов представляет собой скорость относительной объемной деформации частицы. 1 ец — — б 3 Еле ее„ 1 еез — — З 3 (7)е) = (7.0) 1 — — в 3 Второй инвариант этого нового тензора, составленный зналогично тому, как был составлен Ез, после алгебраических преобразований будет представляться в видо е 1 Бе —, ((е — «„) + (ее '" ) +(еез еы) )+ еле+ 1 в+ езл. (710) Найдем скорость деформации результирующего сдвига по площадке нормаль к которой нзклонеиа к главным осяи деформации пол одним и тем же угеом, т. е.
имеет направляющие косинусы, равные 1 ! =- т = и = —, у'З Полстаалеи в формулы (5.6) н (5,7) Зз ела = — —, *,ее= О, тфй, «Аа= е!е, лг3 получим: Зз зз ез у'3 зз ее —, )73 (О1 ОЖ)АЕФ = (оз ОЖ)лез = (оз Ож)лез = Проекцию иа нормаль скорости перемещения, обусловленного деформа. цией, мы получим, если правые части умножнм иа 7, т н и и сложим: Зз ( ее О ж ) д е Е 3 ( 1 + ее + ее ) Если из диагональных компонент тензорз скоростей деформации (6.7) вычесть олпу треть от скорости объемной деформации, то получим дееиатор скорогееей деформации 45 скогости дивогмхций частицы. коипонанты напгяжиний [гл. 1 Тогда проекция агой скорости на перпендикуляр к нормали булет представаптьсе в виде (о ом) й = У (оом)лее (он наг)лей=аз)г 3 ('1+'г+ 1) д ( 1+ +ез) Разделив эту скорость нз отрезок зв, получив скорость деформации резузьтпрувпцего слвзга е в виде 1 ° — — )' ('1 — '1)'+ ( з — е)а+ (ез — 1)гц 3 Если еа оси координ»т мы возымев главные оси деформаций, то второй изввриаит дезиатора Своростей деформации будет представляться з виде 1 р' — [(»1 — ег)а + (ее — ее)г + (е» вЂ” ег)*), 6 (7.12) Таким образом, второй инвариант левиатора скоростей деформации пропор- пионален квадрату скоРости деформации результирующего сдвига гастнцы, т.
е. 3 (7.13) Скорость деформации Резулыпрующего сленга называется также интенсивностью скоростей двФортацал сдвига частицы Если воспользоваться главными скоростями деформаций, то фор мула (5.10), определяющая скорость смешения точки М за счет деформации частицы, представится в зиле е»=Е и =1 Возьмем теперь отрезок ОМ, наклоненный к осям главных скоростей деформаций (1), (2) пол углом в 45*, т. е.
имеющий следующие направляющие косинусы: Зд» У 2 Зкг )Р2 — Ц= — = —, 7=0. ет 2 зв При этих значениях направляющих косинусов из (7.!4) будем иметьс ()гом)лей 2 ез ( А+ ве(з)' )52 . (7.1 5) Проектируя этот вектор скорости па направление самого отрезка, подучим скорость абсолютного уллинения в виде 1 ()га ом) „= — 35 (в, + е~.
В таком случае скорость смешения точки М за счет скошения угла, т. е, за счет деформации слвига, булет прелставляться в зиле (Ъ» Ом)лей = ) (1 ом)лев (" и ом)еее = = 2 У2(е1+е„') — (е,+а.)а= — Ьз(,— е.,). 3 8) тзнзог скогоствй даеогмлции в кеиволинвйных кооглинлтлх 47 Разделив левую и правую части на егь получим скорость деформации сдвига на площалке, разлеляющей угол межлу главными направлениями (1) и (2) деформаций на лве равные части: ! ень — т-(е — е ), (7.16) где через (1') и (2') мы обозначили направления биссектрис углов между направлениями (1) и (2). Аналогично обстоит пело и со скоростями леформацни слвига на площалках, служащих биссектрисами направлений (2), (3) и (3), (1), т, е. ! ег е = †, (е, — е,), 1 аз н = 2 ('а — еь).
(7.17) Величины е, е ь, ее, называются гяавнмльи скоростялеи сдвига. Следовательно, главные скорости леформации слвига равны полу- суммам главных скоростей удлинений соответственных отрезков, Так как среди значений е,, е и еа имеется как минимальная скорость удлинения, так и максимальна», то разность именно этих главных скоростей удлинений будет давать максимальное значение скорости деформации сдвига. й 3. Компоненты тензора скоростей деформации в криволинейных координатах Рассмотрим криволинейные ортогональные координаты ры д и д (рис, 7).
Элементы координатных линий булут представляться в виде Ь, = Нь3ды Ьг — — Наерм Ьз= Нз34,, где Н„Н и Нз суть дифференциальные параметры 7яже. Выражение для первого из этих коэффициентов мы получим, если расэмотрим квалрат линейного элемента Ь в декартовых координатах 38ь — х~~ ~3хь ь=г Рнс. 7. и учтем, что приращения 3х; обусловлены приращением только одной координаты рм т. е. дхе 3хе= д 3чы вт 48 скотости двеоемаций частицы.
компонвнты наптяжаний [гл. ! Тогда получим: т. е. (8П) Так как составляющие вектора скорости точки можно получать с помощью деления элементарных отрезков пути перемещения на элементарный промежуток времени, то эти составляю!цие вектора скорости в криволинейных координатах будут иметь вид (8.2) Квадрат произвольного линейного элемента в криволинейных ортогональных координатах будет представляться следующим образом: (8.3) Дифференцируя это равенство по времени, получим: а=! (8.4) Так как На зависит от времени только через координаты до то Ф=а !=а а=! Ч! !=! Обозначение одл представляет собой разность значений координаты Ч! в двух близких точках, т.
е. поэтому будем иметь: Подставляя полученные выражения в (8,4) и заменяя 8!га через оз„, получим следующую формулу для производной по времени от квадрата линейного элемента; а=а а=а 1=! а=! а=а йаа = ч' „Нл йуа'. ь=! й 8) твнзог скогоствй двьогмлции в кгиволинвйных коогдинатхх 49 В случае прямолинейных осей координат производная от квадрата линейного элемента представлялась через компоненты скоростей деформации равепствои (6.6). Сопоставляя формулы (6.6) и (8.6), мы можем прийти к тому заключению, что компоненты скоростей деформации частицы в криволинейных координатах можно получить из (8.6), собирая коэффициенты при квадратах и при произведениях линейных элементов координатных линий.
Навример, скорость деформации относительного удлинения отрезка, направленного по касательной к координатной линии йы мы получим, если соберйм в правой части (8Л) коэффициенты при ба'-,'. ыв (8.6) Скорость деформации сдвига в жюскости касательных к координат- ным линиям д, н д., будет представляться в виде (8.7) Остальные компоненты скоростей деформации частицы можно получить из (8.6) и (8.7), меняя индексы в круговом порядке. ((ля определения выражений компонент вихря в криволинейных координатах применим теорему Стокса к элементарной площадке Н,оу,Н,,6с(ы Согласно этой теореме удвоенный поток вектора вихря через площадку равен циркуляции вектора скорости но контуру, ограничивающему эту площадку.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
