Слёзкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1123892), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Обозначим компоненты вектора вихря через е о мз й мз. Тогда удвоенный поток вектора вихря через рассматриваемую площадку будет представляться в виде омзНсНг ацт 8 Чз. Р = (птНт) с4ь+(ияНз)т ьч бг)з (п1Нс)д„ьчп (пгНз)», = д (РЯНз) д (п~гб)1 — — — — — едь бааз. ддь ддз Таким образом, компонента вихря ыз будет представляться в виде Гб а " =9Н,Н,,'(ад„(озН) баз(о Нт)1' (8.8) Выражения лля других компонент вихря могут быть получены из (8,8) изменением индексов в круговол1 порядке. ((иркуляььию по о~раничивающему площадку контуру будем подсчитывать как произведение проекции вектора скорости на касательную к контуру на элемент дуги и на косинус соответственного угла, т, е. 50 скОРОсти деФОРмАций частицы.
кОмпоненты нАОРяжений [Гл, 3 Рассмотрим цилиндрические координаты г, А7 н - (рис. 8). Квадрат линейного элемента представляется в виде йее = иге+ г"-дри — [ — дее. Обозначая компоненты скорости движения через о, е и о„и используя д1ормулы (8.6) н (8.7), получим слелуюнсне выражения для скоростей деформации частицы в цилиндрических координагах: ди, дг (8.9) Рис. 8.
Компоненты вектора-вихря в цилинлрических координатах будут прелставляться в виде Квалрат линейного элемента в сферических координатах (рис. 9) й, й и 0 прелставляется в виде ейэя = ейе+ йеейе+ йэ е(пе 089Я. Следовательно, Рнс. 9. Н,=[, Н =й, Не=йа( 6. Если обозначить компоненты скорости движения через о„, оа и пт, то на основании формул (8.6) и (8.7) получим следуюньие выраже- Следовательно, параметры Ляме булут равны Н .=. К Ни==г, На=!. 1 ди иг ЕР„== — — + -— г де г ди д» ' 1 ди,.
д и де г де' дии дес 2ем — — — — '+ — '-. дг дл' ! (8ЛО) 1 компоненты нлпеяжений ния для скоростей деформации частицы в сферических координатах: 1 дев дщ ве )г дз+дР У' де 1 див в дР !Г з1п 0 дт 1 двв 1 дет вт = — —.+ — —— 1~э!и 0 дт У дэ дп,ч лл дт! ' ! с!8 О (8.1!) ди, вн вв с!я 0 — + — +, 2е,,л дт пн + —, Р ' 2е 0 т 1 РАНО двь зьь т до А' дО Компоненты вектора-вихря в сферических коорлинатах будут представляться в виде О ~ — (о,)с з)п О) — - — (его~)1, ! 1 (д .
д 1 двл д 2Р з!и В дт дР ! (8.12) ы ф н. Компоненты напряжений Связи в механике заменяются действием особых сил, навываемых реакциями связей и прикладываемых в тех точках тела, в которых эти связи осуществляются. Аналогично обстоит дело и в механике деформируемоя среды. Если- мы хотин рассмотреть какую-либо часть среды, ограниченную некоторой замкнутой поверхностью а (рис. 10), то мы должны заменить действие остальной массы среды реакциями связея.
Так как свчзь рассматриваемой части с остальной пассов срелы осущест- б вляется по всей поверхности :, то реакции связей доля<им быть распределены по всей поверхности з. Таким образом, силы возлеяствня на рассматриваемую часть среды со стороны асей остальной массы суть силы о- Ряс. 1О. еерхноетные.
Сила воздействия на рассматриваемую часть среды со стороны окружающей массы, отнесенная к единице площади поверхности соприкосновения а, называется нипрнжениеле р. Напряжение представляет собой вектор, зависящип также н от ориентации рассматриваемой элементарной площадки. Последнее обстоятельство отмечается тем, что к обозначению вектора напряжения присоединяется внизу индекс, указывающий направление нормали к рассматриваелшй площадке (рис.
11). Если мы эту элементарную площадку Ьт будем поворачивать так, чтобы нормаль п последовательно совпала с положительными направлениями прямолинейных осей координат, то получим три вектора напряжений: Р> Ра Р:>. Проектируя этн три вектора напряжений на оси, получим следующую таблицу компонент напряжений в рассматриваемой точке; !ы !1> рп> Рю Рш Ри ('! 1) !(> !>> Рпс. !!. По диагонали будут располагаться те компоненты напряжени!1, направления которых совпадут с направлениями нормалей трЕх взаимно перпендииулярных площадок. Эти компоненты напряжений называются нармлльныма нллряженилми. Направления остальных компонент папря>кении будут располагаться в плоскостях самих эле- Ю ментарных площадок и поэтому эти компоненты напряжений и называются пасите:гьим.яи налряжелаяма.
Рассмотрим теперь тетя(ь с' лл раэдр АВСМ (рис. 12), боковые грани которого дз>, дзв, Ьзз соответственно перпендйкулярны к осям х,, х, хз, а грань основания Ьа имеет произволыюе направление с Рпс. 12. нормалью п. Так как внешние нормали к площадкам бяо дзв, Ьтз параллельны отрицательным направлениям я,, хэ, хз, то векторы напряжений по этим площадкам буден обозначать через Р > Р е Р т Знак иинус в индексе означает, что рассматривается напряжение на той стороне площадки, которая обращена наружу тетраэдра, т. е. берем внешнюю нормаль. В силу закона деиствия и противодепствия векторы напряжений, приложенные к обеим сторонам одной и тои же элементарной площадки, должны быть равны между собой по веяичине, но иметь прямо противоположные направления, т.
е. (9.2) Р-я = — Рз Р-з = Ра Р-д = Р! б2 сковости двеогмлций частицы. компоненты нлпеяжвний [гл. ! 53 компоненты нлпгяжвний На тетРаэзгР, помимо напРЯжений Рл, Р,, Р я и Р ., бУл)т действовать ещб массовые силы, вектор которых, отнесенный к единице массы, мы обозначим через Р. Следовательно, по закону Ньютона имеем: 1 1 3 ' '" = '," '+Ря" +Р г з+Р-з я+1 -з где тв — вектор ускорения, о — плотность и й — высота тетраэлра. Обозначни направляющие косинусы нормали с осямн ли ж, хз через (н 7а и 7.„ тогда Ьзз = Ьз(а ()е = 1, 2, 3). Булем теперь переходить к пределу, приближая площадку Ьз к точке М, т.
е.. уменьшая 5 да нуля, В результате получим: ь=з ъю Ря='. РА, а=! Рй 5) Таким образом, вектор напрязкения на площадке с произвольным направлением нормали полностью определяется тремя вектораии напряжений на трах взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через точку, через которую проходит н данная площадка. Следовательно, зги тРи вектоРа Р„, Рз и Рз полностью хаРактеРизУют напряженное состояние н точке.
На этом основании этн три вектора, представленные также таблицей (9.!), называются тензором налрялсенид. Заметим, что равенство (9.5) после умноженяя на Ьз и замены пронаведения дт)» через Дт. н Рх через Р з представится в виде Ряб +ХР б .— О (9,6) Зто соотношение означает, что для самих снл напряжений, распределенных по сторонам элементарного тетраэдра, выполняется векторное уравнение равновесия.
Такии образом, равенство (9.5) можно рассматрнвать как следствие того положения, что силы напряжений, распределенных по граням элементарного тетраэдра, образуют систему взаимно уравновешенных сил. Подставляя это в (9.3) и используя равенство <9.2), после разделения на Ьз будем иметь; — дртз = — дрР+ Ря — ',~~Рл)л.
1 1 (9.4) ь-..1 54 скогости двеогмйцип частицы. компонкнты ийпгяжвнип (гл. ! ф !О. Главные напряжения Рассмотрим элементарную площадку с нормалью п (рис. 13). Вектор напряжения на атой площадке будет представляться в виде й=й Р» — Х Р*!й й=! (и! = 1, 2, 3). (10.1) Умножая леву!а и правую части на едини!нын вектор гй, и складывая, получим вектор напряжения на площадке с нормалью п в виде й =ай=:! Рз .=- ~~~~ ~ Рй,й!йг,й, (10,2) !з=! й=! Чтобы найти проекцию вектора напряжения рн на нормаль и, необходнио каждую Рнс.
!3. проекцию его рйй, умножить на кось,!ус угла нормали (й, с осью хк, и слозкнть. С;щдивагельно, нормальное напра!кение на плопгадке с норзщльк! п будет представляться в виде ! й='! Рлк =- х.рй„,(л, = ~~'~ ~л~р,„,lй(м. (!0.3) !=!к=! Касательное же напряжение на этой площадке будет опре ге.жгься раненсгвом (! 0.4) Отложим !еперь вдоль нормали и отрезок ОК, относительные координаты конца которого обозначим через 3й. Тогда будем ивет!и Ей = ОК!й. Определяя отсюда !» н подставляя в правую часть (10.3), получим; !з=з й=! (ОК) Р и Х ХРйт й( и »ь=! й=! (10.5) Выберем длинч отрезка ОК так, чтобы (ОК)з Р„„= 1. (! О.б) Обе части этого равенства спроектируем на ось хко тогда получим следУющие выРажениа длЯ пРоекций вектоРа напРЯжениЯ Рл на оси координат: й:=з Рюй = Х Рй„(й й=! 8 10) ГЛАВНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ Тогда уравнение геометрического места концов отрезка, квадрат длины которого обратно пропорционален величине нормального напряжения на площадке с нормалью, совпадающей с направлением самого отрезка, будет представляться в виде ы=вь=! ОР: Х Х РА>АЕЛЕА! — 1, (10.7) и>=! >'=! Полученная поверхность второго порядка мазь>вается повврхносщьх> налрлжгний в рассматриваемой точке, Направляющие косинусы нормали к поверхности напряжений будут пропорциональны частным производным левой части (10.7) по координатам, которые будут Р„ прелставляться в виде д —; = ~ы Ри,Е» = ОК ~РА»1л.
(10 8) г>Р %ч еи> А=! А.=! Направляющие косинусы вектора напряжения Р„будут в свою оче. рель пропорциональны проекциям этого вектора, представленным в виде (10.1). Сравнивая правые Рнс. 14. части (10,1) и (10.8), заключаем, что вектор напряжения на площадке с нормалью п буде! параллелен направлению нормали к поверхности напряжений в >ой точке, где нормаль п пересекает поверхность напряжений (рис. 14).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
