LEK11-1 (1123682), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Процесс, протекающий в физической системе, называется мар­ковским (или процессом без последействия), если для каждого мо­мента времени вероятность любого состояния системы в бу­дущем зависит только от состояния системы в настоящий момент ( ) и не зависит от того, каким образом система пришла в это состояние.

Рассмотрим элементарный пример марковского случайного про­цесса. По оси абсцисс случайным образом перемещается точка . В момент времени точка находится в начале координат ( ) и остается там в течение одной секунды. Через секунду бросается монета; если выпал герб — точка перемещается на одну единицу длины вправо, если цифра — влево. Через секунду снова бросается монета и производится такое же случайное перемещением и т. д. Процесс изменения положения точки (или, как говорят, «блуждания») представляет собой случайный процесс с дискретным временем ( ) и счетным множеством состояний

; ; ; ; ; …

Схема возможных переходов для этого процесса показана на рис. 14

П окажем, что этот процесс — марковский. Действительно, пред­ставим себе, что в какой-то момент времени система находится, например, в состоянии — на одну единицу правее начала координат. Возможные положения точки через единицу времени будут и с вероятностями и ; через две единицы — , , с вероятностями , , и так далее. Очевидно, все эти ве­роятности зависят только от того, где находится точка в данный момент , и совершенно не зависят от того, как она пришла туда.

Рассмотрим другой пример. Имеется техническое устройство , состоящее из элементов (деталей) типов и , обладающих разной долговечностью. Эти элементы в случайные моменты времени и неза­висимо друг от друга могут выходить из строя. Исправная работа каждого элемента безусловно необходима для работы устройства в целом. Время безотказной работы элемента — случайная величина, распределенная по показательному закону; для элементов типа и параметры этого закона различны и равны соответственно и . В случае отказа устройства немедленно принимаются меры для вы­явления причин и обнаруженный неисправный элемент немедленно заменяется новым. Время, потребное для восстановления (ремонта) устройства, распределено по показательному закону с параметром (если вышел из строя элемент типа ) и (если вышел из строя элемент типа ).

В данном примере случайный процесс, протекающий в системе, есть марковский процесс с непрерывным временем и конечным мно­жеством состояний:

— все элементы исправны, система работает,

— неисправен элемент типа , система ремонтируется,

— неисправен элемент типа , система ремонтируется.

Схема возможных переходов дана на рис. 15

Д ействительно, процесс обладает марковским свойством. Пусть, например, в момент система находится в состоянии (исправна). Так как время безотказной работы каждого элемента — показатель­ное, то момент отказа каждого элемента в будущем не зависит от того, сколько времени он уже работал (когда поставлен). Поэтому вероятность того, что в будущем система останется в состоянии или уйдет из него, не зависит от «предыстории» процесса. Пред­положим теперь, что в момент система находится в состоянии (неисправен элемент типа ). Так как время ремонта тоже показа­тельное, вероятность окончания ремонта в любое время после не зависит от того, когда начался ремонт и когда были поставлены остальные (исправные) элементы. Таким образом, процесс является марковским.

Заметим, что показательное распределение вре­мени работы элемента и показательное распреде­ление времени ремонта — существенные условия, без которых процесс не был бы марковским. Дей­ствительно, предположим, что время исправной работы элемента распределено не по показатель­ному закону, а по какому-нибудь другому — например, по закону равномерной плотности на участке . Это значит, что каждый элемент с гарантией работает время , а на. участке от до может выйти из строя в любой момент с одина­ковой плотностью вероятности. Предположим, что в какой-то момент времени элемент работает исправно. Очевидно, вероятность того, что элемент выйдет из строя на каком-то участке времени в будущем, зависит от того, насколько давно поставлен элемент, т. е. зависит от предыстории, и процесс не будет марковским.

Аналогично обстоит дело и со временем ремонта ; если оно не показательное и элемент в момент ремонтируется, то оставшееся время ремонта зависит от того, когда он начался; процесс снова не будет марковским.

Вообще показательное распределение играет особую роль в теории марковских случайных процессов с непрерывным временем. Легко убе­диться, что в стационарном марковском процессе время, в течение которого система остается в каком-либо состоянии, распределено всегда по показательному закону (с параметром, зависящим, вообще говоря, от этого состояния). Действительно, предположим, что в мо­мент система находится в состоянии и до этого уже находилась в нем какое-то время. Согласно определению марковского процесса, вероятность любого события в будущем не зависит от предыстории; в частности, вероятность того, что система уйдет из состояния в течение времени , не должна зависеть оттого, сколько времени система уже провела в этом состоянии. Следовательно, время пребы­вания системы в состоянии должно быть распределено по показа­тельному закону.

В случае, когда процесс, протекающий в физической системе со счетным множеством состояний и непрерывным временем, является марковским, можно описать этот процесс с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений, в которых неизвестными функциями являются вероятности состояний . Составление и ре­шение таких уравнений мы продемонстрируем в следующем занятии на примере простейшей системы массового обслуживания.

Методическое пособие разработал

Ст. преподаватель 24 цикла п/п-к ШВЫДКОВ

Характеристики

Список файлов учебной работы