LEK11-1 (1123682), страница 5

Файл №1123682 LEK11-1 (Методичка и она же лекции) 5 страницаLEK11-1 (1123682) страница 52019-05-10СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Процесс, протекающий в физической системе, называется мар­ковским (или процессом без последействия), если для каждого мо­мента времени вероятность любого состояния системы в бу­дущем зависит только от состояния системы в настоящий момент ( ) и не зависит от того, каким образом система пришла в это состояние.

Рассмотрим элементарный пример марковского случайного про­цесса. По оси абсцисс случайным образом перемещается точка . В момент времени точка находится в начале координат ( ) и остается там в течение одной секунды. Через секунду бросается монета; если выпал герб — точка перемещается на одну единицу длины вправо, если цифра — влево. Через секунду снова бросается монета и производится такое же случайное перемещением и т. д. Процесс изменения положения точки (или, как говорят, «блуждания») представляет собой случайный процесс с дискретным временем ( ) и счетным множеством состояний

; ; ; ; ; …

Схема возможных переходов для этого процесса показана на рис. 14

П окажем, что этот процесс — марковский. Действительно, пред­ставим себе, что в какой-то момент времени система находится, например, в состоянии — на одну единицу правее начала координат. Возможные положения точки через единицу времени будут и с вероятностями и ; через две единицы — , , с вероятностями , , и так далее. Очевидно, все эти ве­роятности зависят только от того, где находится точка в данный момент , и совершенно не зависят от того, как она пришла туда.

Рассмотрим другой пример. Имеется техническое устройство , состоящее из элементов (деталей) типов и , обладающих разной долговечностью. Эти элементы в случайные моменты времени и неза­висимо друг от друга могут выходить из строя. Исправная работа каждого элемента безусловно необходима для работы устройства в целом. Время безотказной работы элемента — случайная величина, распределенная по показательному закону; для элементов типа и параметры этого закона различны и равны соответственно и . В случае отказа устройства немедленно принимаются меры для вы­явления причин и обнаруженный неисправный элемент немедленно заменяется новым. Время, потребное для восстановления (ремонта) устройства, распределено по показательному закону с параметром (если вышел из строя элемент типа ) и (если вышел из строя элемент типа ).

В данном примере случайный процесс, протекающий в системе, есть марковский процесс с непрерывным временем и конечным мно­жеством состояний:

— все элементы исправны, система работает,

— неисправен элемент типа , система ремонтируется,

— неисправен элемент типа , система ремонтируется.

Схема возможных переходов дана на рис. 15

Д ействительно, процесс обладает марковским свойством. Пусть, например, в момент система находится в состоянии (исправна). Так как время безотказной работы каждого элемента — показатель­ное, то момент отказа каждого элемента в будущем не зависит от того, сколько времени он уже работал (когда поставлен). Поэтому вероятность того, что в будущем система останется в состоянии или уйдет из него, не зависит от «предыстории» процесса. Пред­положим теперь, что в момент система находится в состоянии (неисправен элемент типа ). Так как время ремонта тоже показа­тельное, вероятность окончания ремонта в любое время после не зависит от того, когда начался ремонт и когда были поставлены остальные (исправные) элементы. Таким образом, процесс является марковским.

Заметим, что показательное распределение вре­мени работы элемента и показательное распреде­ление времени ремонта — существенные условия, без которых процесс не был бы марковским. Дей­ствительно, предположим, что время исправной работы элемента распределено не по показатель­ному закону, а по какому-нибудь другому — например, по закону равномерной плотности на участке . Это значит, что каждый элемент с гарантией работает время , а на. участке от до может выйти из строя в любой момент с одина­ковой плотностью вероятности. Предположим, что в какой-то момент времени элемент работает исправно. Очевидно, вероятность того, что элемент выйдет из строя на каком-то участке времени в будущем, зависит от того, насколько давно поставлен элемент, т. е. зависит от предыстории, и процесс не будет марковским.

Аналогично обстоит дело и со временем ремонта ; если оно не показательное и элемент в момент ремонтируется, то оставшееся время ремонта зависит от того, когда он начался; процесс снова не будет марковским.

Вообще показательное распределение играет особую роль в теории марковских случайных процессов с непрерывным временем. Легко убе­диться, что в стационарном марковском процессе время, в течение которого система остается в каком-либо состоянии, распределено всегда по показательному закону (с параметром, зависящим, вообще говоря, от этого состояния). Действительно, предположим, что в мо­мент система находится в состоянии и до этого уже находилась в нем какое-то время. Согласно определению марковского процесса, вероятность любого события в будущем не зависит от предыстории; в частности, вероятность того, что система уйдет из состояния в течение времени , не должна зависеть оттого, сколько времени система уже провела в этом состоянии. Следовательно, время пребы­вания системы в состоянии должно быть распределено по показа­тельному закону.

В случае, когда процесс, протекающий в физической системе со счетным множеством состояний и непрерывным временем, является марковским, можно описать этот процесс с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений, в которых неизвестными функциями являются вероятности состояний . Составление и ре­шение таких уравнений мы продемонстрируем в следующем занятии на примере простейшей системы массового обслуживания.

Методическое пособие разработал

Ст. преподаватель 24 цикла п/п-к ШВЫДКОВ

Характеристики

Тип файла
Документ
Размер
1,22 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов учебной работы

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее