Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Потоки Пальма часто получаются в виде выходных потоков си­стем массового обслуживания. Если на какую-либо систему поступает какой-то поток заявок, то он этой системой разделяется на два: по­ток обслуженных и поток необслуженных заявок.

Поток необслуженных заявок часто поступает на какую-либо дру­гую систему массового обслуживания, поэтому представляет интерес изучить его свойства.

Основной в теории выходных потоков является теорема Пальма, которую мы сформулируем без доказательства.

Пусть на систему массового обслуживания поступает по­ток заявок типа Пальма, причем заявка, заставшая все ка­налы занятыми, получает отказ (не обслуживается). Если при этом время обслуживания имеет показательный закон рас­пределения, то поток необслуженных заявок является также потоком типа Пальма.

В частности, если входной поток заявок будет простейшим, то поток необслуженных заявок, не будучи простейшим, будет все же иметь ограниченное последействие.

ПОТОК ЭРЛАНГА

Интересным примером потоков с ограниченным последействием являются так называемые потоки Эрланга. Они образуются «про­сеиванием», простейшего потока.

Рассмотрим простейший поток (рис. 10) и выбросим из него каждую вторую точку (на рисунке выброшенные точки отмечены крестами). Оставшиеся точки образуют поток; этот поток называется потоком Эрланга первого порядка ( ). Очевидно, этот поток есть поток Пальма: поскольку независимы промежутки между со­бытиями в простейшем потоке, то независимы и величины , получающиеся суммированием таких промежутков по два.

П
оток Эрланга второго порядка получится, если сохранить в простейшем потоке каждую третью точку, а две промежуточные выбросить (рис.11).

В
ообще, потоком Эрланга -го порядка ( ) называется по­ток, получаемый из простейшего, если сохранить каждую -ю точку, а остальные выбросить. Очевидно, простейший поток можно рассматривать как поток Эрланга нулевого порядка ( ).

Найдем закон распределения промежутка времени между сосед­ними событиями в потоке Эрланга -го порядка ( ). Рассмотрим на оси (рис. ) простейший поток с интервалами . Величина представляет собой сумму независимых случайных величин

,

где — независимые случайные величины, подчинен­ные одному и тому же пока- зательному закону

( ).

Можно было бы найти закон распределения величины как компо­зицию законов Однако проще вывести его элемен­тарными рассуждениями.

Обозначим плотность распределения величины для по­тока ; есть вероятность того, что величина примет зна­чение между и (рис.). Это значит, что последняя точка промежутка должна попасть на элементарный участок , а предыдущие точек простейшего потока — на учас­ток . Вероятность первого события равна ; вероятность вто­рого будет

.

Перемножая эти вероятности, получим

,

откуда

( ).

Закон распределения с плотностью называется законом Эрланга -го порядка. Очевидно, при он обращается в пока­зательный

( ).

Найдем характеристики закона Эрланга : математическое ожи­дание и дисперсию . По теореме сложения математических ожиданий

,

где — математическое ожидание промежутка между событи­ями в простейшем потоке.

Отсюда

.

Аналогично по теореме сложения дисперсий

, .

Плотность потока будет обратна величине

.

Таким образом, при увеличении порядка потока Эрланга увеличиваются как математическое ожидание, так и дисперсия промежутка времени между событиями, а плотность потока падает.

Выясним, как будет изменяться поток Эрланга при , если его плотность будет сохраняться постоянной? Пронормируем вели­чину так, чтобы ее математическое ожидание (и, следовательно, плотность потока) оставалось неизменным. Для этого изменим мас­штаб по оси времени и вместо рассмотрим величину

.

Назовем такой поток нормированным потоком Эрланга -го по­рядка. Закон распределения промежутка между событиями этого потока будет

( ),

где , или

( ).

Математическое ожидание величины , распределенной по закону (19.5.10), не зависит от и равно

,

где — плотность потока, совпадающая при любом с плотностью исходного простейшего потока. Дисперсия величины равна

и неограниченно убывает с возрастанием .

Таким образом, мы приходим к выводу: при неограниченном увеличении нормированный поток Эрланга приближается к регулярному потоку с постоянными интервалами, рав­ными .

Это свойство потоков Эрланга удобно в практических примене­ниях: оно дает возможность, задаваясь различными , получить любую степень последействия: от полного отсутствия ( ) до жесткой. функциональной связи между моментами появления событий ( ). Таким образом, порядок потока Эрланга может служить как бы «ме­рой последействия», имеющегося в потоке. В целях упрощения часто бывает удобно заменить реальный поток заявок, имеющий последей­ствие, нормированным потоком Эрланга с примерно теми же характе­ристиками промежутка между заявками: математическим ожиданием и дисперсией.

Пример. В результате статистической обработки промежутков между заявками в потоке получены оценки для математического ожидания и дисперсии величины :

, .

Заменить этот поток нормированным потоком Эрланга с теми же характеристиками.

Решение. Имеем

.

Из формулы получим

.

Поток можно приближенно заменить нормированным потоком Эрланга чет­вертого порядка.

УЧЕБНЫЙ ВОПРОС № 7

Время обслуживания

Кроме характеристик входного потока заявок, режим работы си­стемы зависит еще от характеристик производительности самой си­стемы: числа каналов в и быстродействия каждого канала. Одной из важнейших величин, связанных с системой, является время обслуживания одной заявки . Эта величина может быть как неслучайной, так и случайной. Очевидно, более общим является слу­чайное время обслуживания.

Рассмотрим случайную величину и обозначим ее функ­цию распределения:

,

а — плотность распределения:

.

Для практики особый интерес представляет случай, когда вели­чина имеет показательное распределение

( ),

где параметр — величина, обратная среднему времени обслуживания одной заявки:

, .

Особая роль, которую играет в теории массового обслуживания показательный закон распределения величины , связана с свойством этого закона. В приме­нении к данному случаю оно формулируется так: если в какой-то момент происходит обслуживание заявки, то за­кон распределения оставшегося времени обслужива­ния не зависит от того, сколько времени обслужи­вание уже продолжалось.

На первый взгляд допущение о том, что время обслуживания распределено по показательному закону, представляется довольно искусственным. В ряде практических задач кажется естественнее пред­положить его либо совсем не случайным, либо распределенным по нормальному закону. Однако существуют условия, в которых время обслуживания действительно распределяется по закону, близкому к показательному.

Это, прежде всего, все задачи, в которых обслуживание сводится к ряду «попыток», каждая из которых приводит к необходимому результату с какой-то вероятностью .

П
усть, например, «обслуживание» состоит в обстреле какой-то цели и заканчивается в момент ее поражения. Обстрел ведется неза­висимыми выстрелами с некоторой средней скорострельностью выстрелов в единицу времени. Каждый выстрел поражает цель с вероят­ностью . Чтобы не связывать себя необходимостью точного учета момента каждого выстрела, предположим, что они происходят в слу­чайные моменты времени и образуют простейший поток с плот­ностью (рис. 13).

Выделим мысленно из этого потока другой — поток «успешных» или «поражающих», выстрелов (они отмечены кружками на рис. ). Выстрел будем называть «успешным», если он приводит к поражению цели (если только цель не была поражена ранее). Нетрудно убедиться, что успешные выстрелы тоже образуют простейший поток с плот­ностью (исходный поток — простейший, а каждый выстрел может стать поражающим, независимо от других, с вероятностью ). Вероятность того, что цель будет поражена до момента , будет равна

,

откуда плотность распределения времени «обслуживания»

,

а это есть показательный закон с параметром .

Разумеется, показательный закон не является универсальным законом распределения времени обслуживания. Часто время обслу­живания лучше описывается, например, законом Эрланга. Однако, к счастью, пропускная спо­собность и другие характе­ристики системы массового обслуживания сравнительно мало зависят от вида закона распределения времени об­служивания, а зависят, глав­ным образом, от его среднего значения . Поэтому в теории массового обслужи­вания чаще всего пользуются допущением, что время об­служивания распределено по показательному закону. Эта гипотеза позволяет сильно упростить математический аппарат, применяемый для решения задач массового обслуживания, и, в ряде случаев, получить простые аналитические формулы для ха­рактеристик пропускной способности системы.

УЧЕБНЫЙ ВОПРОС № 8

Марковский случайный процесс

Допущения о пуассоновском характере потока заявок и о пока­зательном распределении времени обслуживания ценны тем, что позволяют применить в теории массового обслуживания аппарат так называемых марковских случайных процессов.

Характеристики

Список файлов учебной работы