А.В. Финкельштейн, О.Б. Птицын - Физика белка - Курс лекций с цветными и стереоскопическими иллюстрациями и задачами (1123404), страница 15
Текст из файла (страница 15)
корпускулярностью, т. е. атомным строением ибелка, и воды мы пока пренебрежем, точнее, отложим этот вопрос.согласно классической электростатике, шарик с зарядом q и радиусомR в среде с диэлектрической проницаемостью ε имеет энергиюU = q12/2εR .(6.3)Эта формула прямо следует из формулы (6.2): когда мы заряжаем шарик(от заряда 0 до заряда q1 ), перенося на его поверхность малые заряды dq,каждый зарядик dq повышает энергию шарика на dU = qdq/εR, согласно(6.2), а интеграл qdq от 0 до q1 равен q12/2.радиус заряженного атома — около 1,5 Å; значит, его (свободная) энергия близка к 1,5 ккал/моль при ε ≈ 80 (в воде), и к 40 ккал/моль при ε ≈ 3(в белке).
Эта большая разница объясняет, почему внутри белка — в отличие от его поверхности — практически нет заряженных групп (нетрудноприкинуть, что даже погружение в среду с ε ≈ 3 тесно (на ≈ 3Å) сближенной пары противоположных по знаку зарядов повышает свободнуюэнергию примерно на те же 40 ккал/моль). Поэтому погружаемая в глубьбелка заряженная боковая группа всегда разряжается, т. е. отдает воде свойизбыточный Н+ (если она была заряжена положительно) или ловит в воденедостающий ей Н+ (если она была заряжена отрицательно).
Правда, разрядка заряженной группы тоже повышает свободную энергию, но «лишь»на несколько (а не на несколько десятков!) ккал/моль. Если говорить точнее, заряды внутри белка иногда все же встречаются, но практически всегда при этом играют очевидную функциональную роль: тогда белку как быприходится терпеть заряды внутри себя, чтобы работать… теперь научимся оценивать взаимодействие зарядов с учетом поверхности раздела между белком (ε ≈ 3) и водой (ε ≈ 80).рассмотрим следующую простую учебную задачу. Пусть вода (средас ε1= 80) занимает одну половину пространства, «белок» (среда с ε2= 3) —другую, а поверхность раздела между ними плоская. Пусть в воде, в точке над плоской поверхностью «белка», находится заряд q (рис. 6-1).71Рис. 6-1.
ситуация, типичная для заряженных боковых групп в белках: находящийся в точке 1 вблизи от поверхности белковой глобулы заряд q окружен водой, т. е.он сам находится в среде с высокой диэлектрической проницаемостью ε1, но вблизи него находится среда с низкой диэлектрической проницаемостью ε2требуется найти электрическое поле ϕ, создаваемое этим зарядом в произвольной точке 2.Если бы белка не было, или если бы он был очень далеко, это поле впроизвольной точке 2 рассчитывалось бы по классической формуле (6.1)с ε = 80 (диэлектрическая постоянная воды) и r = r12 (расстояние междуточками 1 и 2).Что же меняет наличие вблизи от заряда белка — среды с другой диэлектрической проницаемостью?для подсказки, вспомним очень похожую задачу, которую вы, должнобыть, решали в курсе общей физики. В ней — все то же самое, толькотеперь «среда 2» — это металл, проводник тока, т.
е. его ε2 равно бесконечности (рис. 6-2). решение этой задачи выглядит так:0внутри металла — там поля нетϕ=(6.4)q/ε1r12 + (–q)/ε1r02 над поверхностью металла{результирующее поле над поверхностью металла (в точке 2) создается(см. рис. 6-2) зарядом q и его как бы «отражением» в металле. Это отражение «0» суммирует действие заряда, наведенного в металле сместившимися под действием заряда 1 электронами. Эти электроны распределяютсяпо поверхности металла так, что создают «эффект отражения». Это «отражение» имеет заряд –q и как бы находится в точке 0, лежащей на той жеглубине под поверхностью металла, как точка 1 над его поверхностью (т.
е.r02 — расстояние от отраженного заряда до точки, поле в которой нужнорассчитать).строго доказывать это решение (точнее, его вторую, неочевиднуючасть, относящуюся к «полю над металлом») я не буду, но коротко изложуосновную идею доказательства.так как внутри металла, если по нему уже не течет ток, электрическогополя нет, то силовые линии этого поля (напомню, что они показывают направление силы, действующей на заряд, см. стрелки на рис.
6-3) должнывходить в металл строго перпендикулярно (иначе у них была бы составляющая, параллельная поверхности, и она бы гнала ток по металлу). Нои силовые линии поля, созданного (в отсутствие всякого металла) двумяпротивоположными по знаку, но равными по величине зарядами, тожеперпендикулярны плоскости, проходящей точно посередине между этимизарядами. А раз силовые линии поля выглядят одинаково, то и потенциалыведут себя одинаково.Рис. 6-3. силовые линии поля заряда, находящегося над металлом, и аналогичная(в своей верхней части) картина для силовых линий поля, созданного равными повеличине зарядами противоположного знакаРис.
6-2. Иллюстрация к вспомогательной школьной задаче о поле заряда, находящегося вблизи среды с очень высокой диэлектрической проницаемостью(«металла»). На одной схеме (справа) показаны наведенные поляризационныезаряды «металла», а на другой (слева) — «отраженный» заряд –q, суммирующийдействие этих поляризационных зарядов за пределами металла. дальнейшие пояснения — в текстеПоля внутри металла нет, так как иначе свободные заряды в нем двигались бы, пока поле не исчезло.72решение «Задачи о поле заряда над металлом» подсказывает, что такиезадачи удобно решать при помощи «отраженных» зарядов и анализа ходасиловых линий поля. И еще — что эти линии стремятся побыстрее уйти в среду с более высокой диэлектрической проницаемостью.Вернемся теперь к нашей задаче о поле заряда, находящегося у границы двух сред.
В этом случае тоже основную роль играет поляризация среды с более высокой диэлектрической проницаемостью — воды (рис. 6-4,73вверху). Небольшими поляризационными зарядами белка (на границераздела белок/вода) можно пренебречь по сравнению с большими поляризационными зарядами воды. Поляризация среды приводит к тому,что силовые линии стремятся остаться в воде (рис. 6-4, внизу слева) —ведь ее диэлектрическая проницаемость выше, чем белка. такого же видаполе (если рассматривать только его лежащую над поверхностью разделачасть) создается двумя одноименными зарядами (рис. 6-4, справа внизу).Это подсказывает, какой нам нужен отраженный заряд и где его помещать:помещать его надо под поверхность раздела — в то место, где мы видимотражение, — а знак его должен быть тот же, что у нашего (находящегосянад белком) заряда «1».Я не буду утомлять вас подробным решением всей задачи, а сразу напишу ответ.
Итак.Поле над белком создается и зарядом q, и отраженным зарядомq′= q (ε1– ε2)/(ε1+ ε2) ≈ +q (близким по величине к +q при ε1 >>ε2), лежащимна той же глубине под поверхностью, как q — над поверхностью белка(рис. 6-5).Рис. 6-5. расчет поля над белком, делаемый при помощи отраженного в белкезарядаВ результате эффективная диэлектрическая проницаемость εэфф (это тапроницаемость, которую надо подставлять в формулу ϕ = q/εэффr12) в зоненад белком близка к ε1, т.
е. к 80 только на самых малых расстояниях отзаряда (когда r12 много меньше, чем расстояние от до поверхностибелка; при этом r12 << r02 ≈ r01).Но на больших расстояниях от εэфф всюду близка к 40. В самом деле, когдаr12 >> r10, то r02 ≈ r12, и так как q′ ≈ q при ε1 >>ε2 , то ϕ ≈ 2q/[ε1r12] ≡ q/[(ε1/2)r12].При этом εэфф ≈ 40 относится и к полю над (а следовательно — и под)самой поверхностью белка (где всегда r02 ≈ r12, см.
рис. 6-5).Рис. 6-6. расчет поля, создаваемого внутри белка зарядом, лежащим над поверхностью белкаРис. 6-4. Иллюстрация решения задачи о поле заряда, находящегося в воде у поверхности белка (см. рис. 6-1). (а) диполи (молекулы воды) поворачиваются своим «минусом» к нашему заряду ⊕, а «плюсом» — в противоположную сторону.(б) В результате в воде возникают поляризационные заряды.
Они возникают наее границе, так как внутри толщи воды «плюсы» и «минусы» ее диполей компенсируют друг друга. те поляризационные заряды, что стоят непосредственно у ⊕,уменьшают поле заряда ⊕, что приводит к появлению высокой диэлектрическойпроницаемости воды (этот эффект не зависит от соседства белка).
те молекулыводы, что стоят у поверхности раздела сред, создают на этой поверхности поляризационный заряд: обратите внимание, что он — того же знака, что и нашзаряд ⊕. (в) результирующая картина силовых линий электростатического поляу поверхности среды с низкой (по сравнению с той средой, где находится нашзаряд ⊕) диэлектрической проницаемостью. (г) Эквивалентная (с точки зренияхода силовых линий над поверхностью раздела сред) картина, вызванная отраженным зарядом того же знака74Итак, поле внутри белка создается зарядом, стоящим в точке (рис. 6-6),и для этого поля (я опять позволю себе опустить выкладки) эффективная диэлектрическая проницаемость во всем пространстве под поверхностью равнаεэфф = (ε1+ ε2)/2, т.
е. близка к 40 (т. е. равна εэфф на поверхности белка). И эторавенство естественно, так как потенциалы «поля внутри белка» и «поля вне белка» должны совпадать на поверхности раздела сред (воды и белка).Очень похожий ответ получится, если мы будем рассматривать комплементарную задачу: о поле заряда, находящегося под поверхностью белка(рис. 6-7).В этом случае эффективная диэлектрическая проницаемость εэфф тожеблизка к (ε1+ ε2)/2, т. е. к 40 всюду на больших расстояниях от заряда q, а кε2 (т. е. к 3) только когда r12 много меньше, чем расстояние от заряда q доповерхности белка.75Рис.
6-7. Иллюстрация задачи о поле заряда,находящегося внутри белка, но вблизи от егограничащей с водой поверхности Еще более любопытный результат дает задача о поле, которое заряд,находящийся на одном краю белка, создает на другом краю белка (рис. 6-8).Рис. 6-8. Иллюстрация задачи об электрическом поле, создаваемом зарядом в точке 2на противоположной поверхности белкаказалось бы, в этом случае, поскольку взаимодействие идет через белок, через среду с низкой (ε2 ≈ 3) диэлектрической проницаемостью, мыдолжны были бы ожидать, что εэфф будет близко к 3, в крайнем случае —ведь вода вокруг — лежать где-то между 3 и 80.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
