Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 5. Атомная и ядерная физика (1121281), страница 17
Текст из файла (страница 17)
В этом некоторые авторы видят какоето противоречие между классической теорией и опытом. Действительно, говорят они, опыт приводит к комбинационному принципу Ритца. Согласно этому принципу и теории Бора каждая частота получается путем комбинации двух термов и должна нумероваться двумя индексами, например рш, рш,...
Первый индекс указывает номер начального, второй -- конечного терман. Поэтому частоты должны образовывать не одномерный ряд, а прямоугольную таблицу, или матприцу. Такое возражение является недоразумением. Мы указываем на него только потому, что оно действительно встречается и может быть воспринято читателем как действительное, а не фиктивное возражение. На самом деле, как хорошо известно из математики, элементы прямоугольной матрицы образуют либо конечное, либо счетное множество. Их всегда можно перенумеровать с помощью одного индекса, даже в том случае, когда число элементов в каждой строке и каждом столбце матрицы бесконечно велико.
й 13. Спектр водорода 1. Определение значений энергии атома с'ы бг, йз,... в стационарных состояниях называется квантованием, точнее квангаованием энергии атома. Бор предложил правило квантования для водородного атома, приводящее к правильным результатам. Проблема квантования !Гл. П Строение, энергетические уровни и спектры атома в общем виде была сформулирована в квантовой механике, и притом не только для водородного атома, но и для любых атомных систем (см.
3 22). Она довольно сложна. Правило квантования Бора представляет только исторический интерес. Тем не менее полезно привести простое решение задачи о квантовании для атома водорода или водородоподобного атома, близко примыкающее к идеям Бора. В основе такого решения лежит аналогия с классической механикой и эмпирически усчановленное выражение для спектральных термов атома водорода. Примем, что спектральные термы и соответствующие им уровни энергии ач ома водорода имеют бальмеровский вид; ггй т„= и (13.1) (13.2) где й -- постолпиал Ридберга, а зарядовое число Я ядра введено ради удобства. Целое чншю п, называется главным квантовым числом. С возрасчаннем п соседние уровни энергии атома сближаются, и прн и — > оо расстояние между ними стремится к нулю.
Дискретность энергетического спектра становится все менее и менее заметной. Поэтому можно ожидать, что в таком предельном случае квантовая система будет вести себя, как классическая. Это положение было выдвинуто Бором и названо им принципом соответсгпвил. Принцип соответствия позволяет выразить постоянную Ридберга й через фундаментальные постоянные, характеризующие атом. Для общности будем рассматривать водородоподобиый атом. Так называется ион с зарядом ядра +Ее, вокруг которого вращается один электрон. При Е = 1 он переходит в обычный нейтральный атом водорода Н, при Я = 2 — в однократно ионизованный ачам гелия Не', при 2 = 3-- в дважды ионизованный атом лития ! !++ н т. д.
Разумеется, наше рассуждение будет предполагать справедливость выражения (13.2) и для водородоподобного атома. Одинакова ли постоянная Ридберга для различных водородоподобных атомов — это будет выяснено в дальнейшем. 2. Для простоты Бор принял, что электрон вращается вокруг ядра по окружности. Позднее Зоммерфельд (1868 — 1951) обобщил рассуждения Бора на случай эллиптических орбит. Однако с появлением квантовой механики это обобщение потеряло значение, и мы его рассматривать не будем. Ограничимся более простым случаем круговых орбит.
По классическим представлениям частота излучаемого света равна частоте обращения электрона по круговой орбите. Для низких частот это безусловно верно, как показывает сравнение классической теории с опытом в области радиодиапазона. К таким частотам и относятся приводимые ниже вычисления. Здесь частоты, вычисленные по квантовой и классической теориям, должны совпадать, как этого требует принцип соответствия.
Ядро мы будем считать бесконечно тяжелым, а потому неподвижным. При вращении по окружности радиуса г с циклической 9 13) Спектр водорода 69 частотой ы г 2е г тоо г= г (13.3) откуда ы = Яе,~(Лг), где Л = тг ы — момент количества движения электрона. Полная энергия электрона слагается из кинетической и по- тенциальной энергий и равна 1 г г Яе Яе Ф' = — тг оо 2 г 2г Следовательно, по классической теории должно быть 26 ш=— Ь ' (13.4) Ьоу да — +2 — =О. 3 и Отсюда с учетом правила частот Бора е16 = Ьы получается 25 ы= — Ьп, ап (13.5) причем у 1Г мы опустили индекс и и считаем 7гп ) О, чтобы не вводигь отрицательных частот. Наименьшая частота соответствует переходу Ьп = 1.
Это — основная частота. Значениям Ьп = 2,3,... соответствуют ее гармоники, или обертоны. По принципу соответствия основная частота в формуле (13.5) должна совпадать с классической частотой (13.4). Это возможно только тогда, когда (13.6) Значит, по теории Бора момент количества движения, по крайней мере при больших квантовых числах п, квантуеласл, т. е. может принимать только избранные значения (13.6). Из формулы (13.3) теперь получаем (тг ы) = Хе гт = (пй) . Отсюда гйг г Уе т (13.7) а следовательно, Уе (Уе) т 'п г г 2г 25п (13.8) С другой стороны, уровни энергии водородоподобного атома должны иметь бальмеровский вид (13.2).
Отсюда следует, что при переходах атома с одного уровня на другой величина (егвп должна сохраняться: й„п = сопз1. Поэтому при больших квантовых числах и и малых их г изменениях Ьп должно выполняться соотношение (Гл. П Строение, энергетические уровни и спектры атома 70 Сравнением этой формулы с (13.2) находим ™ з —— г — — 109737,309 х 0,12 см . (13.9) 4лсЬ сб Мы снабдили й индексом оо, чтобы указать,что при получении формулы (13.9) масса ядра М считалась бесконечной, а само ядро неподвижным. В этом приближении постоянная Ридбсрга одинакова для всех водородоподобных атомов.
Теоретическое значение постоянной Ридберга (13.9), хотя и очень близко к экспериментальному значению для атомов водорода йн = 109 677,576 см ', но при спектроскопической точности измерений их различие все же очень велико. Оно связано с тем, что при выводе формулы (13.9) не учитывалась конечность массы ядра М.
Чтобы учесть это, надо массу электрона т заменить на приведенную массу Мт) (М + т). Тогда получится й= (13. 10) 1+ т/М В этом приближении постоянная Ридберга зависит от ыассы ядра, а потому се значения для различных водородоподобных атомов отличаются друг от друга, хотя и очень мало.
Для атома водорода формула (13.10) дае"г й = 109677,6 см ', что хорошо согласуется с экспериментом. Формула (13.10) можег служить для вычисления постоянной Ридберга й, для бесконечно тяжелого ядра. Для этого достаточно воспользоваться спектроскопическим значением й, например, для водорода, а также значением т/М из масс-спектроскопических измерений. 3. Формула (13.8) получена для болыпнх значений квантовых чисел п. Но она остается справедливой прп любьсх значениях п, так как при ее выводе был постулирован бальмеровский вид термов (13.1), в котором на значения п не наложено никаких ограничений. Наша задача сос гояла лишь в том, чтобы на основе принципа соответствия получить теоретические формулы (13.9) и (13.10) для постоянных Ридберга й, и й.
Но эти постоянные, очевидно, не зависят от п, а потому их значения и можно было получить, проводя вычисления при больших и. В спектроскопии спектральные термы и уровни энергии принято изображать горизонтальными линиями, а переходы между ними— стрелками. Стрелкам, направленным от высших уровней энергии к низшим, соответствуют линии излучения: стрелкам, проведенным в обратных направлениях, — линии поглощения. В качестве примера на рис. 21 таким путем изображен спектр водорода. Уровни энергии здесь нумеруются квантовым числом п.
За нуль принята энергия уровня с п = оо. Этот уровень изображен верхней горизонтальной штриховой прямой. Все энергетические уровни, расположенные ниже, дискретны. Им соответствуют отрицательные значения полной энергии атома. Выше штриховой линии энергия не квантуется, т. е, энергетический спектр непрерывен. Но при 6 ( 0 движение электрона финитно, анри (с ) 0 инфиннтно. Это непосредственно следует из соответствующей теоремы классической механики (см.
т. 1, 3 25, 57), поскольку при больших и Спектр водорода 71 ее можно применять. Соответствующая теорема может быть доказана и в последовательной квантовой механике (см. З 22), т, е, совершенно строго. л Рис. 21 Таким образом, ядро и глектроп образуют связанную сисгпему— атом — только в случае дискретного зпергетического спектра.
При непрерывном энергетическом спектре электрон может как угодно далеко удаляться от ядра. В этом случае пару частиц — ядро и электрон— можно лишь условно называть атомом. Если понимать под атомом только связанные состояния, то можно сказать, что уровни энергии атома всегда дискретны, как это и постулировал Ьор. Наличие несвязанных электронов делает, однако, возможными квантовые переходы между состояниями непрерывного энергетического спектра, а также между такими состояниями и состояниями дискретного спектра энергии. Это проявляется в виде сплошного спектра испускания нли поглощения, накладывающегося на линейчатый спектр атома.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
