Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 5. Атомная и ядерная физика (1121281), страница 112
Текст из файла (страница 112)
Время 1 можно отсчитывать от любого момента, принимаемого за начальный. Постоянная дсо означает число нераспавшихся ядер в начальный момент времени. Формула (72.2) и выражает основной закон радиоактивного распада. Разумеется, она относится к тем атомам радиоактивного вещества, которые могут только распадаться, но не могут появляться или исчезать в результате каких-либо других процессов. Посгоянную распада Л можно выразить через среднее время ж зни радиоактивного ядра. Так как за промежуток времени между 1 и 1+ сй распадается — й1«' ядер, то можно сказать, что каждое из этих ядер «живет» время 1, считая от начала отсчета времени. Суммарное время жизни этих — а1«' ядер составляет — 1а1«', а суммарное время жизни всех 1»'о ядер определяется интегралом о «О вЂ” ~ 1 с1М = Л ~ 51У 1й = Л1Уо ~ 1е сй = —.
Юо о о Таким образом, среднее время жизни одного радиоактивного ядра будет т = ( 1'1со! Л): 1'»'о, т. е. (72.3) т = 1/Л. Оно не зависит от выбора начала отсчета времени. Это вполне естественно, поскольку все моменты времени в огношении радиоактивного распада полностью равноправны. Различные моменты характеризуются различными значениями полного числа радиоактивных ядер 1»', но относительное число ежесекундно распадающихся ядер — %,1% одно и то же для всех моментов времени и равно постоянной распада Л. Заметим еще, что время т для сокращения обычно называют просто временем жизни ядра, опуская прилагательное «среднее».
С введением времени жизни формула (72.1) представится в виде ~' = 51ое '~'. (72.4) Время Т11г, по истечении которого число наличных радиоактивных атомов убывает в два раза, называется периодом или временем полураспада. Для его определения на основании (72.4) получим 151 = Хо/2 = Хое т'1»1', откуда (72.5) Т112 = т 1и 2 = 0,6931т. 15« [Гл. 1Х Радиоактивность 452 Если одновременно происходят два конкурирующих процесса, так что ядра У могут одновременно испускать частицы одного сорта №, согласно уравнению д№ вЂ” — — Лггт'1 д4, и частицы другого сорта Мг, согласно уравнению НХг = — Лг о'г Ж, то дМ = д№ + г1 Рчг = — (Лг + Лг) 1у Н. Отсюда следует, что обратная величина «результирующего» времени жизни т равна сумме обратных величин времен жизни тг и тг обоих конкурирующих процессов: Цт = 17тг + 17тг. 3.
При радиоактивном распаде ядер исходного вещества могут возникать новые радиоактивные ядра. В таком случае первые ядра называются материнскими, а вторые — дочерними. Обозначим числа этих ядер соответственно через %, и Хг, а их постоянные распада — через Лг и Лг. Тогда изменения г1'г и Мг будут описываться уравнениями Ы№ дгУг дг ' сИ = -Л,Ж„= Л,Ю, — Лг1Уг. (72.6) Первое из этих уравнений с точностью до обозначений полностью совпадает с (72.1), поскольку число № может только убывать за счет радиоактивного распада материнских ядер. При этом из каждого материнского ядра возникает дочернее ядро. Это обстоятельство учитывается первым слагаемым в правой части второго уравнения системы (72.6).
Другое же слагаемое ( — ЛгМг) учитывает убыль дочерних ядер из-за их радиоактивного распада. Если дочерние ядра также радиоактивны, то при их распаде возникают новые ядра, число которых обозначим через 1тг, а постоянную распада через Лг. В этом случае к системе уравнений (72.6) добавляется третье уравнение Н№, иг (72.7) и т.д. Важнейшим является случай системы уравнений (72.6), когда рассматриваются только материнские и соответствующие им дочерние также радиоактивные ядра. Этим случаем мы и ограничимся. Решение системы уравнений (72.6) имеет вид (72.8) гт1 = гэгов (72.9) 1тгеЛ вЂ” Л ' + (Х1тге №еЛ вЂ” Л (е Лг — Л1 г 1 где Д1ге и Д1гэ начальные значения чисел атомов Жг и г4г материнского и дочернего вещества.
В частном случае, когда в начальный момент дочернее вещество еще не образовалось (1тгв = О), формула (72.9) упрощается и переходит в (72. 10) Лг 1 3 72) Законы радиоактивного распада 453 —.(1 — е '), -л,« Лг формулы (70.10) можно пресс асимптотически стремится М« — — сопзс, так как величиной Л1 в знаменателе небречь. Число атомов Хг при 1 -э к насыщению Мг(оо) = %1 Л1!Лг.
Насыщение наступает практически через промежуток времени т - Зтг (рис. 126). Таким образом, в состоянии насыщения выполняется усло- вие (72. 12) ЛлЖл = ЛгХг. Это равенство называют также условием радиоактивного равиовссил. Как видно из (72.6), физический О тг 2«г 312 г смысл его состоит в том, что распад Рис.
126 атомов дочернего вещества в любой момент времени компенсируется увеличением их числа за счет распада атомов материнского вещества. 4. Статистический закон радиоактивного распада прн наличии очень большого количества радиоактивных атомов — практически абсолютно точный закон. На его принципе работают «атомные засы«, служащие в некоторых случаях, например в геологии или археологии, для измерения промежутков времени. Опишем два применения радиоактивности с этой целью. Для оценки возраста мертвых организмов (древесины, костей животных и пр.), не превьппающего примерно 50000 лет, используется радиоактивный изотоп углерода ~~ОС.
Испытывая,б-распад, он превращается в азот '~тМ. Период полураспада для 'ь«С составляет 5800 лет. Зная первоначальное количество атомов "С в образце и измерив оставшееся количество их, можно вычислнгь время, прошедшее с момента появления образца. Радиоактивный изотоп ~~~С образуется в верхних слоях атмосферы при столкновениях нейтронов, образовавшихся под Полное число атомов М, + %2, как видно из формул (72.8) и (72.10), не сохраняется, если только дочерние ядра испытывают распад (Лг ~ О). Но если дочерние ядра не распадаются (Лг = О), то из тех же формул получается Л1 + Мг = Х1о = сопэ1, т.е.
полное число атомов Мг + Мг сохраняется. Тот же результат немедленно получается, если почленно сложить уравнения (72.6) и учесть, что Лг = О. Аналогично, если не распадаются ядра, возникающие из дочерних (Лг = О), то сложением УРавнений (72.6) и (72.7) полУчим Хг+ Асг+ Хв = сопз1, и т.д. Особенно важным является случай, когда материнское вещество— долгоживущее, а дочернее вещество по сравнению с ннм распадается быстро (Лл « Лг), причем время наблюдения 1 пренебрежимо мало по сравнению со временем жизни т1 материнского вещества (Л11 « 1). За это время изменением %1 можно пренебречь, т.
е. %1 считать величиной постоянной. В таком случае из (72.8) и (72.10) получается [Гл.!Х Радиоактивность 454 действием космических лучей, с ядрами атомов азота ~г~М, составляющими основную часть атомов воздуха (см. 5 103, и. 12). Образовавшийся углерод ~в~С быстро попадает в нижние слои атмосферы, где перемешивается с обычным углеродом 1~эС. Обычный нерадиоактивный углерод ~~вС поглощается животными и растениями, а вместе с ним поглощается и небольшое количество радиоактивного изотопа ~~~С.
Можно считать, что за времена геологического порядка интенсивность космических лучей в земной атмосфере не изменилась. А так как по сравнению с этими временами период полураспада ~~вС (5800 лет) относительно мал, то в земной атмосфере установилось равновесное соотношение между радиоактивным ~~вС и нерадиоактивным ~~вС изотопами углерода, когда вместо каждого распадающегося радиоактивного атома ~в~С космические лучи в среднем порождают такой же новый атом. Это соотношение примерно одинаково и в живом организме, поскольку последний частично состоит из атмосферного углерода.
После гибели организма он, естественно, не в состоянии больше поглощать ни углерод шС, ни углерод ~~С. При этом количество углерода шС, накопленного организмом в течение времени жизни, остается неизменным, тогда как половина атомов г4С убывает за каждые 5800 лет. По меняющемуся соотношению между количествами углерода шС и ~~С и можно относительно точно определить возраст мертвого организма. Второй пример касается определения возраста Земли.
Принципиальное (но численно грубое) решение его было дано еще на заре исследований явления радиоактивности. «Атомными часамиэ, пригодными для решения подобных вопросов, могут служить долгоживущие ядра ззв13 (период полураспада 4,56 млрд лет) и зээТЬ (период полураспада 14 млрд лет). Конечными продуктами их радиоактивного распада являются соответственно стабильные изотопы свинца швРЬ и эввРЬ. Они называются Радиогеппь ми в отличие от так называемого изначального свинца ~~~РЬ, не являющегося конечным продуктом радиоактивных превращений. Если ввести предположение, что весь радиогенный свинец получился в результате радиоактивного распада урана и тория, то можно вычислить возраст Земли.
Для надежного вычисления надо точно измерить количество различных изотопов радиогенного свинца, содержащихся, например, в радий-урановых рудах. В настоящее время такой метод дает для возраста Земли приблизительно 4,5 млрд лет. Конечно, в основе этого метода лежит предполовюение, что в момент возникновения Земли на ней не существовало радиогенного свинца. Однако определение возраста Земли, основанное на этом предположении, хорошо согласуется с другими методами. ЗАДАЧИ 1. Через равные малые промежутки времени производится счет о-частиц делгоживущего радиоактивного препарата.
Найти вероятность Р„того, что водном из этих промежутков времени будет зарегистрировано и о-частиц, если среднее число зарегистрированных в одном промежутке времени очастиц равно п. 3 73) Аль4а-распад 455 Решение. Пусть за длительный промежу*гак времени радиоактивный препарат испустил всего Аг п-частиц, причем за это время его количество практически не изменилось. Обозначим через р вероятность того,что атом радиоактивного вещества испустил о-частицу в рассматриваемый промежуток времени, Тогда вероятность испускания во все остальные промежутки времени будет 1 — р.
Искомая вероятность определится соотношением При Аг — э сс это выражение асимптотически переходит в формулу Пуассона (72.13) В самом деле, ) ( ) — 1х/ 1и13 — ггр м Асимптотически при Аг -э сс (1 — — ) =- е, выражение в квадратных скобках стремится к 1, а дробь (и — А')гдг стремиться к -1. В результате получается формула (72.13). 2.
В настоящее время в природном уране содержится 99,28 % 233 С и 0,72 % 233 П. Вычислить возраст Земли в предположении, что в момент образования Земли количества 2~~12 и 243С были одинаковыми. (Агззз гдгззз) 1 Аг233 Агззз зз з ззз 1" 233 т 1" зз Л вЂ” Л Л '' Аг ' Аг 1,233 А,гзз 1 г'2 =т"3 п( ~ ) =55 10' 3. Период полураспада 234 П равен Т~~~~~ —— - 2,48 10 лет. Какое количество атомов П осталось бы на Земле в настоящее время, если бы происходил 2З4 только процесс радиоактивного распада этого элемента? Как объяснить, что в природном уране содержится примесь 24412 в количестве 0,055%? Возраст Земли 1 =- 4,5 10 лет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
