Л.А. Растригин - Теория и применение случайного поиска (1121205), страница 33
Текст из файла (страница 33)
В работе [32] было показано, что ошибка экстраполяционного метода зависит от степени нелинейности функции Х'= Ха (А), (9.3.1) определяющей в данном случае зависимость вектора оптимальных параметров модели Х* = (п,рь й,рь Т, , ) от вектора состояния объекта. В связи с этим предварительно была Рис. ЗХ Рис. 9.2.
М ' < ~~ сг в к,~ С Ж ~ф У ~! ~2 ~З ~НМ ж Я4 и ~, е ~ейпостп функции оптииалыных параот параметров объекта (второго поектора состояния объекта служили фициеит с усиления входного сигнала ц автокорреляционной функции входного сигнала. Найденные на основе этих исследований зависимости приведены па рпс. 9.2--9,4. Оказалось, что зависимость оптимальных параметров модели агни й аъ Т,,гз от параметров Х1 и Хз объекта практически имеет линейный характер в достаточно широком диапазоне варьирования последних.
Изменение параметра с объекта прнводиг к пропорциональному изменению параметра й модели, не оказывая влияния на остальные параметры модели. Заметная нелинейность наблюдается лишь прп изменении параметра а входного сигнала. Таким образом, функцию (9.3З) можно с небольшой погрешностью лпнеаризовать в достаточно широкой окрестности каждого значения аргумента А= (Хь Хь с, а).
Отсюда ясно, что если в качестве ситуации, определяющей состояние объекта, выбрать упомянутый вектор А, то с помощью метода многомерной линейной экстраполяции предсказание оптимальных параметров модели будет осуществляться с высокой точностью. 46 м развитый подход к решению задачи является абсолютно неприемлемым с точки апа степень нели~ здеальной модели Компонентами в ъекта Хь Хь коэф тель экспоненты нсследов метров ~ рядка). корни об и показа чэ а гчи Рис. 9.4.
224 Кэ,.(т) ж ~,а;~р;(т) (9.3.2) и формированием из полученных коэффициентов аь..., а вектора ситуации. Однако трудоемкость подобного способа параметризацни функции, вероятно, превышает трудоемкость настройки модели поисковым методом. В связи с этим принят более простой способ формирования вектора ситуации: его компонентами являются непосредственно значения функции Кэ,(т), соответствующие определенным моментам а, =Кэ,(т1) а„=Кэ (т ) (9.3.3) рассмотрим некоторые последствия, возникающие при переходе от пространства ситуаций с осями координат Хь Хъ с, а зрения практического применения.
В реальных условиях мы располагаем только записями входного и выходного сигналов объекта, совокупность которых определяет его состояние. Поэтому в качестве ситуации следует взять илп непосредственно записанные реализации процессов, нли их статистические характеристикии. Из общих положений теории идентификации динамических систем следует, что наиболее полными, илн информативными, определяющими состояние объекта, являются: — взаимпокорреляцпоивая функция К„„(т) входного и выходного сигналов объекта илн — совокупность автокорреляционных функций входного н выходного сигналов объекта. В некоторых случаях, когда можно пренебречь нестациопарностью входного сигнала, в качестве характеристики состояния объекта допускается автокорреляционная функция выходного сигнала Кыи(т).
Использование в качестве ситуации любой из упомянутых функций, например К„„(т), требует предварительной ее параметризацнп. Другнмп словами, график этой функции необходимо представить в виде вектора А=-(аь аь..., а,„), компонентами которого являются числа. В принципе параметризацио функции можно осуществить (35] разложением ее в конечный ряд по выбранной системе функций к пространству ситуаций с осями, определяемыми выражениями (933).
Во-первых, функция (9.3.!) преобразуется в некоторую другую функцию, определенную в общем случае .на пространстве более высокой размерности. Во-вторых, полученная функция имеет более высокую степень нелинейности по сравнению с (9.3.1). Это момзно видеть по характеру деформации зависимостей (см.
рпс. 9.2 — 9.4) при замене осей 7ь !.з и а на осн аь ам..., а . Действительно, ординаты точек кривых остаются прежними, а расстояния между ними по горизонтальной осн становятся неравномерными. Эксперименты были поставлены следующим образом. Считалось, что параметры объекта у+6,(!)у+бЮуэ с(!)х(!) (9.3.4) и входного сигнала с корреляционной экспоненциальной функцией К„,, (1, т) =-. О,„е-,'ба<о (9.3.6) могут изменяться в следующих пределах: 0,8(Х~(!) (1,2; 1,6~(Хз(!) ~2,4; 1,6~ с (!) (2,4; 0,3 ~ а (!) =0,6. (9.3.6) (Кзх (т) ~) ° ° ° Кв (т ~) ] -~ Х~ [Кух(тьао) ° ° ° Кзх(ттдо)]-> Хгз (9,3.7) 226 Из этого диапазона с помощью датчика равномерно распределенных случайных чисел было выбрано двадцать состояний объекта и для ннх найдены поисковым методом (глава Ч111) оптимальные параметры идеальных и реальных моделей.
Далее были получены теоретические и выборочные корреляционные функции Кт,.(т) и Кт„(т). Длины Т реализаций входного и выходного сигналов объекта, на оазе которых определялись оптимальные параметры реальных моделей, выбирались нз условия, чтобы при наихудшем сочетании параметров ),ь Хз и а величина Т была в несколько раз больше полного времени практического затухания взаимнокорреляционной функции объекта. Таким образом были получены два варианта обучающей последовательности: [Ктт(тц) ° ° ° Кэх(тт~)]-+ Х~ [Ких(тьы), .
Кт (т„чэо)1 — Хю (9.3.8) Очевидно, что в последнем случае обучение экстраполятора происходит с ошибкой за счет конечных длин реализаций. Информация (9.3.7) или (9.3.8) являлась исхол нои для программы, реализующей алгоритм многомерчой линейной экстраполяции. В качестве новой ситуации поочерьхно выбирались первая, вторая,..., двадцатая ситуации, входящие в состав обучающей последовательности, 1-1а рис.
9.5 и 9.6 представлены результаты чсамяюсстановлепияэ последовательностей (9.3.7) и (9.3.8). Жирной ломаной линией здесь обозначены оптимальные зяачения параметров для двадцати состояний объекта, полученные поисковым методом, а тонкой линией — оценки для этих значений, найденные по методу многомерной линейной экстраполяции по шести и восьми ближайшим ситуациям. Степень удаленности 1чй ситуации от (1+1)-й определялась по величине й (А ь Аз ы) = ~, [Кт. (т;;) — Кт. (т с+ы) 7 пли юн о(Аь Аты) ~[К„,(то) — Кт„(тс;,,)). ~+"1 Зависимость ошибки б предсказания модели от числа Л" ближайших ситуаций, по которым проведено предсказание, является случайной функцией.
Ее конкретное проявление зависит от местоположения гочки в пространстве ситуаций, в которой осуществляется предсказание, и от набора ситуаций, по которым проводится предсказание. На рис. 9,7 показана реализация этой функции, соответствующая ситуации 1, при выбранной в эксперименте обучающей последовательности (верхний график иллюстрирует ошибку предсказания параметров идеальной модели, а нижний — то же для реальной модели), Относителыю статистических характеристик функции б(М') можно с уверенностью сказать только то, что ее математическое ожидание по множеству наборов, составляющих обучающие последовательности, равно нулю.
Если все эти наборы рас- 227 положены в достаточно малой окрестности точки, определяющей новую ситуацию, то дисперсия функции б(й/') будет уменьшаться по мере увеличения й/'. В более общем случае это положение, вероятно, несправедливо. Проведенные эксперименты позволили получить только по одной реализации функции б(Л/') для каждой из двадцати точек. Однако почти все этп реализации наименее уклоняются от нуля в диапазоне л/"=5 †!й. гзалппр/дз/ к // /и //// /// /)б я я /з /5 // /з Основной вывод: экспериментальные исследования подтверждают возможность осуществления корректировки параметров самонастраивающейся модели квазнстационарного динамического объекта методом многомерной линейной экстраполяции. Возникающая прн этом погрешность в основном определяется ошибкаь;и обученна экстраполятора, 10 099 овв 00 од ф 5 5 " 9 Ю В 6 П Ф и ~о 09 ов 00 05 5 5 т 9 0 ~9 /5 0 6 вг 05 02 о ! Я 5 7 9 0 6 6' Ф У ВГ Рис.
9.0. 0 Н, Ту о ,У 4 5 Р 7 В У Ю ~~ ~" !3 Ф к,„ ~~ пф з ~ ~ ю г г д ю и е ~э м Рис. У.7. глава х СЛУЧАИНЫИ ПОИСК В ЗАДАЧАХ СИНТЕЗА МНОГОПОРОГОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Теория синтеза логических структур иа основе пороговых, чажорнтарных и многопороговых э.тементов является сравнительно новой и перспективной. Последнее объясняется большими функциональными возможностями указанных логических элементов, а именно: произвольная булева функция (БФ) реализуема одним мпогопороговым элементом или сетью пз пороговых (мажоритарных) элементов. В данной главе формулируются некоторые задачи много- пороговой логики н показывается возможность нх решения методом случайного поиска. $ >О.!.
ПОРОГОВАЯ ЛОГИКА Математическая модель порогового элемента (ПЭ), впервые рассмотренная в работе [11, схематически показана на рнс. 10.1,а. Двоичные входы х!, хь...,х„оГ>разуют входной вектор Х. Множество входных векторов Х0= (О, О,..., 0), Х>- —— = (1, О, ..., О), Х,= (О, 1, О,..., 0)... Х,, = (1, 1,..., 1) будем обозначать через (Х,;), где з=.О, 1,...,2" — 1.
Каждому входу х! (1=-1, 2,..., и) соответствует вещественное число ш!— вес >чго входа. Вектор %= (ш>, шь..., ш„) называется вектором весов входов, а число (10.1.1) — взвешенным входным сигналом. Если и>>>0 (ш><0), то >чй вход называется возбуждающим (тормозящим). Сигнал 1(Х) 23! на выходе ПЭ является функцией взвешенного входного сигнала Е(Х) и порога Е (Š— вещественное число): (О, если Е(Х) ~Е; (1, если Е(Х) >Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
