Л.А. Растригин - Теория и применение случайного поиска (1121205), страница 29
Текст из файла (страница 29)
' Аппаратурнос исследование была проведено Г А. Беспаловым, 1а — 57 1ВЗ В качестве объекта было выбрана инерционное звено 2-го порядка, описываемое дифференциальным уравнением у+ Ь,у+ Ь,у= с~Я, T 7'(а,к ) Корни характерпстического уравнения г'+Ь +Ь =О при выборе козффициентов Ь, и Ь, — отрицательные и действительные.
В атом случае переходной процесс является монотонным. Моделью служило инерционное звено 1-го порядка, описываемое дифференциальным уравнением 194 Оптимальными параметрамп ьюдели считались параметры, соответствующие минимуму среднеквадратического критерия = — 1 [у (1) — г (1) )'~11. Т.~ -" ~ 'В"" а а) ги """'1' гю х зло ,Г,гйД, ! ,/ с Л Г~. (Р; Рис И. Блок-схема моделирования представлена на рнс. 8.4. Работа этой схемы описывается следующей системой уравнений: у=с1(1) — й,у — 'о,у; х=й1(1) — аа; е(!) =у(1) — г(1); с 11 ~еи(1)й.
а ~р(У). й ф(1) о Функции ср(1) и ф(1) выбираются из условия, чтобы Х было минимально. В данном случае эта функциональная связь осуществлялась оператором. Один и тот же входной сигнал подается на вход объекта и модели. Сигнал рассогласования, получаю- щийся в результате сравнения выходов объекта и модели, подается в блок формирования критерия близости объекта и модели. В зависимости от величины этого критерия проводилась корректировка параметров модели. По результатам наблюдений га е„ Рт., 8,5, 2а+! +20 (в] при и/ы<1< 2п+1 а+ 1 — 20 [в! при "— — <!<в 2ы Ю где 1(1) =- ы=!,3 1/сек; п=1, 2,, 199 в плоскости параметров модели строились кривые, соответствующие одной и той гке величине критерия блпзости (кривые равного уровня).
Влияние переходных процессов иа величину критерия исключалось. Были построены кривые равного уровня для следующих систем «объект †модел. 1) (Рис. 8.5). Объект д+д+80д=4 ° 10ч)п 131; модель г+аа=-й ° 10 з!п 1,38 2) (Рис. 8.5). Объект д+д+80д=4 ° 1(1); модель 2+ аз.=-й 1(1), 3) (Рнс. 8.6).
Объекту+11,2у+10д=11,21(1); модель 2+аг=й )Я, где 1(1) — случайная функция с законом распределения, близким к нормальному, н с математическим ожиданием, равным 30 и. « аа Рас. 8.б. Как видно нз рнс. 8.5 н 8.6, поле критерия 7 в параметрах модели а и л имеет овражный характер, что сильно услогкняет поиск экстремума критерия. Минимум критерия в общем случае не равен нулю.
Он может быть ранен пулю (прн различных порядках дифференциальных уравнений, описывающих объект и модель) только в случае детерминированного входа, состоящего из одной га р моники. Был рассмотрен также случай, когда модель описывается инерционным звеном первого порядка с чистым запаздыванием. В этом случае перед входом модели (см. рис. 1) устанавливался блок постоянного запаздывания.
Система «объект — модельэ описывалась следующими уравнениями: объект у+6,74у+1Оу= 11,1 ебп 1,251; модель а+ аз= й ° з!п (1,251+ 0,15). 197 Пример линии равного уровня для этого случая — рнс. 8.7. Здесь поле критерия 1 имеет также овражный характер. Параметр Т, (чистое запаздывание) дает принципиальную возможность для случая детерминированного входа, состояшего из одной гармоники, получать ппп1=0 (без учета влияния переход- Ряс дг. ного процесса на величину критерия) для любого объекта, описываемого дифференциальным уравнением с постояпнымя коэффициентами. Таким образом, моделирование показало, что в случае, если модель описывается дифференциальным уравнением как одинакового, так и оолее низкого порядка, чем объект, поверхность критерия качества в пространстве параметров модели имеет овражный характер.
Различие структур объекта и модели приводит к тому, что значения параметров оптимальной модели н абсолютная величина минимального значения критерия качества зависят от вида входного воздействия. й ази ПОСТРОЕНИЕ ИДЕАЛЬНОЙ МОДЕЛИ Как известно, при бесконечных длинах реализаций входного и выходного сигналов объекта настройка по критерию (8.2.5) равносильна настройке по критерию (8.4.! ) где Ка,(т) и К„„~(т) — взанмнокорреляцнонные функции выходного и входного сигналов объекта и модели.
В связи с этим оптимизация параметров идеальной модели может быть 198 Получим выражения для взаимнокорреляционных функций объ- екта и модели: 1 е-ат В„с (Л~ — а) (Лз-а) -зат 2ае-" ' (Лз — Л|) (ЛР— а') + 2ае ! (Лз-Л~) (Лзз — оз) ' еат Вас — — — — — — —, при т(О; (Л~+а) (Лз+а)' К.(т) = (8.4.3) (е-а(т-т > 2ае а(т-та]1 Пай~ — — --;-"- ~, при т)Т;, а-а а'-"а'' 1' е-а(т -т) 0„А а+а Е-а1т+тт1 11„й а+а , при 0: т(Т;, при т~О. К'а. (т) = Подставим их в уравнение (8.4.1).
Проведя необходимые пре- образования, найдем явное выражение для функции1=1(а, й, Та), нз которого просто получается формула для Ф,ак аа(а+а) ~ е-ат, Тте-ат (а+2а) 12а(а+Л1) (а+Лз) К~ — а) (Лз — а) (а+За) е-' т, 2а е- ат е-лат + + — '+ 2а(а+а) (Лз — а) (Лз — а) (Лз — Л~) 1(Лз — а)з( з+а) е-мтз — е 'тз (а+2а+Лз) е-' т, + з + (Л~ — а) з(Лз+ а) (Лз — а) (Лз+ а) '(а+ Лз) (а+2а+Л~) е-~ т, 11 (Л1-а) (Лз+а)з(а+Л|Ц' 199 осуществлена по схеме, изображенной на рис.8.1, стой разницей, что на вход обьекта и модели подается идеальная автокорреляционная функция К„(т) входного сигнала, а на выходе сравниваются взаимнокорреляционные функции Ка„(т) и К„„*(т) по критерию (8.4.1).
Пусть, например, объект описывается уравнением второго порядка вида (8.2.1), а автокорреляционная функции входного сигнала является экспонентой: К„(т) = 1)те-а!'~. ( Лх Х„+й~(ЛХ 1+-й (8.4.5) х,+,= (8.4.6) Х,+Вй где й — масштаб поиска;  — случайный вектор, каждая компонента которого равномерно распределена на интервале [ — 1.„ + 1); В уравнениях (8,4.3) н (8.4.4) символами )и и Хз обозначены модули корней характеристического уравнения объекта ()ч()а). Результирующее выражение для l=l(а, Т,,), которое получаетсч после подстановки (8.4.3) в упомянутое выше выражение Т=Т(а, й, Т;), было запрограммировано для ЭЦВМ«БЭСМ-ЗМа. 11а рнс.
8.8 показаны проекции кривых равного уровня на плоскость (а, Т,) а районе экстремума, которые были получены сканированием после оптимизации модели одного варианта обьекта. Видно, что экстремум находится на воронкообразном дне глубокого искривленного оврага. Интересно отметить, что ось оврага аспиптотически выпрямляется по мере приближении к прямой Т,=Т;, перпендикулярной оси Т,. Координата Т, численно равна значению т~, при котором достигает максимума кривая взанмнокорреляционной функции объекта. Установленный факт позволяет дать более глубокое пояснение известной в литературе рекомендации о том, что время чистого запаздывания модели следует выбирать примерно равным значению г'.
Как видно нз рис. 8.8, при таком выборе величины чистого запаздывашга мы проигрываем в качестве модели, но выигрываем в том, что качество полученной модели будет более некритично к изменению постоянной времени (точнее, коэффициента а) в широких пределах. Так, изменение а в пределах .+40'/о от номинального значения на указанном рисунке практически не приводит к изменению величины критерия качества модели. Таким образом, прн входном сигнале с экспоиенциальнымн корреляционными характеристиками оптимальная настройка модели по критерию (8.4.!) единственна. Учитывая поведение оптимизируемой функции (рис, 8.8), настройку модели можно проводить методом, приводящим к цели в овражной ситуации, Так, в работе 126] был предложен алгоритм случайного поиска, эффективность которого в смысле отыскания экстремума в криволинейном овраге подтверждена многочислсннымн экспериментами на ЭЦВМ.
Рекуррентная формула для смешения в пространстве параметров по этому алгоритму имеет внд ЛХ;=Х; — Х;, приращение вектора параметров модели, которое привело к последнему удачному шагу. Алгоритм работает следующим образом (рис, 8.9). В заданной области поиска выбирается слччайио начальная точка Х~ 1 ~иобйю 1 ' псу™бацнык а.7кб ~,п, пппппппк п>к ПЯ ~ пап п7кд и к Пппкккпк Рпс. 8.9, и в ней определяется значение критерия качества 7(Х~). С помощью (8,4.б) формируется следующая точка Хз и проверяется условие (8.4.7) 7(хз) и(х1). После нахождения точки Хь удовлетворяюшей условию (8.4.7), начинается движение преимущественна в удачном направлении, определяемом вектором Х,Хь Координаты последующих точек здесь формируются по формуле (8.4.6). Естественно, переход в последующую точку осуществляется только при выполнении условия, аналогичного (8.4.7).
Если из некоторой точки Х, было сделано подряд Й~ пробных неудачных попыток, принимается решение о поиске нового удачного направления из достигнутой лучшей точки Хь Таким 202 образом, в алгоритме применено «иаказание случайностью» [3!] — переход на соотношение (8.4.6) при неудаче. Если йз попыток найти новое удачное направление из точки Х; ие увенчалось успехом, происходит уменьшение масштаба поиска й и продолжаются попытки найти удачное направление. Поиск заканчивается при достижении конечного масштаба, задаваемого из соображений точности отыскания экстремума. Число Й~ неудачных попыток прн направленном поиске можно брать равным или болыпим 1.
Чем меньше йь тем менее полно исчерпывается найденное удачное направление. Число йь как показывает практика решения различных задач, следует выбирать большим или равным 8. При малом числе Аа поиск может остановиться, не дойдя до экстремума, в силу принудительного уменьшен~ив масштаба поиска. Теоретические оценки для величины йэ в случае простейших моделей функции качества показывают, что минимально допустимое значение йз воз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
