Л.А. Растригин - Теория и применение случайного поиска (1121205), страница 30
Текст из файла (страница 30)
растает с у~величеннем скорости уменьшения масштаба поиска и числа оптимизируемых параметров. Интуитивно ясно, что чем более овражный характер имеет функция качества, тем больше должно быть число Йе. Отметим особенность алгоритма (8.4.5), которая появилась благодаря умножению случайного вектора Я на масштаб поиска )ь В начале поиска, при й>1, случайная часть Ей' общего приращения вектора Х, в выражении (8.4.5) обычно болыпе детерминированной части ЛХ;л .ЛХ )=! и Как видно из рис.
8.10, на начальной стадии поиска движение точки по уравнению (8.4.5) почти равносильно случайному сканированию по уравнению (8.4.6). По мере уменьшения шага поиска (Л<1) относительный вес детерминированной части повышается и движение точки при направленном поиске все более приближается к движению вдоль удачного направления (рис. 8.!О, б, в).
В результате алгоритм обеспечивает движение к экстремуму вдоль сколь угодно узкого оврага функции качества. На рис. 8.8 ломаной линней показано движение текущей точки поиска к экстремуму — рабочие шаги. Начало поиска находится за пределами рисунка, конец поиска непосредственно вблизи экстремума пе показан. Нетрудно показать, что в случае колебательной корреляционной функции входного сигнала за~висимость критерия качества (8.4.1) от настраиваемых параметров модели носит многоэкстремальный характер. Для настройки модели здесь необходимо принимать дополннтельныс меры, гарантирующие отыскание глобального экстремума 1301 мепй~ЖРА' хйг а) Задача существенно облегчается тем обстоятельством, что во многих случаях (например, для всех колебательных функций, приведенных в табл. 9 [8)) глобальный экстремум является ближайшим к началу координат.
$85. ПОСТРОЕНИЕ РЕАЛЬНОЙ МОДЕЛИ Поисковое определение оптимальных параметров модели прн конечных длинах реализаций входного и выходного сигналов объекта проводится по приведенной на рис. 8.1! схеме, заимствованной из 1221 С помощью считывающего устройства производится одновременное считывание записанных реализаций входного и выходного сигналов объекта.
Входной сигнал пропускается через подстранваемую модель, а полученный выход модели сравнивается с выходом объекта по заданному критершо невязки. Подстройка параметров модели с целью уменьшения величины критерия рассогласования осуществляется автоматическим оптимизатором. 1. Уменьшение числа оптимизируемых параметров. Прн выбранной структуре модели необходимо оптимизировать трп 204 параметра: а, и и Т,. Путем несложных преобразований удается получить формулу для оптималыгого значения параметра а ятем самым уменьшить число параметров, оптимизируемых поиско- Рис 8.П, вым методом.
Действительно, возьмем частную производную от критерия качества (8.2.5) по параметру Ф и приравняем ее к нулю: Ы 2 Г йа, — у (р-г) — И=О, йй Т Т1 М 7 з (8.5.1) откуда (8.5.2) Обозначим (8.5.3) Тогда е =' йар! р (~) ° Подставляя (8.5.3) в уравнение модели г+ аз= йх((- Т,), получим р+ар=х(~ — Тз). (8.5.4) В принятых обозначениях уравнение (8.5.2) будет иметь сле- дующий вид: т г ~ р(н((=й.„~ рт,((, т г, откуда непосредственно получаем выражение для оптимального значения й: 1 рй(1 г АР~= г (8,5,6) Теперь остается подставить (8.5.6) в выражение для критерия качества (8.2.5): — (р — )ж= ~ 1'р(~— т — 7,.) т — т, ~.) 1 -2А„, /урд/|-В Р)Ь/К).
(8.5.7) Таким образом, в случае моделирования поискового метода по- лучения реальной модели на ЗЦВИ в процессе интегрирования уравнений объекта и модели с ч"'+й — Ф"'-"+ +й у+5 у — — И~)+в()В а+ар= () — 7,) на каждом шаге поиска подсчитываются интегралы 1, 2, 3 уравнения (8.5.?), далее определяется значение йо,и по формуле (8.5.6) и, наконец, находится значение критерия качества (8.5.7), соответствующего выбранным текущим значениям параметров а и Тъ 2. Обеспечение представительности модели. Пусть мы располагаем некоторым множеством из У реализаций входногосигнала объекта н соответствующим множеством реализации выходного сигнала. Для каждой из пар реализаций «вход — выходэ найдем оптимальные параметры модели.
Очевидно, векторы оптимальных параметров полученных моделей М~', Мз*,..., Мм~ являются случайными векторами и группируются в некоторой области, в общем случае содержащей вектор оптимальных параметров идеальной модели, Реализации ввход--выход» можно назвать обеспечивающими о-представителыюсть моделей в том случае, если соответствующие им векторы оптимальных параметров реальных моделей удалены на расстояние, не превышающее а, от вектора оптимальных параметров идеальной модели. Требование представительности модели обусловливает соответствующие треоования к длине и частотному спектру реализации входного сигнала.
Очевидно, сннусоидальный сигнал любой длины или реализация случайного процесса, длина которой меньше времени переходного процесса объекта, не обеспечивает представительности модели. Рассмотрим несколько способов постановки эксперимента по определению представительной модели. Наиболее простой подход заключается в том, что модель строится иа базе реализации случайного процесса, длина которой во много раз превышает время переходного процесса объекта, а спектральный состав которой заведомо шире полосы пропускания объекта.
В рабочем варианте программы эти условия обычно достигаются, если для построения модели на каждом шаге оптимизации используется вся запись процесса (обычно достаточно длинная). Этот способ является наиболее трудоемким и требует значительных затрат машинного времени. Во втором способе исходная реализация разбивается на ряд отрезков длиной Ть и для каждого нз них (илн для некоторых) строится своя оптимальная модель.
Затем результаты осредняются и получается модель, близкая к оптимальной для всей первоначальной реализации. Этот способ предпочтительнее первого, так как задачу можно решить с применением только оперативной памяти ЭВМ, Если операцию осреднення проводить не после завершения ряда поисковых процедур, а непосредственно в процессе поиска, то получится третий способ решения задачи. Здесь на каждом шаге поиска прп одних и тех же текущих значениях параметров модели делается и измерений величины качества соответ- ственно на первом, втором и н-м отрезках реализации длины Ть Величина критерия качества, соответствующая текущимзначениям параметров мо елн, находится в результате осреднения, Такая постановка эксперимента нецелесообразна, так как приводит к процедуре оптимизации в обстановке помех со всеми вытекаю;цимн отсюда неприятными последствиями.
Наилучшей является, вероятно, постановка эксперимента с автомат нческим выбором представительной длины реализации. Поиск оптимальной модели начинается при достаточно коротком отрезке реализации Ть После попадания текущей точки поиска А~ в зону притяжения глобального экстремума (рис.о.)2) длина реализации увеличивается на ТзТ, затем корректируется б) величина критерия качества в текущей точке поиска (переход А~~ — Аэ на рпс. 8.12), и поиск продолжается на реализации длины Т,+ЬТ.
Перед очередным увеличением длины реализации текущая точка А,* поиска окажется еще ближе к экстремальной точке. Начиная с некоторого момента дальнейшее увеличение длины реализации уже не приводит к сколько-нибудь значительному изменению параметров модели. Это означает, что текущая точка поиска попала в о-окрестность экстремума, а реализация стала представительной. Каждое увеличение реализации означает скачкообразное изменение формы поверхности 1=7(а, й, Т,).
Начиная с момента, когда реализация стала представительной, дальнейшее увеличение ее длины приводит к параллельному сдвигу поверхности l(а, й, Т,) вдоль осп Рбез существенного изменения формы этой поверхности. На рис. 8.!2 этот факт проиллюстрирован на примере одномерного случая. 3. Генерирование сигнала х(г) и помехи $(г). Выше отмечалось, что в процессе исследований объект был выбран в виде линейного дифференциального уравнения.
Входной сигнал объекта моделировался с помощью двух датчиков псевдослучайной стационарной функции с желаемыми корреляционными характеристиками. Первый датчик (генератор сигнала) моделировал полезный сигнал х(г) объекта, второй датчик (генератор помехи) моделировал помеху ДГ). Моделирование стационарной случайной функции с заданными корреляционными характеристиками осуществлялось по методике, предложенной в 1321.
Согласно этой методике, значения стационарной псевдослучайной функции х(г) с корреляционной функцией, например, вида К,,(т) =В,е '~! можно получить в дискретные равноотстоящие моменты вре- мени 1=Л, 2Л,... с помощью рекуррептпой зависимости к„.„,=-В,х„+ )В,А,т1„.ьь (8.5,8) где Л вЂ” шаг квантования по времени функции х((); и - — случайная величина, распределенная по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.
Эначения стационарной функции л(1) с корреляционной функцией вида К„(т) =0«е-"!я соз рг генерируются с помощью следующей рекуррентной зависимости: х»ч ~ =-В«х» 1+В|яд+~Т)«А»т)~~+)0«Ан!»~-ь (8 5 9) где В,= — е-"'; В,=-2е «зсоз рЛ; А«= — —.~/ ~~ (! — Во)+у((-В»)' — ВР; ! ./)+в, Т и ! 1 '(+В«. ! А, = — В, 1/ — — —: ~г ( ! - Во) +)' (! — Во) ' — В 1'. Следует отметить, что в данном случае не удается учесть известных рекомендаций !6] о рациональном выборе шага квантования по времени случайной функции. Дело в том, что значение параметра Т» округляется до ближайшего целого числа шагов Поэтому Л выбиралось исходя из желаемой точности определения параметра Т» модели и разумного времени решения задачи настройки модели на ЭЦВМ. Прн отсутствии корреляции между сигналом и помехой в генераторы подавались различные значения случайной величины т!.
4. Выбор метода оптимизации параметров модели определяется особенностями оптимизируемой функции 1(а, й, Т,'): наличием нли отсутствием помехи в процессе поиска, размерностью пространства оптимизируемых параметров, одно- илн многоэкстремальностью функции, видом поверхностей равного уровня. В рассматриваемои задаче следует различать помеху, воздействующую на входной или выходной сигнал объекта, н помеху, искажающую поверхность функции качества в процессе поиска экстремума. Очевидно, если на каждом шаге поиска используется одна и та же пара реализаций «вход — выход» объекта (первый способ постановки эксперимента), то помеха впроцессе поиска отсутствует. Таким образом, в первых двух способах постановки эксперимента задача оптимальной настройки модели решается с применением поисковых методов, приводящих к цели прн отсутствии помех.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
