Л.А. Растригин - Теория и применение случайного поиска (1121205), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Ряс. ЕО.Е. (10.1.3) (10.1.4) Таким образом, функционирование ПЭ описывается некоторой БФ Е" (Х), а его структура полностью определяется вектором весов входов % и порогом Е. В дальнейшем ПЭ будем условно обозначать символом [Ф, 11 и изображать так, как показано на рпс. 10.1,6; сигнал Е"(Х) будем задавать в виде функциональной зависимости от величины Е(Х) взвешенного входного сигнала и порога Е (рис. ! 0.1,в). Пример 1. Пусть задан ПЭ ((гвь ге2), Е), на веса входов и порог которого наложены следующие условия: О ш~ ~юз', О~Е(шь В соответствии с (10.!.1) и (!0.1.2) имеем !а=!(Хэ) =О, 1,= =!(Х,) =вь !з=!(Хз) =шм !з=!(Хз) =ш~+шз и 10, если 1;=!о', $1, если 1,+!ъ т. е.
функционирование данного ПЭ описывается БФ !(хь х,) = =х~~/хь Если в данном примере условие (10.1.3) сохранить, а условие (10.1.4) последовательно задавать в виде (<О, и~< <!<шв ш~<1<ш,+шм гв,+шз<(, то функционирование соответствующих ПЭ будет описываться следующими БФ: !(Х) =1; ((Х) =-х~, ! (Х) =х~х~ и !(Х) =О. Геометрически множество входных векторов (Х,), (з=О, 1,...,2"-1) соответствует множеству вершин а-мерного единичного куба, а выражение !(Х) -1=0 есть уравнение гиперплоскости, отделяющей подмножество Го вершин, на которых !(Х) =О, от подмножества Р~ вершин, на которых !(Х) =1. Если произвольному ПЭ, заданному вектором весов, входов 'тУ и порогом 1, всегда соответствует некоторая БФ, определяемая выражением (!0.1.2), то обратное, вообще говоря„не верно, т.
е. не всякая БФ может быть реализована одним ПЭ (ниже будет показано, что одной из таких функций является, например, сумма по модулю 2: !(Х) =х~9хз). В соответствии с этим БФ называется пороговой, если она реализуема одним ПЭ. Для пороговой функции (ПФ) всегда существует разделяющая гиперплоскость (10.1.5). Одна из основных проблем пороговой логики — синтез ПЭ по заданной БФ вЂ” формулируется в виде следующих двух взаимосвязанных задач: !) является ли заданная БФ пороговой? н 2) если да, то какова структура ПЭ, реализующего заданную ПФ? Решению этих задач посвящена обширная литература, достаточно хороший обзор которой имеется в работах (2 — 41, разработаны алгоритмы синтеза ПЭ, и в принципе задача считается решенной !2, 5). В работе [6] показано, что произвольная БФ реализуема сетью из ПЭ.
Как правило, техническая реализация сложных БФ на основе сети из ПЭ существенно проще и экономичнее по сравнению с базисом И, ИЛИ, НЕ. Физическими устройствами, которые могут рассматриваться как ПЭ, являются, например, мпогообмоточное реле, параметрон и др. Следует заметить, что математическая модель ПЭ и ее модификации находят широкое применение для решения целого ряда проблем, связанных с созданием искусственного разума (синтез моделей обучения и распознавания образов «7 9), построение моделей нейронов и нейронных сетей [10 — 12)), а также в задачах технической и медицинской диагностики «13, 14) и др. Это объясняется тем, что все перечисленные задачи носят логический характер и формально сводятся к построению некоторой БФ. Все изложенное выше позволяет считать пороговую логику — теорию синтеза ПЭ и сетей из них — весьма перспективным направлением исследований.
$10Д. МНОГОПОРОГОВЫИ ЭЛЕМЕНТ Простейшее пороговое устройство — - пороговый элеиент-- обладает большими функциональными возможностями. Достаточно сказать, что 40Т4 БФ с числом переменных п=З являются пороговыми, т. е. любая из них может быть реализована одним ПЭ. Однако из табл. !О.1, в которой приведены данные о числе П(п) всех ПФ для и "7 [15), видно, что с ростом и доля ПФ уменьшается, Т. е. !пп — -„— = О, П(а) 22" где 2'" — количество всех БФ от л переменных. В связи с этпч представляет интерес рассмотрение более общих пороговых устройств, называемых многопороговыми элементами, которые обладают свойством функциональной полноты, т. е. могут выполнять любую логическую функцию.
Многопороговый элемент (МПЭ) с линейной аналоговой операцией (10.!.1) — будем называть его линейным МПЭ вЂ” был впервые предложен в работе [!6]. Под линейным МПЭ понимается объект [%, Т, т) с и двоичными входами, задаваемыми вектором Х= (хь хь..., х„) и одним двоичным выходом !(Х), где %= (э„шь..., ш„) — вектор весов входов; Т = ((ь !ь..., Гк)— вектор порогов и тее«0, 1) — тип элемента. Компоненты векторов % и Т в общем случае являются вещественными числами, причем (1<(2«, (м Сигнал на выходе МПЭ представляет 234 Таблица ! л ! 2г" ! П (Л] 22л ! ~~ 4 ) 4 ~ ! 0,875 2 ~ И !4 3 ( 256 ) !04 0,406 ! 65 536 ! 1882 ! 0,03 ! .в ! 2вв 94572 2 ° 10 в 2вв !О " !5028 !34 7 ~ 2нв 8 378 070 864 10 '-" Например, на рис.
10.2 показана зависимость выходного сигнала 7(Х) от величины ЦХ) для МПЭ типа т=О с нечетным числом порогов. Геометрически выражения !(Х) =!ьл ! (т=1, 2,...) являются уравнениями гиперплоскостей, отделяющих подмно. жество Гл вершин, на которых !(Х) =-О, от подмножества г! вершин, на которых 7(Х) =1. 235 собой (булеву) функцию взвешенного входного сигнала !(Х), определяемого выражением (10.1.1), и вектора порогов Т; 1(Х) = ! т, если 1,„!~!(Х)(1,„(м=1,2,...); (10.2.! ) т в противном случае, где т=т+! (той 2).
т=г(Х), а вектор Х такой, что !(Х) =т!п !(Х). х Линейный МПЭ является функционально полным элементом 116]. Доказательство этого факта содержится, например, в работе [17), где дается простой способ определения структуры линейного МПЭ, реализующего заданную БФ 1(Х), в классе кано- чс Рис. Ид нпческих реализаций, характеризующихся тем, что вектор весов входов %=(2" ', 2" ',...,2" '), где („ев(1, 2...,п) и (газ Ф1о при равд.
В этом случае оператор (10.1.1) сопоставляет разйым вершинам Х и-мерного единичного куба разные число 1(Х). Полагая т=1(Хо) и выбирая величины порогов так.чтобы выполнялось условие (10.2.1), окончательно получаем вектор порогов Т= (1ь 1м..., 1о), размерность которого зависят от вида функции 1(Х) и вектора весов входов %. В работе (18) этот способ распространен на более общий класс так называемых независимых реализаций. В этом случае на компоненты вектора % наложено условие линейной независимости гв,~ ~, е„гв! (1=1,2,...,п), (10.2.2) г~с где г,ен(0, ~-1); 1=1, 2,..., л. Пример 2. Пусть задана БФ трех переменных 1(Х) =- =-х, ~/хохо и требуется построить реализующий ее МПЭ.
Возьмем вектор %= (1, 2, 4), тогда, согласно (10.1.1), имеем 1;=1(Х,) =з (з=О, 1,...,7). Функция 1(Х) на соответствующих наборах аргументов Х, принимает следующие значения: !о=1(Хо) =О, 1~=1, !о=О, 1о= !. )о=О, )о=(о=~т=1. Поскольку 1о=ппп 1, (з=-О, 1,..., 7), то вектор Хо=Х и, следовательно, т=1(Хо) =О. В качестве порогов выберем, например, числа 1~ — -0,5, (о=1,5, 1,=2,5, 1,=3,5 н 1о= 236 =4,5, которые удовлетворяют условию (10.21). Нетрудно видеть, что построенный МПЭ реализует заданную БФ.
Значительный интерес представляют также МПЭ с нелинейными аналоговыми операциямп, Так, в работе [19) исследованы модульные н множительные элементы, которые технически легко реализуемы и имеют определенные преимущества перед линейным МПЭ. Теория анализа и синтеза М(!Э вЂ” будем условно называть ее многопороговой логикой — находится в стадии развития и далека от решения многих важных задач [16- 29). Это объясняется как сложностью и новизной проблематики, так и специфическими трудностями технической реализации МПЭ [20„21, 23).
$10.3. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНОГО ЛИНЕИНОГО МПЗ В общем виде задача синтеза линейного МПЭ формулируется следующим образом: по заданной БФ построить реализующий ее линейный МПЭ. Ниже будет показано, что эта задача имеет бесчисленное множество решений. С практической точки зрения, желательно найти такое решение, которое удовлетворяет некоторым критериям качества (например, простота реализации, максимальная надежность функционирования и др.).
В дальнейшем МПЭ, имеющий й порогов, будем для краткости обозначать символом й-ПЭ. В примере 2 ($10.2) дано построение 5-ПЭ, реализующего заданную БФ 1(Х) =х~Ъ'хзхм функционирование которого графически показано на рис. 10.3,а. Из способа построения ясно, что для фиксированной БФ структура реализующего ее МПЭ полностью определяется вектором весов входов %, т. е. размерность й вектора порогов Т и тип т элемента являются производными величинами вектора %: й=й(%); (10.3.!) т=т(%). (! 0.3.2) Пример 3. Пусть вектор %= ( — 1, 2, 4).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
