В.А. Алекшевич - Оптика (1120564), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Îí ïîõîæ íà ýëëèïñîèäè èçîáðàæåí íà ðèñ. 19.2; äâóîñíûé êðèñòàëë (Lx ¹ Ly ¹ Lz). Àíàëèç óðàâíåíèÿ (19.14) ìîæíî ïðîâåñòè,åñëè ïîëàãàòü ïîñëåäîâàòåëüíî ñíà÷àëà ex = 0, çàòåì ey = 0 è äàëåå ez = 0. Òîãäàìîæíî ïîëó÷èòü ðàñïðåäåëåíèå ñêîðîñòåé L ¢ è L ² â ïëîñêîñòÿõ, ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ñíà÷àëà îñè Ox, çàòåì Oy è äàëåå Oz. Ïîñëå ýòîãî ìîæíî ïîëó÷èòüïðåäñòàâëåíèå î òðåõìåðíîé ïîâåðõíîñòè íîðìàëåé. Òàêîé àíàëèç ïîêàçûâàåò,÷òî â êðèñòàëëå ñóùåñòâóþò äâà íàïðàâëåíèÿ e1 è e2, âäîëü êîòîðûõ L ¢ = L ². Ýòèíàïðàâëåíèÿ íàçûâàþòñÿ áèíîðìàëÿìè, èëè îïòè÷åñêèìè îñÿìè âòîðîãî ïîðÿäêà.Ýëëèïñîèä íîðìàëåé.
Äâå âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùèåñÿ ñ ðàçíûìè ñêîðîñòÿìè L ¢ è L ², óäîáíî àíàëèçèðîâàòü ñ ïîìîùüþ ýëëèïñîèäà íîðìàëåé (èíäèêàòðèñû), îïèñûâàåìîãî óðàâíåíèåìx2 y2 z2++= 1.ex ey ez(19.19)Äëèíû ïîëóîñåé ýòîãî ýëëèïñîèäà e x = c/Lx, e y = c/Ly, e z = c/Lz îáðàòíîïðîïîðöèîíàëüíû ãëàâíûì ñêîðîñòÿì. Ïðîâåäåì ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò ïëîñêîñòü, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ íîðìàëè e (ðèñ.
19.6).Ëèíèÿ ïåðåñå÷åíèÿ (øòðèõîâàÿ) ïëîñêîñòè è ýëëèïñîèäà áóäåò ýëëèïñîìñ äëèíàìè ïîëóîñåé OM ¢ è OM ². Ìîæíî äîêàçàòü (à ýòî èíòóèòèâíî è òàêóãàäûâàåòñÿ), ÷òî OM ¢ = c/L ¢, OM ² = c/L ². Êðîìå òîãî, âäîëü ïîëóîñåé áóäóòíàïðàâëåíû âåêòîðû D¢ è D² ó îáåèõ âîëí.Ó îäíîîñíîãî êðèñòàëëà ïîâåðõíîñòü íîðìàëåé áóäåò ýëëèïñîèäîì âðàùåíèÿ âîêðóã îïòè÷åñêîé îñè (îñè Oz).Äëÿ îäíîé âîëíû (îáûêíîâåííîé) äëèíàïîëóîñè OM ¢ íå áóäåò èçìåíÿòüñÿ ïðè èçìåíåíèè íàïðàâëåíèÿ íîðìàëè: OM ¢ = c/Lo. Ó òàêîéâîëíû âåêòîð E¢ P D¢ (J¢ = 0), ïîñêîëüêó â ïëîñêîñòè Oxy ñðåäà èçîòðîïíà. Ëó÷ s¢ è íîðìàëü eñîâïàäàþò, ëó÷åâàÿ ñêîðîñòü u¢ = Lo.Äëÿ äðóãîé âîëíû (íåîáûêíîâåííîé) äëèíà ïîëóîñè OM ² èçìåíÿåòñÿ ìåæäó âåëè÷èíàÐèñ.
19.6ìè c/Lo è c/Le. Âåêòîð D² ëåæèò â ïëîñêîñòè233Ðèñ. 19.7Ðèñ. 19.8ïàäåíèÿ. Âåêòîð E² ñîñòàâëÿåò ñ íèì óãîë J². ×òîáû íàéòè íàïðàâëåíèå ýòîãîâåêòîðà, äîñòàòî÷íî ïðîâåñòè ÷åðåç òî÷êó M ² êàñàòåëüíóþ ïëîñêîñòü è èç íà÷àëà êîîðäèíàò îïóñòèòü íà ýòó ïëîñêîñòü ïåðïåíäèêóëÿð. Âäîëü ýòîãî ïåðïåíäèêóëÿðà è áóäåò íàïðàâëåí âåêòîð E². Ëó÷ s² îáðàçóåò ñ íîðìàëüþ óãîë J².Ñêîðîñòü ïî ëó÷ó u² = L ²/cos J².Íà ðèñ. 19.7 èçîáðàæåíî ïîëîæåíèå âñåõ âåêòîðîâ äëÿ îáûêíîâåííîé è íåîáûêíîâåííîé âîëí â îäíîîñíîì êðèñòàëëå.Íàëè÷èå äâóõ ëó÷åé íîñèò íàçâàíèå äâîéíîãî ëó÷åïðåëîìëåíèÿ. Îíî ýôôåêòíî íàáëþäàåòñÿ â ñëåäóþùåì îïûòå. Êîëëèìèðîâàííûé óçêèé ïó÷îê íåïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà ïàäàåò íîðìàëüíî íà ïëîñêîïàðàëëåëüíóþ ïðîçðà÷íóþïëàñòèíêó, âûðåçàííóþ èç îäíîîñíîãî êðèñòàëëà. Åãî îïòè÷åñêàÿ îñü íàêëîíåíàê ïîâåðõíîñòè.
Ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ ñâåòîì ïëàñòèíêè ïîÿâëÿþòñÿ äâà ïàðàëëåëüíûõ ñâåòîâûõ ïó÷êà, ïîëÿðèçîâàííûõ âî âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ïëîñêîñòÿõ. Ïðè âðàùåíèè êðèñòàëëà âîêðóã îñè, ñîâïàäàþùåé ñ îñüþ ïàäàþùåãîïó÷êà, îäèí èç âûõîäÿùèõ ïó÷êîâ íåïîäâèæåí, à âòîðîé âðàùàåòñÿ âìåñòåñ êðèñòàëëîì.Íà ðèñ. 19.8 ïîêàçàí õîä îáîèõ ïó÷êîâ, ðàññ÷èòàííûé ñ ïîìîùüþ ýëëèïñîèäà íîðìàëåé è ïîÿñíÿþùèé îïèñàííûé îïûò.Òåïåðü ñòàíîâèòñÿ ïîíÿòíûì èçëîæåííîå â íà÷àëå ëåêöèè ïîÿâëåíèå äâóõèçîáðàæåíèé ðèñóíêà, íàõîäÿùåãîñÿ ïîä äâóëó÷åïðåëîìëÿþùèì êðèñòàëëîìêàëüöèòà.
Ïëàñòèíêà âûðåçàíà òàê, ÷òî åå îïòè÷åñêàÿ îñü íàêëîíåíà ïîä íåêîòîðûì óãëîì ê ïîâåðõíîñòè. Ïîýòîìó ïðè âðàùåíèè ïëàñòèíêè â ïëîñêîñòèðèñóíêà îäíî èçîáðàæåíèå áóäåò ïåðåìåùàòüñÿ ïîñòóïàòåëüíî âîêðóã äðóãîãî,íåïîäâèæíîãî.Óðàâíåíèå ëó÷åâûõ ñêîðîñòåé. Ëó÷åâàÿ ïîâåðõíîñòü.
Äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ öåëåé÷àñòî èñïîëüçóþò ëó÷åâóþ (âîëíîâóþ) ïîâåðõíîñòü, êîòîðàÿ îïèñûâàåòñÿ çàâèñèìîñòüþ u(s). Ýòà çàâèñèìîñòü ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ ëó÷åâûõ ñêîðîñòåé.Äëÿ åãî âûâîäà ïðåîáðàçóåì (19.6) òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû âåêòîðû E è Dïîìåíÿëèñü ìåñòàìè, à âìåñòî e ôèãóðèðîâàë áû âåêòîð s. Äëÿ ýòîãî âíà÷àëåóìíîæèì (19.6) ñêàëÿðíî íà s:s × D = n2eo(E × s - (e × s)(E × e)) = -n2eo cos J(E × e),(19.20)ãäå E × s = 0; e × s = cos J.Òàê êàê âåêòîðû D, E, s ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè, ìîæíî çàïèñàòüs = aE + bD,ãäå a è b íåêîòîðûå ðàçìåðíûå ñêàëÿðíûå âåëè÷èíû.234(19.21)Óìíîæèâ ýòî ðàâåíñòâî ñêàëÿðíî ñíà÷àëà íà s, à çàòåì íà e, ïîëó÷àåìs × s = 1 = bs × D; e × s = cos J = ae × E.(19.22)Ïîäñòàâèì èç (19.22) âåëè÷èíû a è b â (19.21) è ïåðåïèøåì åãî â âèäåE=1e×E æD ö(s - bD) =çs ÷.s × Døacos J è(19.23)Ïîäñòàâëÿÿ â (19.23) ïðîèçâåäåíèå s × D èç (19.20), îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èìïðåîáðàçîâàííîå ñîîòíîøåíèåE=1(D - s(D × s)) .e o n 2 cos 2 J(19.24)Ïîñêîëüêó ëó÷åâàÿ ñêîðîñòüu=L=cos Jcc=,n cos J në(19.25)âåëè÷èíó në = n cos J èíîãäà íàçûâàþò ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ ëó÷à.Ïîëüçóÿñü (19.24), ïðîâåäåì ïðîñòûå âûêëàäêè, àíàëîãè÷íûå òåì, êîòîðûåáûëè ñäåëàíû ïðè âûâîäå óðàâíåíèÿ íîðìàëåé (19.13).
Çàïèñàâ (19.24) ïî êîìïîíåíòàì è èñïîëüçóÿ ìàòåðèàëüíûå óðàâíåíèÿ (19.10), ïîëó÷àåìE x , y,z = -s x , y,z (D × s)e o (në2 - e x , y,z ).(19.26)Ó÷èòûâàÿ, ÷òîE × s = E x s x + E y s y + E z s z = 0,(19.27)ïîëó÷àåìs x211- 22Lxu+s x211- 22Lyu+s x211- 22Lzu= 0.(19.28)Ýòî è åñòü óðàâíåíèå ëó÷åâûõ ñêîðîñòåé. Åãî ðåøåíèå u(s), èçîáðàæåííîå â âèäåäèàãðàììû, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëó÷åâóþ ïîâåðõíîñòü.
Çàïèøåì (19.28) â âèäå1 öæ 11ö1 öæ 11ö1 öæ 11öæ 1æ 1æ 1s x2 ç 2 - 2 ÷ ç 2 - 2 ÷ + s y2 ç 2 - 2 ÷ ç 2 - 2 ÷ + s z2 ç 2 - 2 ÷ ç 2 - 2 ÷ = 0; (19.29)LLLLLLèøèøuuèuy ø èuz øx èuz øx èuyøÄëÿ èçîòðîïíîé ñðåäû Lx = Ly = Lz = Lo. Ïîýòîìó u = Lo. Ëó÷åâàÿ ïîâåðõíîñòüÿâëÿåòñÿ ñôåðîé.Äëÿ îäíîîñíîãî êðèñòàëëà Lx = Ly = Lo; Lz = Le. Òîãäà (19.29) ñâîäèòñÿ ê âèäó1 öé 21ö1 öùæ 12 æ 12æ 1çè u 2 - L 2 ÷ø ê(s x + s y ) çè u 2 - L 2 ÷ø + s z çè u 2 - L 2 ÷ø ú = 0.o ëeo û(19.30)Ðåøåíèÿìè ýòîãî óðàâíåíèÿ áóäóòu¢ = Lo;1sin 2 j cos 2 j=+.2L e2L o2u ¢¢(19.31)235Ðèñ. 19.9Ðèñ. 19.10Çäåñü j óãîë ìåæäó âåêòîðîì s è îïòè÷åñêîé îñüþ Oz.Ïåðâîìó ðåøåíèþ (19.31) ñîîòâåòñòâóåò ñôåðè÷åñêàÿ ëó÷åâàÿ ïîâåðõíîñòü,à âòîðîìó ëó÷åâàÿ ïîâåðõíîñòü â âèäå ýëëèïñîèäà âðàùåíèÿ âîêðóã îïòè÷åL - Loñêîé îñè.
Èç-çà íåáîëüøîé âåëè÷èíû å= 1 ýëëèïñîèä â (19.31) íåçíà÷è-Loòåëüíî îòëè÷àåòñÿ îò îâàëîèäà (19.18).Íàêîíåö, äëÿ äâóîñíîãî êðèñòàëëà, íå ïðèâîäÿ ãðîìîçäêèå âûêëàäêè, îáñóäèì ôîðìó ëó÷åâîé ïîâåðõíîñòè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 19.9 â âèäå òðåõìåðíîé ïîâåðõíîñòè (ðèñ. 19.9, à) è åå ðàçðåçîâ (ðèñ. 19.9, á ) â òðåõ âçàèìíîïåðïåíäèêóëÿðíûõ ïëîñêîñòÿõ. Ðèñóíîê ñîîòâåòñòâóåò ñëó÷àþ ez > ey > ex.Âíåøíÿÿ ïîâåðõíîñòü íàïîìèíàåò ýëëèïñîèä, íî èìååò ÷åòûðå óãëóáëåíèÿ,â êîòîðûõ êàñàåòñÿ âíóòðåííåé ïîâåðõíîñòè. Òî÷êè êàñàíèÿ M îïðåäåëÿþò íàïðàâëåíèÿ âåêòîðîâ s1 è s2, ïîýòîìó ÷åðåç òî÷êè êàñàíèÿ ïðîõîäÿò îïòè÷åñêèåîñè êðèñòàëëà, âäîëü êîòîðûõ u¢ = u². Ó ðàçíûõ êðèñòàëëîâ óãîë ìåæäó îñÿìèìîæåò çíà÷èòåëüíî ðàçëè÷àòüñÿ. Íàïðèìåð, äëÿ íèòðàòà êàëèÿ KNO3 îí ðàâåí7°12', à äëÿ ñóëüôàòà æåëåçà FeSO4 85°27'.Ýëëèïñîèä Ôðåíåëÿ.
Îí çàäàåòñÿ óðàâíåíèåìex x 2 + e y y2 + ez z 2 = 1(19.32)è ïîçâîëÿåò ðàññ÷èòàòü ëó÷åâûå ñêîðîñòè u¢, u² è íàïðàâëåíèÿ âåêòîðîâ E¢,D¢, E², D², åñëè çàäàíî íàïðàâëåíèå ëó÷à s. Äëèíû ïîëóîñåé ýëëèïñîèäà1/ e x = Lx /c, 1/ e y = Ly /c, 1/ e z = Lz /c ïðîïîðöèîíàëüíû ãëàâíûì ñêîðîñòÿì.Åñëè ïðîâåñòè ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò ïåðïåíäèêóëÿðíîå âåêòîðó s ñå÷åíèå, òî äëèíû ïîëóîñåé ýëëèïñà ñå÷åíèÿ OM ¢ = u¢/c, OM ² = u²/c (ðèñ.
19.10).Ñîîòâåòñòâóþùèå ýòèì ïîëóîñÿì âåêòîðû E¢ è E²íàïðàâëåíû âäîëü ýòèõ ïîëóîñåé. Âåêòîðû D¢ è D² îïðåäåëÿþòñÿ íàïðàâëåíèÿìè ïåðïåíäèêóëÿðîâ, îïóùåííûõ èç íà÷àëà êîîðäèíàò íà ñîîòâåòñòâóþùèå êàñàòåëüíûå ïëîñêîñòè, ïðîâåäåííûå ÷åðåç òî÷êè M ¢ è M ². Ó îäíîé âîëíû âåêòîðû D², E² è e² ëåæàò â ïëîñêîñòè ïàäåíèÿ, à âåêòîðû D¢, E¢, e¢ â ïåðïåíäèêóëÿðíîéïëîñêîñòè (íà ðèñóíêå âåêòîðû e¢ è e² íå ïîêàçàíû).Äâîéíîå ëó÷åïðåëîìëåíèå. Ïðèíöèï Ãþéãåíñà.
ÏóñòüÐèñ. 19.11ïëîñêàÿ âîëíà ïàäàåò ïîä óãëîì Ji èç âàêóóìà â àíè236Ðèñ. 19.12çîòðîïíóþ ñðåäó (ðèñ. 19.11). Èç ãðàíè÷íûõ óñëîâèé ñëåäóåò, ÷òî âîëíîâûå íîðìàëè òðåõ âîëí ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè (ïëîñêîñòè ïàäåíèÿ) èsin J i?= ;sin J t¢ L ¢sin J i?.=sin J t¢¢ L ¢¢(19.33)Ïîä÷åðêíåì, ÷òî L ¢ = L ¢(e t¢ ), L ¢¢ = L ¢¢(e ¢¢t ) , ïîýòîìó äëÿ íàõîæäåíèÿ óãëîâJt¢ è Jt² íåîáõîäèì àíàëèç (19.33) ñîâìåñòíî ñ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ íîðìàëåé(19.13).Äëÿ ëó÷åé ñî ñêîðîñòÿìè u¢ è u² ñîîòíîøåíèÿ (19.33) íå âûïîëíÿþòñÿ.Ðàñ÷åò íàïðàâëåíèé èõ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ìîæíî ïðîâåñòè, ðåøàÿ ñîâìåñòíî(19.10), (19.11) è (19.24).
Èç íèõ ìîæíî íàéòè óãëû àíèçîòðîïèè J¢ è J², êîòîðûå îáðàçóþò ëó÷è ñ íîðìàëÿìè.Äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ öåëåé ïðèìåíÿþò ïðèíöèï Ãþéãåíñà äëÿ àíèçîòðîïíûõñðåä, êîòîðûé áàçèðóåòñÿ íà òðåõ ïîëîæåíèÿõ: êàæäàÿ òî÷êà ïîâåðõíîñòè àíèçîòðîïíîé ñðåäû, äî êîòîðîé äîõîäèò ïàäàþùàÿ ïëîñêàÿ âîëíà, ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà êàê òî÷å÷íûé èñòî÷íèê,îò êîòîðîãî ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ â ñðåäå äâå âîëíû, èìåþùèå ðàçíûå âîëíîâûåïîâåðõíîñòè; ïëîñêèé ôðîíò êàæäîé èç ïðåëîìëåííûõ âîëí ñîâïàäàåò ñ îãèáàþùåéñîîòâåòñòâóþùèõ âòîðè÷íûõ âîëí; ëó÷è íàïðàâëåíû îò òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà â äâå òî÷êè êàñàíèÿ P ¢ è P ² åãîâîëíîâûõ ïîâåðõíîñòåé è ñîîòâåòñòâóþùèõ îãèáàþùèõ.Ïðîèëëþñòðèðóåì ïðèìåíåíèå ýòîãî ïðèíöèïà â ñëó÷àå íàêëîííîãî ïàäåíèÿ ïëîñêîé âîëíû íà ïîâåðõíîñòü îòðèöàòåëüíîãî îäíîîñíîãî êðèñòàëëà,îïòè÷åñêàÿ îñü êîòîðîãî ðàñïîëîæåíà â ïëîñêîñòè ïàäåíèÿ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
