В.А. Алекшевич - Оптика (1120564), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Ïðîâåäåì ïðåäâàðèòåëüíî êà÷åñòâåííûé àíàëèç ðàñïðîñòðàíåíèÿ ïëîñêîé âîëíû â àíèçîòðîïíîé ñðåäå. Ïóñòü âîëíîâîé âåêòîð k ñíà÷àëà íàïðàâëåí âäîëü ãëàâíîé îñèOz (ðèñ. 19.1).Åñëè âîëíà ïîëÿðèçîâàíà â ïëîñêîñòè Oxz (ðèñ. 19.1, à), òî ìàòåðèàëüíîåóðàâíåíèå (19.1) èìååò âèä Dx = eo ex Ex. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ýòîé âîëíû ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ nx = e x , à ôàçîâàÿ ñêîðîñòü ðàâíà Lx = c/nx = c/ e x . Åñëèæå âîëíà ïîëÿðèçîâàíà â ïëîñêîñòè Oyz (ðèñ. 19.1, á ), òî Dy = eo ey Ey. Ïîýòîìóäëÿ íåå ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ny = e y , à ñêîðîñòü Ly = c/ny = c/ e y . Òàêèì228îáðàçîì, âîëíà, ðàñïðîñòðàíÿþùàÿñÿâäîëü îñè Oz, ìîæåò, â çàâèñèìîñòèîò ïîëÿðèçàöèè, èìåòü äâå ðàçëè÷íûåñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ.Ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè âîëíû âäîëüîñè Ox (ðèñ.
19.1, â) nz = e z , Lz = c/nz == c/ e z ; ny = e y , Ly = c/ny = c/ e y(ðèñ. 19.1, ã). Íàêîíåö, åñëè âîëíà ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ âäîëü îñè Oy, òî nz = e z ,Lz = c/nz = c/ e z (ðèñ. 19.1, ä); ny = e y ,Ly = c/ny = c/ e y (ðèñ. 19.1, å).Âåëè÷èíû n x, n y , n z íàçûâàþòñÿãëàâíûìè ïîêàçàòåëÿìè ïðåëîìëåíèÿ,à ñêîðîñòè Lx, Ly, Lz ãëàâíûìè ñêîðîÐèñ. 19.1ñòÿìè âîëíû.Îòìåòèì äâà âàæíûõ îáñòîÿòåëüñòâà: èíäåêñû x, y, z ó ãëàâíûõ ñêîðîñòåé íèêàê íå ñâÿçàíû ñ íàïðàâëåíèåìðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû.
Îíè îïèñûâàþò ëèøü íàïðàâëåíèå âåêòîðîâ E è Dâäîëü ñîîòâåòñòâóþùåé ãëàâíîé îñè; â îáùåì ñëó÷àå, êîãäà âîëíîâîé âåêòîð k èìååò ïðîèçâîëüíîå íàïðàâëåíèåâ êðèñòàëëå, âåêòîðû D è E íå ñîâïàäàþò ìåæäó ñîáîé: âåêòîð D ïåðïåíäèêóëÿðåí k, à ìåæäó âåêòîðàìè D è E áóäåò íåêîòîðûé óãîë J, íàçûâàåìûé óãëîìàíèçîòðîïèè (ñì. äàëåå).Ïðîäîëæàÿ êà÷åñòâåííûé àíàëèç, ðàññìîòðèì äâà ÷àñòíûõ ñëó÷àÿ:1) ex = ey = ez = e (èçîòðîïíàÿ ñðåäà). Òîãäà n = e , L = c/n = c/ e . Ó òàêîéñðåäû îäèí ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ è îäíà ôàçîâàÿ ñêîðîñòü ïðè âñåõ íàïðàâëåíèÿõ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû è ëþáîé åå ïîëÿðèçàöèè;2) ex = ey ¹ ez.
Òîãäà Lx = Ly ¹ Lz. Ñëåäîâàòåëüíî, îáå âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùèåñÿ âäîëü îñè Oz (ñì. ðèñ. 19.1, à, á ), èìåþò îäèíàêîâóþ ñêîðîñòü Lo = Lx = Ly.Ñóììà ýòèõ âîëí ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé â îáùåì ñëó÷àå âîëíó ñ ýëëèïòè÷åñêîéïîëÿðèçàöèåé, êîòîðàÿ äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ Lo. Ó ýòîé âîëíû âåêòîðû D è Eñîâïàäàþò ïî íàïðàâëåíèþ, ïîñêîëüêó â ïëîñêîñòè Oxz ñðåäà èçîòðîïíà.Íåçàâèñèìîñòü ñêîðîñòè Lo âîëíû îò åå ñîñòîÿíèÿ ïîëÿðèçàöèè ÿâëÿåòñÿîñíîâàíèåì ãîâîðèòü î âûäåëåííîì íàïðàâëåíèè Oz êàê îá îïòè÷åñêîé îñèêðèñòàëëà.
Òàêîå íàïðàâëåíèå åäèíñòâåííîå, ïîýòîìó êðèñòàëë íàçûâàåòñÿ îäíîîñíûì. Äàëåå áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå, êîãäà ex ¹ ey ¹ ez, òàêèõíàïðàâëåíèé áóäåò äâà, è êðèñòàëë íàçûâàåòñÿ äâóîñíûì.Ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè ñâåòà ïåðïåíäèêóëÿðíî îïòè÷åñêîé îñè âîëíû (ñì.ðèñ. 19.1, ã, å) ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ ïî-ïðåæíåìó ñî ñêîðîñòüþ Lo, à âîëíû íàðèñ. 19.1, â, ä ñî ñêîðîñòüþ Le = Lz. Âîëíà, ñêîðîñòü êîòîðîé ðàâíà Lo, íàçûâàåòñÿ îáûêíîâåííîé, ïîñêîëüêó åå ñêîðîñòü òàêàÿ æå, êàê è âäîëü îïòè÷åñêîéîñè. Ó âòîðîé âîëíû ñêîðîñòü Le ¹ Lo, ïîýòîìó âîëíà íàçûâàåòñÿ íåîáûêíîâåííîé.Ñ ýòèìè íàçâàíèÿìè è ñâÿçàíû èíäåêñû o (ordinary) è e (åxtraordinary) ó ñêîðîñòåé âîëí.Îáûêíîâåííàÿ è íåîáûêíîâåííàÿ âîëíû îòëè÷àþòñÿ ïîëÿðèçàöèåé.
Äëÿóäîáñòâà ââåäåì ãëàâíóþ ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç âîëíîâîé âåêòîð k è îïòè÷åñêóþ îñü. Òîãäà ó îáûêíîâåííîé âîëíû (ñì. ðèñ. 19.1, ã è å) âåêòîð Å ïåðïåíäèêóëÿðåí ãëàâíîé ïëîñêîñòè, à ó íåîáûêíîâåííîé ëåæèò â ýòîé ïëîñêîñòè.229Ñêîðîñòü ïî íîðìàëè è ïîâåðõíîñòüíîðìàëåé. Çàâåðøàÿ êà÷åñòâåííûé àíàëèç, èçîáðàçèì äèàãðàììó çàâèñèìîñòèñêîðîñòåé ðàñïðîñòðàíåíèÿ ïî íîðìàëè (â íàïðàâëåíèè âåêòîðà k, ïåðïåíäèêóëÿðíîãî âîëíîâîìó ôðîíòó) îáûêíîâåííîé è íåîáûêíîâåííîé âîëíîò íàïðàâëåíèÿ âîëíîâîãî âåêòîðà â îäíîîñíîì êðèñòàëëå.Ðèñ.
19.2Ïðè ïðîèçâîëüíîì íàïðàâëåíèè âîëíîâîãî âåêòîðà âñåãäà D ^ k. Ó îäíîéâîëíû âåêòîðû D¢ è E¢ ïàðàëëåëüíû äðóã äðóãó. Îíè ïåðïåíäèêóëÿðíû ê ãëàâíîé ïëîñêîñòè è ëåæàò â ïëîñêîñòè Oxy, â êîòîðîé ñðåäà èçîòðîïíà. Ó ýòîéâîëíû D ¢ = eo ex E ¢ = eo eyE ¢, ïîýòîìó åå ñêîðîñòü L ¢ = L o = c/ e x = c/ e yíå çàâèñèò îò íàïðàâëåíèÿ âåêòîðà k. Ó äðóãîé âîëíû âåêòîðû D² è Ų ñîñòàâëÿþò ìåæäó ñîáîé íåêîòîðûé óãîë. Îíè ëåæàò â ãëàâíîé ïëîñêîñòè.
Ñêîðîñòüýòîé âîëíû L ² ïðè óâåëè÷åíèè óãëà ìåæäó îñüþ Oz è âåêòîðîì k ìîíîòîííîèçìåíÿåòñÿ îò Lo äî Le. Êðèñòàëë, ó êîòîðîãî Lo > Le, íàçûâàåòñÿ ïîëîæèòåëüíûì, à êðèñòàëë ñ Lo < Le îòðèöàòåëüíûì.Íà ðèñ. 19.2 ïîêàçàíû äèàãðàììû çàâèñèìîñòåé ñêîðîñòåé L ¢ è L ² îò íàïðàâëåíèÿ âîëíîâîãî âåêòîðà äëÿ ïîëîæèòåëüíîãî (ðèñ. 19.2, à) è îòðèöàòåëüíîãî(ðèñ.
19.2, á ) êðèñòàëëîâ.Ýòèì äèàãðàììàì ñîîòâåòñòâóþò ïîâåðõíîñòè, íàçûâàåìûå ïîâåðõíîñòÿìèíîðìàëåé (íîðìàëüíûõ ñêîðîñòåé) Ôðåíåëÿ. Îäíà èç ïîâåðõíîñòåé (äëÿ îáûêíîâåííîé âîëíû) ÿâëÿåòñÿ ñôåðîé, à âòîðàÿ (äëÿ íåîáûêíîâåííîé) ôèãóðîéâðàùåíèÿ, íàçûâàåìîé îâàëîèäîì. Äàëåå îíè áóäóò ðàññ÷èòàíû ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà.Ðàñïðîñòðàíåíèå ïëîñêîé ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíû.
Ïóñòü â àíèçîòðîïíîéñðåäå â íàïðàâëåíèè, çàäàâàåìîì åäèíè÷íûì âåêòîðîì e (íîðìàëüþ), ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ âîëíà ñ íàïðÿæåííîñòüþ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿé ær ×e öùn÷ .E(t , r) = A exp êi w ç t èc ø úûë(19.3) íàïðàâëåíèè íîðìàëè ñêîðîñòü âîëíû L = c/n, n ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ïî íîðìàëè, çàâèñÿùèé êàê îò íàïðàâëåíèÿ âåêòîðà e, òàê è îò ïîëÿðèçàöèè âîëíû. Ñîîòâåòñòâåííî âîëíîâîé âåêòîð k = wne/c.Êàê è â ñëó÷àå âàêóóìà, âîñïîëüçóåìñÿ óðàâíåíèÿìè Ìàêñâåëëà è äëÿ óäîáñòâà ââåäåì ïåðåìåííóþ t ¢ = t - r × en/c. Òîãäà èç óðàâíåíèÿ (1.21) ïîëó÷àåìñîîòíîøåíèåne ´ E = m 0 H,(19.4)cêîòîðîå îòëè÷àåòñÿ îò (1.23) íàëè÷èåì n â ëåâîé ÷àñòè. Âî âòîðîì óðàâíåíèè¶DÌàêñâåëëà (1.22) â ïðàâîé ÷àñòè äîëæíà ñòîÿòü ïðîèçâîäíàÿ, ïîýòîìó¶t ¢âìåñòî (1.24) ïîëó÷àåì-230ne ´ H = D.c(19.5)Ïîäñòàâèì Í èç (19.4) â (19.5). ÒîãäàD=-n2(e ´ (e ´ E)) = n 2 e 0 (E - e(E × e)) .c 2m 0(19.6)Èç ïîñëåäíåãî ñîîòíîøåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî âåêòîðûD, E è e ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè, çàøòðèõîâàííîéíà ðèñ.
19.3.Âåêòîð Í ïåðïåíäèêóëÿðåí ýòîé ïëîñêîñòè. ÂåêÐèñ. 19.3òîðû D, H è e, ñîãëàñíî (19.5), îáðàçóþò ïðàâóþòðîéêó âåêòîðîâ. Âåêòîð Å, â îáùåì ñëó÷àå, îáðàçóåòñ âåêòîðîì D óãîë àíèçîòðîïèè J.Ïåðåíîñ ýíåðãèè îïðåäåëÿåòñÿ âåêòîðîì Ïîéíòèíãà S = E ´ H = EHs, íàïðàâëåíèå êîòîðîãî çàäàåòñÿ åäèíè÷íûì âåêòîðîì s. Íàïðàâëåííûé âäîëü sîòðåçîê ïðÿìîé íàçûâàåòñÿ ëó÷îì. Âäîëü ëó÷à è ïåðåíîñèòñÿ ñâåòîâàÿ ýíåðãèÿ.Ëó÷åâàÿ ñêîðîñòü è ëó÷åâàÿ ïîâåðõíîñòü. Íåñîâïàäåíèå íîðìàëè e è ëó÷à sòðåáóåò äîïîëíèòåëüíîãî ïîÿñíåíèÿ. Ðåàëüíàÿ ïëîñêàÿ âîëíà ÿâëÿåòñÿ ñâåòîâûì ïó÷êîì ñ ïëîñêèì ôàçîâûì ôðîíòîì.  àíèçîòðîïíîé ñðåäå ïó÷îê ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ òàê, êàê ýòî èçîáðàæåíî íà ðèñ.
19.4.Âîëíîâûå ïîâåðõíîñòè ïëîñêîé âîëíû (ïîâåðõíîñòè ðàâíîé ôàçû) èçîáðàæåíû øòðèõîâûìè ëèíèÿìè. Ýòè ïîâåðõíîñòè ïåðåìåùàþòñÿ â íàïðàâëåíèèâåêòîðà e (íîðìàëè) ñ íåêîòîðîé ñêîðîñòüþ L . Âäîëü ëó÷à ñêîðîñòü u ïåðåíîñàôàçû íàçûâàåòñÿ ëó÷åâîé ñêîðîñòüþ. Çà âðåìÿ Dt ôàçîâûé ôðîíò ïåðåìåñòèòñÿíà ðàññòîÿíèå ab = L Dt, à ïî ëó÷ó íà ðàññòîÿíèå ad = uDt.
Ïîñêîëüêó ab == ad cos J, òîL = u cos J.(19.7)Òàêèì îáðàçîì, u ³ L.Êàê îòìå÷àëîñü ðàíåå, ñêîðîñòü ïî íîðìàëè L = L (e) çàâèñèò êàê îò íàïðàâëåíèÿ íîðìàëè e, òàê è ïîëÿðèçàöèè âîëíû. Àíàëîãè÷íî, ëó÷åâàÿ ñêîðîñòü u = u(s)çàâèñèò îò íàïðàâëåíèÿ ëó÷à s è ïîëÿðèçàöèè âîëíû. Ýòó çàâèñèìîñòü ìîæíîèçîáðàçèòü â âèäå ïîâåðõíîñòè, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ëó÷åâîé ïîâåðõíîñòüþ. Åñëèâ íåêîòîðîé òî÷êå O âíóòðè àíèçîòðîïíîé ñðåäû â ìîìåíò âðåìåíè t = 0 íà÷àëèçëó÷àòü (ïðîèçîøëà âñïûøêà) òî÷å÷íûé ìîíîõðîìàòè÷åñêèé èñòî÷íèê, òî ÷åðåç âðåìÿ t = 1/c âîëíîâîé ôðîíò ñîâìåñòèòñÿ ñ ëó÷åâîé ïîâåðõíîñòüþ.Âñïûøêà òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà ñâåòà ýêâèâàëåíòíà ïðîõîæäåíèþ â ìîìåíòâðåìåíè t = 0 ÷åðåç òî÷êó O ìíîæåñòâà îäèíàêîâûõ ïëîñêèõ âîëí, ðàñïðîñòðàíÿþùèõñÿ âî âñåâîçìîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ.
×åðåç âðåìÿ t = 1 c ïëîñêèå ôðîíòûâîëí ñìåñòÿòñÿ íà ðàññòîÿíèÿ, ðàâíûå L.Íà ðèñ. 19.5 ïîêàçàíî ïîëîæåíèå ôðîíòîâ ïëîñêèõ âîëí â îäíîîñíîì îòðèöàòåëüíîì êðèñòàëëå: äëÿ îáûêíîâåííîé (ðèñ.19.5, à) è íåîáûêíîâåííîé (ðèñ. 19.5, á ) âîëí. ñëó÷àå òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà ëó÷åâîé, èëè âîëíîâîé, ïîâåðõíîñòüþ áóäåò ïîâåðõíîñòü, êàñàòåëüíàÿ ê ïëîñêèì ôðîíòàì. Äëÿ îáûêíîâåííîé âîëíû îíà ñîâïàäàåò ñ ïîâåðõíîñòüþ íîðìàëåé,à äëÿ íåîáûêíîâåííîé (åå ÷àñòü èçîáðàæåíàøòðèõîâîé ëèíèåé) íåñêîëüêî îòëè÷àåòñÿ îò ïîÐèñ.
19.4âåðõíîñòè íîðìàëåé.231Ó ïëîñêîé âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ â íàïðàâëåíèè e, ëó÷ äîëæåíïðîõîäèòü ÷åðåç òàêóþ òî÷êó âîëíîâîéïîâåðõíîñòè, ôàçà êîëåáàíèé ïîëÿ âêîòîðîé ñîâïàäàåò ñ ôàçîé êîëåáàíèéíà ïëîñêîì ôðîíòå. Î÷åâèäíî, ýòî áóäåò òî÷êà P, â êîòîðîé ïëîñêèé ôðîíòêàñàåòñÿ âîëíîâîé (ëó÷åâîé) ïîâåðõíîñòè. Ïîñëåäíåå îáñòîÿòåëüñòâî ïîçâîÐèñ. 19.5ëÿåò èñïîëüçîâàòü âîëíîâóþ ïîâåðõíîñòü â ïðèíöèïå Ãþéãåíñà äëÿ àíèçîòðîïíûõ ñðåä (ñì.
äàëåå). ñëó÷àå äâóîñíîãî êðèñòàëëà áóäóò ñóùåñòâîâàòü êàê èçìåíÿþùèåñÿ ñ íàïðàâëåíèåì e äâå ñêîðîñòè L ¢ è L ², òàê è èçìåíÿþùèåñÿ ñ íàïðàâëåíèåì s äâåñêîðîñòè u¢ è u². Îíè ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèÿìèL ¢ = u¢ cos J¢; L ² = u² cos J²,(19.8)ãäå J¢ è J² óãëû àíèçîòðîïèè: ìåæäó D¢ è E¢ ó îäíîé âîëíû è D² è E² ó äðóãîé.Óðàâíåíèå íîðìàëåé Ôðåíåëÿ. Ïîâåðõíîñòü íîðìàëåé. Ïîëó÷èì óðàâíåíèå,ïîçâîëÿþùåå óñòàíîâèòü çàâèñèìîñòü L(e) = ñ/n(e). Äëÿ ýòîãî çàïèøåì (19.6)ïî êîìïîíåíòàì:D x , y,z = n 2 e o (E x , y,z - e x , y ,z (E × e)) .(19.9)Ñâÿçü ìåæäó êîìïîíåíòàìè âåêòîðîâ D è E îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì (19.1)D x , y ,z = e o e x , y ,z E x , y ,z .(19.10)Ïîäñòàâëÿÿ E x , y,z èç (19.10) â (19.9), ïîëó÷àåìD x , y ,z =n 2 e o e x , y,z (E × e).11n 2 e x , y ,z(19.11)Ó÷èòûâàÿ, ÷òî D ^ e è, ñëåäîâàòåëüíî,D × e = Dxex + Dyey + Dzez = 0,(19.12)èç ïîñëåäíèõ äâóõ ðàâåíñòâ ïîëó÷àåìe y2e z2e x2++= 0.L 2 - L x2 L 2 - L y2 L 2 - L z2(19.13)Çäåñü L = c/n; Lx, Ly, Lz ãëàâíûå ñêîðîñòè âîëíû.Óðàâíåíèå (19.13) íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì íîðìàëåé Ôðåíåëÿ.
Ïîëó÷èì åãîðåøåíèå, äëÿ ÷åãî ïðåîáðàçóåì ê âèäóe x2 (L 2 - L y2 )(L 2 - L z2 ) + e y2 (L 2 - L x2 )(L 2 - L z2 ) + e z2 (L 2 - L y2 )(L 2 - L x2 ) = 0.(19.14)Ðàññìîòðèì òðè ñèòóàöèè: èçîòðîïíàÿ ñðåäà (Lx = Ly = Lz = Lo). Òîãäà (19.14) óïðîñòèòñÿ:(L 2 - L o2 )(L 2 - L o2 )(e x2 + e y2 + e z2 ) = (L 2 - L o2 ) 2 = 0.232(19.15)Åãî ðåøåíèå î÷åâèäíî: L = Lo; îäíîîñíûé êðèñòàëë (Lx = Ly = Lo; Lz = Le). Òîãäà(L 2 - L o2 ) éë(L 2 - L e2 )(e x2 + e y2 ) + (L 2 - L o2 )e z2 ùû = 0.(19.16)Ýòî óðàâíåíèå èìååò äâà ðåøåíèÿ.
Åñëè ñíà÷àëà ïîëîæèòü L 2 - Lo2 = 0,òî ïåðâîå ðåøåíèå L ¢ = Lo. Åñëè òåïåðü âûðàæåíèå â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ ïðèðàâíÿòü ê íóëþ, òîL ¢¢ 2 = L e2 (e x2 + e y2 ) + L o2e z2 .(19.17)Óäîáíî ââåñòè óãîë j ìåæäó e è Oz. ÒîãäàL ¢¢ 2 = L e2 sin 2 j + L o2 cos 2 j.(19.18)Åñëè j = 0, òî L ² = Lo, à ïðè j = p/2 ñêîðîñòü L ² = Le.Ïîâåðõíîñòü íîðìàëåé (19.18) ÿâëÿåòñÿ îâàëîèäîì.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
